苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.49 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（二）（巩固篇）（专项练习）（附答案）

这是一份苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.49 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（二）（巩固篇）（专项练习）（附答案），共36页。

专题5.49 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（二）（巩固篇）（专项练习）一、单选题【考点十】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)解析式1．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）A．①④ B．②③ C．③④ D．②④2．（2017·天津·中考真题）已知抛物线与轴相交于点（点在点左侧），顶点为.平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A． B． C．D．【考点十一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最短路径问题3．（2021·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（       ）A．（0，2） B．（，0）C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确4．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（       ）A．4 B． C． D．【考点十二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与坐标轴交点5．（2021·湖北湖北·中考真题）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（       ）A． B． C． D．6．（2020·四川眉山·中考真题）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．【考点十三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)+根的判别式+x轴交点个数7．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（          ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个8．（2020·四川泸州·中考真题）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（       ）A． B．2 C．3 D．4【考点十四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与x轴截距9．（2022·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（       ）A．2 B． C． D．10．（2020·湖南·长沙市南雅中学模拟预测）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（       ）A．1 B． C． D．【考点十五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+不等式求取值范围11．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（       ）A． B． C．﹣1 D．112．（2023·江西·九年级专题练习）如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（       ）A．图象的对称轴是直线B．当时，y随x的增大而减小C．当时，D．一元二次方程的两个根是和3【考点十六】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+交点坐标求取值范围13．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（       ）A．4 B．3 C．2 D．114．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）A．或 B．或 C． D．二、填空题【考点十】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)解析式15．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．16．（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．【考点十一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最短路径问题17．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______．18．（2019·广西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为_________．【考点十二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与坐标轴交点19．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．20．（2020·辽宁朝阳·中考真题）抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．【考点十三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)+根的判别式+x轴交点个数21．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．22．（2021·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．【考点十四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与x轴截距23．（2020·福建·龙海二中一模）若抛物线的顶点坐标为，且它在轴截得的线段长为，则该抛物线的表达式为________．24．（2013·辽宁·九年级阶段练习）如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为______．【考点十五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+不等式求取值范围25．（2017·江苏常州·中考真题）已知二次函数自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则在实数范围内能使得成立的x取值范围是______．26．（2017·湖北咸宁·中考真题）如图，直线与抛物线交于两点，则关于的不等式的解集是_________．【考点十六】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+交点坐标求取值范围27．（2019·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_______28．（2019·山东济宁·中考真题）如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．三、解答题29．（2020·浙江宁波·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．30．（2022·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．31．（2022·湖北黄石·中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：数据如下表．(1)求a，b，c的值；(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？32．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．33．（2011·湖南永州·中考真题）如图，已知二次函数的图像经过，两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当为何值时，？（3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标．34．（2014·黑龙江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．参考答案B【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，点与点是关于二次函数对称轴对称的，二次函数的对称轴为直线，设二次函数解析式为，代入点，得，，解得，二次函数的解析式为：，，，①是错误的，，②是正确的，方程为，即为，，，③是正确的，，④是错误的，②③是正确的，故选：B．【点拨】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．A解：令y=0，即，解得x=1或3即可得A（1，0），B(3,0)抛物线= 的顶点坐标为（2，-1），平移该抛物线使点平移后的对应点落在轴上点平移后的对应点落在轴上也就是把该抛物线向上平移1个单位，向左平移3个单位根据抛物线平移规律可得新抛物线的解析式为故选A.3．A【分析】抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，可求得p=－6， 抛物线y＝－x2＋px＋q过点N（﹣1，1），可以求得：q=﹣4，得到抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，点M（﹣3,5），直线y＝kx＋b过M，N两点，其解析式为：y＝﹣2x＋3，作点A使得A与N关于y轴对称，连接MA，与y轴交于点P，易得P（0，2），作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点Q，易得Q（），MA1时，函数值逐点增大；∴抛物线的开口向上，∴y-5 > 0成立的x取值范围是x <－2或x>4；故答案为：x＞4或x＜-2．【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键；此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．x＜﹣1或x＞4．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，所以不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．考点：二次函数与不等式（组）．27．a＞1或a＜-1【分析】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值范围.解：∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，①当a＞0时，若有解，则，解得：a＞1，②当a＜0时，若有解，则，解得：a＜-1，综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.【点拨】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键.或．【分析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．解：∵抛物线与直线交于，两点，∴，，∴抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，∴不等式的解集为或．故答案为或．【点拨】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围；（2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3；（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．30．(1)y=-x2+2x+3；(2)证明见分析，；(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见分析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；（3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，∵，当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．31．(1)，，(2)490人(3)从一开始应该至少增加3个检测点【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．解：（1）将，，代入，得，解之得，，；（2）设排队人数为w，由（1）知，由题意可知，，当时，，∴时，排队人数的最大值是490人，当时，，，∵随自变量的增大而减小，∴，由得，排队人数最大值是490人；（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间（分钟）设从一开始增加n个检测点，则，解得，n为整数，∴从一开始应该至少增加3个检测点．【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键32．(1)(2)①k≥2②P的坐标为（2，3）或（-2，3）【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．(1)解：把，代入，得，解得：，∴函数解析式为：；(2)解：①∵，∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．∴抛物线向右平移了m个单位，∴，∴m=2，∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m， ）根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC= tan 60°=，解得：m=±2，∴n==3，故P的坐标为（2，3）或（-2，3）【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为：解：（1）二次函数的图像经过，两点．，解得：，，，，，对称轴为：直线．（2）当，，，，，抛物线与轴交点坐标为：，，，，当时，；（3）当矩形为正方形时，假设点坐标为，点坐标为，，即：，，对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等，，解得：，（不合题意舍去），时，，点坐标为：．（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）由图象直接写出答案．解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x==﹣1．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．x…﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.8750………………………时间x（分钟）0123…8累计人数y（人）0150280390…640640