苏科版九年级下册第5章 二次函数综合与测试同步训练题

2021-2022学年第1单元：《二次函数》

高频易错题

一、单选题

1．（2022•瑞安市开学）抛物线y＝x2+2bx+3的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+2bx+3﹣t＝0（t为实数）在0＜x＜5的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）

A．﹣1≤t＜8 B．t≥﹣1 C．3＜t＜8 D．﹣1≤t＜3

2．（2021秋•辛集市期末）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）

A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3

3．（2021秋•泰安期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（　　）

A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米

4．（2021秋•惠州期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），下列结论中：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中：m≠1）．正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．（2021•宁波模拟）已知二次函数y＝2x2+bx+c的图象上有两点A（﹣3，y1）和B（2，y2），且y1＞y2，则b的取值范围是（　　）

A．b＞12 B．b＜12 C．b≤﹣8 D．b＜2

6．（2021•青山区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：

下列结论：

（1）ac＜0；

（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．

（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；

（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．

其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

7．（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：

①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；

②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；

③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；

④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；

⑤当x＝1时，函数的最大值是4；

⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．

其中正确结论的个数是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，A的坐标为（1，﹣2），B的坐标为（﹣1，﹣5），若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB的下方，则m的取值范围是（　　）

A．m＜﹣3 B．m＞2 C．m＜﹣2或m＞2 D．m＜﹣3或m＞2

9．（2020•安徽模拟）将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4

10．（2021•兰州模拟）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝kx+n（k≠0）上．下列结论错误的是（　　）

A．a+b+c＞﹣k+n 

B．不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1 

C．abc＜0 

D．方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根

二、填空题

11．（2022•禅城区校级开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，下列结论：

①4a+2b+c＞0；

②abc＜0；

③b＜a﹣c；

④3b＞2c；

⑤a+b≤m（am+b）（m任意实数）

正确的个数为 　   　个．

12．（2022•泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为　   　．

13．（2021秋•仪征市期末）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　   　m．

14．（2021秋•宁津县期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为　   　．

15．（2021秋•乐昌市期末）已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示，它们的两个交点的横坐标是1和4，那么能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围是　   　．

16．（2021秋•澄海区期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

则该函数图象的顶点坐标为　   　．

17．（2019•灌云县模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC．若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是　   　．

18．（2021•郑州模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为　   　．

三、解答题

19．（2020•南通模拟）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c＝0．

（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；

（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．

20．（2022•郑州一模）已知抛物线y＝x2+2ax+3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝1，求k的值．

21．（2021•南京二模）某商品有线上、线下两种销售方式．

线上销售：单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5000元；

线下销售：单件利润500元．另需支付其它成本12500元．

注：净利润＝销售商品的利润﹣其他成本．

（1）线上销售100件的净利润为　 　元；线下销售100件的净利润为  　元；

（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，⽐较两种销售方式的净利润；

（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？

22．（2022•温州校级开学）如图，抛物线y＝﹣x2+8x+m与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及B点坐标；

（2）在y轴的正半轴上有一点E，过点E作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，若四边形ABDE为平行四边形，求CD的长．

23．（2022•雨花区校级开学）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“雅点”，如（3，﹣2）与（﹣2，3）是一对“雅点”．

（1）点（m，n）和它的“雅点”均在直线y＝kx+b上，求k的值；

（2）直线y＝kx+3与抛物线y＝ax2+bx+5的两个交点A，B恰好是一对“雅点”，其中点A在反比例函数的图象上，求此抛物线的解析式；

（3）已知A（m，n）（m＜n），B为抛物线y＝ax2+bx+c上的一对“雅点”，且满足：m+n＝3，mn＝﹣4，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足S△PAB＝25，求a+b+c的值．

24．（2021•徐州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，﹣8），抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）求点A的坐标及抛物线的函数表达式；

（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG的长有最大值？最大值是多少？

（3）连接EQ，是否存在t的值使△ECQ为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2bx+3的对称轴为直线x＝﹣＝2，

∴b＝﹣2，

∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），

把x＝0代入y＝x2﹣4x+3得y＝3，

把x＝5代入y＝x2﹣4x+3得y＝8，

∴当0＜x＜5时，﹣1≤y＜8，

∴当﹣1≤t＜8时，直线y＝t与抛物线y＝x2﹣4x+3有交点，

故选：A．

2．【解答】解：∵原抛物线的顶点为（1，2），

∴向左平移1个单位后，得到的顶点为（0，2），

∴平移后图象的函数解析式为y＝x2+2．

故选：A．

3．【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），

设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，

2.25＝a（0﹣1）2+3，

解得a＝﹣0.75，

∴y＝﹣（x﹣1）2+3，

当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，

解得，x1＝﹣1，x2＝3，

∴点B的坐标为（3，0），

∴OB＝3，

答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．

故选：B．

4．【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴右侧，函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上，

∴a＜0，b＞0，c＞0，

∴abc＜0，故①错误，不符合题意；

②由图象可知，当x＝﹣1时，y＝0，

∴a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；

③∵函数图象的对称轴为x＝1，

∴x＝0时和x＝2时的函数值相等，

∵x＝0时，y＞0，

∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；

④∵函数图象的对称轴为x＝1，

∴＝1，

∴b＝﹣2a，

∵a﹣b+c＝0，

∴﹣2a+2b﹣2c＝0，

∴b+2b﹣2c＝3b﹣2c＝0，故④错误，不符合题意；

⑤∵函数图象的对称轴为x＝1，开口向下，

∴当x＝1时，函数值取得最大值，

∴a+b+c＞m（am+b）+c，

∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意，

∴正确的结论有2个，

故选：A．

5．【解答】解：当y1＝y2时，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣，

解得b＝2，

∵y1＞y2，

∴﹣＞﹣，

∴b＜2，

故选：D．

6．【解答】解：（1）由图表中数据可得出抛物线开口向下，a＜0；

又x＝0时，y＝3，

∴c＝3＞0，

∴ac＜0，故（1）正确；

（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，

∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；

（3）∵x＝3时，y＝3，

∴9a+3b+c＝3，

∵c＝3，

∴9a+3b+3＝3，

∴9a+3b＝0，

∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确；

（4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，

∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，

∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，

∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．

故选：C．

7．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；

②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；

③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；

④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；

⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；

⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确的．

故答案为：①②③④⑥．

故选：B．

8．【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1，

∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1，

∴抛物线顶点为（m，﹣1），

当﹣1≤m≤1时，

∵﹣1＞﹣2＞﹣5，

∴顶点在线段AB的上方，不符合题意；

当m＜﹣1时，

若二次函数的图象与线段AB交于点B，

则当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，

解得：m1＝﹣3，m2＝1（舍去），

∴要使二次函数的图象在线段AB的下方，

则需要将图象向左平移，

∴m＜﹣3，

当m＞1时，若二次函数图象与线段AB交于点A，

则当x＝1时，

y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2，

解得：m1＝2，m2＝0（舍去），

∴而要使二次函数始终在线段AB下方，则需要将图象向右平移，

∴m＞2，

综上所述：m＜﹣3或m＞2．

故选：D．

9．【解答】解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，m+1），

令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），

根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，

当x＝4时，y′＝8﹣m，

当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；

①当点A在直线x＝4的左侧时（直线n所处的位置），

即1+＜4，解得：m＜8；

当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8﹣m，解得：m≥3.5，

当m＝3.5时，此时最大值最小为3.5；

当函数在x＝4处取得最大值时，即m+1≤8﹣m，解得：m≤3.5，

m最大为3.5时，此时最大值为m+1＝4.5，

故m＝3.5；

②当点A在直线x＝4的右侧时（直线m所处的位置），

即1+＞4，解得：m＞8；

函数的最大为m+1＞9＞3.5；

综上，m＝3.5，

故选：C．

10．【解答】解：∵直线y2＝kx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），

∴a﹣b+c＝﹣k+n，

∴a+b+c＞﹣k+n，所以A正确；

∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，

∴不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以B正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∴b＝2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＜0，所以C正确；

∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），

∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，

∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以D错误；

故选：D．

二．填空题

11．【解答】解：①由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故①正确；

②由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故②正确；

③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即b＝a+c＞a﹣c，故③错误；

④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，

即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；

⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，

而当x＝m时，y＝am2+bm+c，

所以a+b+c≥am2+bm+c，

故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），故⑤错误．

综上所述，①②④正确，

故正确的个数为3个．

故答案为：3．

12．【解答】解：由题意抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为（4，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣6，0），

∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣6．

故答案为﹣6

13．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），

所以推铅球的距离是10米．

故答案为：10

14．【解答】解：过B作BC⊥y轴于C，

根据平移得：x轴上面的阴影部分的面积等于四边形OABC中空白部分的面积，则对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于四边形OABC的面积，

y＝x2﹣2x＝（x2﹣4x+4﹣4）＝（x﹣2）2﹣2，

∵点B是抛物线y＝x2﹣2x的顶点，

∴B（2，﹣2），

∴AB＝2，BC＝2，

∵四边形OABC为矩形，

∴S四边形OABC＝2×2＝4，

即对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于4，

故答案为：4．

15．【解答】解：依题意得，能够使得y1＜y2的自变量x的取值范围，

实质上就是根据图象找出函数y1＝kx+m的值小于y2＝ax2+bx+c的值时x的取值范围，

由两个函数图象的交点横坐标及图象的位置可以知道此时x的取值范围x＞4或x＜1．

故填空答案：x＞4或x＜1．

16．【解答】解：∵x＝﹣3、x＝﹣1时的函数值都是﹣3，相等，

∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，

顶点坐标为（﹣2，﹣2）．

故答案为：（﹣2，﹣2）．

17．【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+2x+8，∴抛物线的顶点为A0（1，9），

对称轴为x＝1，

与x轴交于两点B（﹣2，0）、C（4，0），

分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E，则

两圆与抛物线均交于两点P（1﹣2，1）、Q（1+2，1）．

可知，点A在不含端点的抛物线内时，∠BAC＜90°，

且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9，

即AD的取值范围是3＜AD≤9．

18．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，∠BAD＝∠BAN+∠NAD＝90°，

∵∠MAB+∠BAN＝90°，

∴∠MAB＝∠NAD，

∵∠BMP+∠BPM+∠MBP＝∠PAD+∠PDA+∠APD＝180°，

∠MPB＝∠APD，∠BMP＝∠DAP＝90°，

∴∠MBP＝∠ADP，

在△AMB和△AND中，

，

∴△AMB≌△AND（ASA）．

∴S△AMB＝S△AND，

∵S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝4×4＝8，

∴当S△AMB面积最大时，S△BNC面积最小，

∵∠BMD＝90°，

∴点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上，

当△ABM面积最大时，OM⊥AB，如图，

∵点O为BD中点，OM∥AD，

∴OK＝AD＝2，

∵BD＝BC＝4，

∴OM＝BD＝2，

∴MK＝OM﹣OK＝2﹣2，

∴S△AMB＝AB•MK＝4﹣4，

∴S△BNC＝8﹣S△AMB＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．

故答案为：12﹣4．

三．解答题

19．【解答】解：（1）联立方程得：ax2+2bx+c＝0，

△＝4（a2+ac+c2）＝4[（a+c）2﹣ac]，

∵a＞b＞c，a+b+c＝0，

∴a＞0，c＜0，

∴Δ＞0，

∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x1，x2，则

|A1B1|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，

＝（﹣）2﹣＝＝，

＝4[（）2++1]，

＝4[（+）2+]，

∵a＞b＞c，a+b+c＝0，

∴a＞﹣（a+c）＞c，a＞0，

∴﹣2＜＜﹣，

此时3＜A1B12＜12，

∴＜|A1B1|＜2．

20．【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3，

解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图，

当x＝1时，y有最小值﹣4，

∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，

∴n＝﹣4，

而m+n＝1，

∴m＝5，

当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴k＝4．

21．【解答】解：（1）线上销售100件的净利润为：（600﹣100）×100﹣5000＝45000（元），

线下销售100件的净利润为：500×100﹣12500＝37500（元），

故答案为：45000，37500；

（2）设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，

则y1＝x(600﹣x)﹣5000＝﹣x2+600x﹣5000，

y2＝500x﹣12500，

当y1＞y2时，

﹣x2+600x﹣5000＞500x﹣12500（0＜x≤600），

解得：0＜x＜150，

当y1＝y2时，

﹣x2+600x﹣5000＝500x﹣12500（0＜x≤600），

解得：x＝150，

当y1＜y2时，

﹣x2+600x﹣5000＜500x﹣12500（0＜x≤600），

解得：150＜x≤600，

∴当0＜x＜150时，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，当x＝150时，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，当150＜x≤600时，线上销售的净利润小于线下销售的净利润；

（3）设线上销售a件，售完后的净利润是m元，

m＝a(600﹣a)﹣5000+500(400﹣a)﹣12500＝﹣a2+100a+182500＝﹣(a﹣50)2+185000，

∵﹣1＜0，

∴当a＝50时，m有最大值185000，

400﹣50＝350（件），

答：售完后的最大净利润是185000元，此时线上销50件、线下销售350件．

22．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣x2+8x+m，得﹣1+8+m＝0，

解得m＝﹣7，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8x﹣7，

∵y＝﹣x2+8x﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，

∴抛物线的对称轴为直线x＝4；

当y＝0时，则﹣x2+8x﹣7＝0，

解得x1＝1，x2＝7，

B（7，0）．

（2）如图，作抛物线的对称轴交DE于点F，则点F的横坐标为4，

∴EF＝4，

∵四边形ABDE为平行四边形，

∴DE＝AB＝7﹣1＝6，

∴CF＝DF＝6﹣4＝2，

∴CD＝CF+DF＝2+2＝4，

∴CD的长为4．

23．【解答】解：（1）∵点（m，n）和它的“雅点“均在直线y＝kx+a上，

把（m，n）和（n，m）代入，

得：，

两式相减得：（m﹣n）k＝（n﹣m），

∴k＝﹣1；

（2）设A点坐标为（m，n），

∵点A在反比例函数的图象上，

∴mn＝2，

∵点A和它的“雅点”均在直线y＝kx+3上，

由（1）得，k＝﹣1，

∴n＝﹣m+3，即m+n＝3，

由，

解得： 或，

∴这一对“雅点”坐标为（1，2）和（2，1），

将这两点坐标分别代入y＝ax2+bx+5，

得方程组：，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+5；

（3）∵m+n＝3，mn＝﹣4，

∴ 或，

∵m＜n，

∴点A坐标为（﹣1，4），点B坐标为（4，﹣1），

根据题意得：，

解得：，

∴二次函数关系式为：y＝ax2﹣（1+3a）x+3﹣4a，

过点P作PQ∥AB交y轴于点Q，

∵该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为25，

∴该直线与抛物线有且只有一个交点，

设直线AB的函数关系式为：y＝tx+s，

把A（﹣1，4）和B（4，﹣1）代入，

得：，

解得：，

直线AB的函数关系式为：y＝﹣x+3，

∴点D坐标为（0，3），

由PQ∥AB，设直线PQ的关系式为：y＝﹣x+d，

∵S△ABQ＝S△ABP＝25，

∴QD•（xB﹣xA）＝QD×（4+1）＝25，

解得：QD＝10，

①a＞0时，如图1，在AB下方有一个点P，上方必有两个点P满足条件，

点Q坐标为（0，﹣7），

∴直线PQ的关系式为：y＝﹣x﹣7，

令y＝ax2﹣（1+3a）x+3﹣4a＝﹣x﹣7，

消元得：ax2﹣3ax+10﹣4a＝0，

Δ＝9a2﹣4a（10﹣4a）＝0，

解得：a＝1.6，

∴b＝﹣1﹣3a＝﹣5.8，c＝3﹣4a＝﹣3.4，

∴a+b+c＝﹣7.6；

②a＜0时，如图2，在AB上方有一个点P，下方必有两个点P满足条件，

点Q坐标为（0，13），

∴直线PQ的关系式为：y＝﹣x+13，

令y＝ax2﹣（1+3a）x+3﹣4a＝﹣x+13，

消元得：ax2﹣3ax﹣10﹣4a＝0，

Δ＝9a2﹣4a（﹣10﹣4a）＝0，

解得：a＝﹣1.6，

∴b＝﹣1﹣3a＝3.8，c＝3﹣4a＝9.4，

∴a+b+c＝11.6，

综上所述：a+b+c＝﹣7.6或11.6．

24．【解答】解：（1）∵矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，﹣8），∴AD∥x轴，AB∥y轴，点A的坐标为（4，﹣8），

将A（4，﹣8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx得：，

解得：，

故抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x；

（2）如图1，由题意得：AP＝t，

∴PB＝8﹣t，

设直线AC的解析式为：y＝kx+n，

则，解得：，

∴直线AC的解析式为：y＝2x﹣16，

∵PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

∴，即，

∴PE＝t，

当x＝4+t时，y＝2（4+t）﹣16＝t﹣8，

∴E（4+t，t﹣8），G（4+t，﹣8），

∴EG＝t﹣8﹣（t2﹣8）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+2，

∵﹣＜0，

∴当t＝4时，EG有最大值是2；

（3）有三种情况：

①当EQ＝QC时，

∵Q（8，﹣t），E（4+t，t﹣8），QC＝t，

∴根据两点间距离公式，得：

（4+t﹣8）2+（t﹣8+t）2＝t2．

整理得13t2﹣144t+320＝0，

（t﹣8）（13t﹣40）＝0，

解得t＝或t＝8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；

②当EC＝CQ时，

∵E（4+t，t﹣8），C（8，0），QC＝t，

∴根据两点间距离公式，得：

（4+t﹣8）2+（t﹣8）2＝t2，

整理得t2﹣80t+320＝0，

解得：t1＝40﹣16，t2＝40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）；

③当EQ＝EC时，

∵Q（8，﹣t），E（4+t，t﹣8），C（8，0），

∴根据两点间距离公式，得：（4+t﹣8）2+（t﹣8+t）2＝（4+t﹣8）2+（t﹣8）2，

解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t＝．

综上，t的值是或40﹣16或．