苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.47 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（二）（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题5.47 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中考常考考点专题（二）（基础篇）（专项练习）一、单选题【考点十】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)解析式1．（2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（       ）A． B． C． D．52．（2021·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于-6D．当时，y的值随x值的增大而增大【考点十一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最短路径问题3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.64．（2021·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（       ）A．（0，2） B．（，0）C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确【考点十二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与坐标轴交点5．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：下列结论不正确的是（       ）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为6．（2020·湖南娄底·中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（       ）A． B． C． D．【考点十三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)+根的判别式+x轴交点个数7．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，下列结论正确的是（　　）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b8．（2021·四川泸州·中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（   ）A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4【考点十四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与x轴截距9．（2019·云南大理·中考模拟）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）.A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大10．（2022·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（       ）A．2 B． C． D．【考点十五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+不等式求取值范围11．（2022·河北唐山·一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（       ）A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤612．（2022·广东·佛山市华英学校二模）若二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表点点在该函数图象上，当与的大小关系是（       ）A． B． C． D．【考点十六】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+交点坐标求取值范围13．（2022·广东广州·二模）如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（       ）A． B． C．或 D．或14．（2019·河南·漯河市郾城区第二初级实验中学一模）如图，已知反比例函数与二次函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为（       ）A． B． C．或 D．二、填空题【考点十】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)解析式15．（2017·广西百色·中考真题）经过三点的抛物线解析式是_________．16．（2019·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）【考点十一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)最短路径问题17．（2022·四川省渠县中学二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______．18．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是_____．【考点十二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与坐标轴交点19．（2018·贵州黔东南·中考真题）已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是_____． 20．（2017·江苏镇江·中考真题）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．【考点十三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)+根的判别式+x轴交点个数21．（2022·广东汕头·二模）已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的根为____________．22．（2021·贵州遵义·一模）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2－2x－1与直线y＝2x＋b有交点，则b的取值范围是____；【考点十四】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与x轴截距23．（2022·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．若，则m的值是______．24．（2020·福建·龙海二中一模）若抛物线的顶点坐标为，且它在轴截得的线段长为，则该抛物线的表达式为________．【考点十五】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+不等式求取值范围25．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知：二次函数中的x，y满足下表：根据上表，当时，x的取值范围为_________．26．（2018·山西临汾·一模）已知抛物线 的部分图象如图所示，根据函数图象可知，当 y＞0 时，x 的取值范围是__．【考点十六】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象+交点坐标求取值范围27．（2022·江苏·南京市第一中学一模）函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范围是____________．28．（2022·江苏宿迁·二模）已知关于的一元二次方程的根为，．则关于的一元二次不等式的解集为________．三、解答题29．（2020·江苏徐州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值．30．（2017·内蒙古包头·中考真题）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？31．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．32．（2020·浙江温州·中考真题）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a，b的值；（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．33．（2022·浙江温州·模拟预测）已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围．34．（2020·浙江宁波·模拟预测）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．（1）求m的值及二次函数解析式；（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．35．（2020·湖北咸宁·一模）自主学习，请阅读下列解题过程．例：用图象法解一元二次不等式：．解：设，则是的二次函数．抛物线开口向上．又当时，，解得．由此得抛物线的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当或时，．的解集是：或．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号）①转化思想，②分类讨论思想，③数形结合思想（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．参考答案A【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点，∴，解方程组得，∴抛物线解析式为，当时，．故选择A．【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．C【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．解：设二次函数的解析式为，依题意得：，解得：，∴二次函数的解析式为=，∵，∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；∵，∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)，∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；故选：C．【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．C【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．解：∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)，∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE=C'E，则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线yx+3，设直线C'F的解析式为，将C'(﹣2，﹣2)代入得：，解得：，∴C'F的解析式为yx，解方程组，得：，∴F(，)，∴C'F．故选：C．【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键．A【分析】抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3，可求得p=－6， 抛物线y＝－x2＋px＋q过点N（﹣1，1），可以求得：q=﹣4，得到抛物线解析式为：y＝－x2－6x﹣4，点M（﹣3,5），直线y＝kx＋b过M，N两点，其解析式为：y＝﹣2x＋3，作点A使得A与N关于y轴对称，连接MA，与y轴交于点P，易得P（0，2），作点B使得B与N关于x轴对称，连接MB，与x轴交于点Q，易得Q（），MA)，则A（-p,0），所以OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，p,-p为方程-x2+m=0的两根，根据地一元二次方程根与系数关系，得p2=m，又因为OC=AB，所以C(0,2P)，代入解析式得2p=m，则可求出m值．解：∵二次函数，∴二次函数图象的对称轴为y轴，又∵函数图像与x轴交于A、B两点，∴点A、B关于y轴对称，设B(p,0)(P>0)，则A（-p，0），∴OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，x=p，x=-p为方程-x2+m=0的解，∴-p2=-m，即p2=m，∴OC=AB=2p，∴C(0,2P)，代入函数解析式，得2p=m，∴p=,∴，∵m>0，∴m=4，故答案为：4．【点拨】本题考查抛物线的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程根与系数关系是解题的关键．【分析】设此抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x轴上截得的线段长为6，求出a的值即可．解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a（x-2）2+9，∵且它在x轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a（x-2）2+9，即：ax2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya（x-2）2+9在x轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x1，x2，∴x1+x2=4，x1•x2= ，∴|x1-x2|= 即16-4×=36解得：a=-1，y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9．【点拨】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．x＜-1或x＞3【分析】由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，都是0，由此求出y＞0时的x的取值范围；解：由表格可知：二次函数对称轴为直线x=1，开口向上，∵当x=-1时，y=0，则当x=3时，y=0，∴当y＞0时，x的取值范围是：x＜-1或x＞3，故答案为：x＜-1或x＞3．【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．【分析】根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴的一个交点，确定抛物线与x轴的另一个交点，再结合图象即可得出答案．解：根据二次函数图象可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为（-1,0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3,0），结合图象可知，当 y＞0 时，即x轴上方的图象，对应的x 的取值范围是，故答案为： ．【点拨】本题考查了二次函数与不等式的问题，解题的关键是通过图象确定抛物线与x轴的另一个交点，并熟悉二次函数与不等式的关系．x＜-1或0＜x＜1【分析】根据y=0时，对应x的值，再求函数值y＞0时，对应x的取值范围．解：y=0时，即-x3+x=0，∴-x(x2-1)=0，∴-x(x+1) (x-1)=0，解得x=0或x=-1或x=1，∴函数y=-x3+x的部分图像与x轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y＞0时，对应x的取值范围上是：x＜-1，0＜x＜1．故答案为：x＜-1或0＜x＜1．【点拨】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．或【分析】已知一元二次方程的解，可先将其转化为二次函数，根据开口方向和与x轴交点位置即可算出解集．解：令y=，当y=0时，，又∵a=1∴此二次函数开口方向向上∴的解集为或．【点拨】本题考查一元二次方程与二次函数的关系．通过交点确定一元二次不等式的解集是解决本题的关键．注意数形结合．　（1）；（2）【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．解：（1）设直线AB为把点、代入解析式得： 解得： 直线为 把代入得： 把代入： ， （2）设 轴，则 由＜＜， 即当时， 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．【分析】（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况．解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8，即（0＜x＜8）；（2）能，理由如下：∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），即=12，解得：x=2或x=6，∴设计费能达到24000元．（3）∵，∴当x=4时，S最大值=16，∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．31．(1)m=1(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，∴4=4+2m+m2−3，即m2+2m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．【点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．（1）；（2）【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；（2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值.解：（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），∴，解得，∴a的值为1，b的值为-4；（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，∴，解得或（舍去）∴m的值为-1.【点拨】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.33．(1)，顶点坐标为(2)【分析】（1）根据公式求对称轴，将顶点坐标代入求解的值，进而可得抛物线解析式；（2）画二次函数图象，根据图象与交点可得不等式的解集．（1）解：对称轴为，将代入抛物线得解得或（舍去）∴抛物线的函数表达式为，顶点坐标为．（2）解：如图，令，解得，或（舍去）∴由图象可知当时，．【点拨】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，不等式的解集．解题的关键在于对二次函数知识的灵活运用．（1）m＝3；y＝﹣x2+2x+3；（2）△OAB的面积＝；（3）x＜0或x＞1．【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象即可求得．解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3），∴m＝3，∴直线为y＝x+3，∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）解得或，∴B（1，4），∴△OAB的面积＝＝；（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数与不等式，掌握数形结合是解题的关键．（1）①③；（2）-13【分析】（1）根据转化思想与数形结合思想的定义即可求解；（2）根据函数图像即可得到解集；（3）根据题意作出函数图像，根据图像即可求解．解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想．故答案为：①③；（2）根据函数图像可得的解集是-13．【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题中的方法进行求解．…-2013……6-4-6-4…x-2-101y0466x…0123…y…232…x…﹣1012…y…0343…x…0123…y…0……