北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题2.1 一元二次方程（知识解读）

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专题2.1一元二次方程（知识解读）【直击考点】 【学习目标】掌握一元二次方程有关概念；会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；会用整体思想求解【知识点梳理】考点 1 一元二次方程的概念 ：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。考点2 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 考点3 一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.考点4 一元二次方程的重要结论：若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【典例分析】【考点 1 一元二次方程的概念】【例1】（2022春•雨山区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．＝4【变式1-1】（2021•镇原县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）A．x2+＝0 B．y2﹣3x+2＝0 C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2【变式1-2】（2021秋•平顶山期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）A．x2﹣3＝x3 B．2x2+3x﹣6＝0 C．5xy﹣x+2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x2【变式1-3】（2021秋•灵川县期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）A．x2﹣1＝2x B．x3+2x2＝0 C． D．x2﹣y+1＝0【例2】（2021•袁州区校级期中）已知关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣1或1【变式2-1】（2021秋•开封期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（　　）A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【变式2-2】（2021秋•双阳区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3【变式2-3】（2021秋•钦州月考）方程（m﹣2）x+（ m+2）x+5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）A．m＝±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝1【考点 2 一元二次方程的一般形式】 【例3】（2021•武陵区校级期末）一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2【变式3-1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（　　）A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0【变式3-2】（2021春•阜南县期末）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【变式3-3】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【考点 3 一元二次方程的解】 【例4】（2020•河南模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【变式4-1】（2021•南宁期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根，那么k＝　　．【变式4-2】（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（　　）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．【变式4-3】（2022•罗湖区校级一模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023【例5】（2021•历城区期末）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2019的值为（　　）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【变式5-1】（2020春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【变式5-2】（2022春•柯桥区月考）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，则2024+2a﹣2b的值为（　　）A．2022 B．2020 C．2024 D．2018【变式5-3】（2021•桐梓县期中）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（　　）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020专题2.1 一元二次方程（知识解读）【直击考点】 【学习目标】掌握一元二次方程有关概念；会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；会用整体思想求解【知识点梳理】考点 1 一元二次方程的概念 ：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。考点2 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 考点3 一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.考点4 一元二次方程的重要结论：若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【典例分析】【考点 1 一元二次方程的概念】【例1】（2022春•雨山区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．＝4【答案】B【解答】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．【变式1-1】（2021•镇原县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）A．x2+＝0 B．y2﹣3x+2＝0 C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2【答案】C【解答】解：A、x2+＝0是分式方程，故错误；B、y2﹣3x+2＝0是二元二次方程，故错误；C、x2＝5x是一元二次方程，故正确；D、x2﹣4＝（x+1）2是一元一次方程，故错误，故选：C．【变式1-2】（2021秋•平顶山期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）A．x2﹣3＝x3 B．2x2+3x﹣6＝0 C．5xy﹣x+2＝0 D．（x+1）（x﹣2）＝x2【答案】B【解答】解：A．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元二次方程，故本选项符合题意；C．该方程是二元二次方程，故本选项不合题意；D．该方程（x+1）（x﹣2）＝x2化简后得，x+2＝0是一元一次方程，故本选项不合题意．故选：B．【变式1-3】（2021秋•灵川县期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　）A．x2﹣1＝2x B．x3+2x2＝0 C． D．x2﹣y+1＝0【答案】A【解答】解：A．x2﹣1＝2x，故A符合题意；B．x3+2x2＝0，不是一元二次方程，故B不符合题意；C．x2+＝0，不是一元二次方程，故C不符合题意；D．x2﹣y+1＝0，不是一元二次方程，故D不符合题意；故选：A．【例2】（2021•袁州区校级期中）已知关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣1或1【答案】B【解答】解：∵方程（a+1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，∴|a|+1＝2且a+1≠0，∴a＝±1且a≠﹣1，∴a＝1，故选：B．【变式2-1】（2021秋•开封期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（　　）A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【答案】C【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：C．【变式2-2】（2021秋•双阳区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3【答案】B【解答】解：∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，∴m﹣3≠0，解得：m≠3．故选：B【变式2-3】（2021秋•钦州月考）方程（m﹣2）x+（ m+2）x+5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）A．m＝±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝1【答案】B【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，故选：B【考点 2 一元二次方程的一般形式】 【例3】（2021•武陵区校级期末）一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，﹣3，2【答案】A【解答】解：方程x2﹣3＝2x，即x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是1、一次项系数是﹣2、常数项是﹣3，故选：A．【变式3-1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（　　）A．2x2+5x﹣7＝0 B．2x2+5x+1＝0 C．2x2﹣5x+1＝0 D．x2﹣7x﹣1＝0【答案】B【解答】解：（x+3）（2x﹣1）＝﹣4，2x2﹣x+6x﹣3+4＝0，2x2+5x+1＝0，故选：B．【变式3-2】（2021春•阜南县期末）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【答案】D【解答】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，故选：D．【变式3-3】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【答案】B【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，故选：B．【考点 3 一元二次方程的解】 【例4】（2020•河南模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【答案】B【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解得：a＝1或a＝﹣1，∵a﹣1≠0，即a≠1，∴a＝﹣1，故选：B．【变式45-1】（2021•南宁期末）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根，那么k＝　　．【答案】1【解答】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣kx＝0，得：1﹣k＝0，解得：k＝1，故答案为：1【变式4-2】（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（　　）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．【答案】A【解答】解：把x＝﹣1代入x2﹣mx﹣2m﹣4＝0得1+m﹣2m﹣4＝0，解得m＝﹣3．故选：A．【变式4-3】（2022•罗湖区校级一模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，所以a+b＝﹣1，所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．故选：D．【例5】（2021•历城区期末）已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2019的值为（　　）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】B【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019＝2×1+2019＝2021．故选：B．【变式5-1】（2020春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【答案】C【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C【变式5-2】（2022春•柯桥区月考）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，则2024+2a﹣2b的值为（　　）A．2022 B．2020 C．2024 D．2018【答案】A【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，∴a﹣b+1＝0，∴a﹣b＝﹣1，∴2024+2a﹣2b＝2024+2（a﹣b）＝2024+2×（﹣1）＝2022．故选：A．【变式5-3】（2021•桐梓县期中）m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（　　）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】C【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m＝1∵m3+2m2+2018＝m3+m2+m2+2018＝m（m2+m）+m2+2018＝m+m2+2018＝1+2018＝2019．故选：C．