初中人教版（2024）22.3 实际问题与二次函数教案设计

这是一份初中人教版（2024）22.3 实际问题与二次函数教案设计，共19页。

课时目标
1.会用二次函数模型表示实际问题的数量关系,掌握用二次函数解决实际问题的一般步骤.
2.会根据实际问题确定变量的取值范围,并利用二次函数图象和性质求最值.
3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
学习重点
根据实际问题列出函数关系式并确定自变量的取值范围.
学习难点
利用二次函数图象和性质解决实际问题.
课时活动设计
复习导入
如何求出y=ax2+bx+c(a≠0)的最值?教师用多媒体展示答案.
y=ax2+bx+c
=ax2+bax+ca
=ax2+bax+b24a2-b4a2+ca
=ax2+bax+b24a2-b24a2+4ac4a2
=ax+b2a2+4ac-b24a
一般抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(高)点,当x=-b2a时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值y=4ac-b24a.
设计意图:学生回顾之前所学知识,为本节的内容学习作铺垫.
探究新知
多媒体展示问题:用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?
学生尝试求解,教师用多媒体展示答案.
解:根据题意,得S=l(30-l),即S=-l2+30l(0因此,当l=-b2a=-302×(-1)=15时,S有最大值4ac-b24a=-3024×(-1)=225.
即当l是15 m时,场地的面积S最大.
设计意图:通过实际问题让学生经历数学建模的基本过程,学习探究几何图形最值问题,引导学生积极参与到本节的学习中来.
新知讲解
利用二次函数解决几何图形的最值问题:
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式;
2.确定自变量的取值范围;
3.解决实际问题.
设计意图:归纳总结,学生梳理做题步骤,使学生明确本节知识的重点,达成教学目标.
典例精讲
例 如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x(m),面积为S(m2),当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?
解:由题意,得S=x(24-4x)=-4x2+24x(0当x=-b2a=-242×(-4)=3时,S有最大值4ac-b24a=4×(-4)×0-2424×(-4)=36.
答:当x取3时所围成的花圃面积最大,最大值为36 m2.
设计意图:通过例题讲解,规范学生解题步骤,让学生感受数学的严谨性.加深学生对新知识的理解与掌握.
拓展应用
已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少?
解:∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,
则该直角三角形面积为S=12(8-x)x,
∴S=-12x2+4x.
∴当x=-b2a=4,即一边为4时,S有最大值是4ac-b24a=8.
∴当两直角边都是4时,直角三角形面积最大,最大值为8.
设计意图:体会知识的不同考法.灵活应用所学知识,提高解题能力.
课堂小结
用二次函数解决实际问题的一般步骤:
1.审:仔细审题,理清题意;
2.设:找出题中的变量和常量,分析它们之间的关系,与图形相关的问题要结合图形具体分析;
3.列:用二次函数表示出变量和常量之间的关系,建立二次函数模型,写出二次函数的解析式;
4.解:依据已知条件,借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题;
5.检:检验结果,得出符合实际意义的结论;
6.答:写出答案.
设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆.
随堂小测
1.用一段长为15 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形菜园的最大面积是 2258 m2 .
2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿AB以2 cm/s的速度向B移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿BC以4 cm/s的速度向C移动(不与点C重合).如果点P,点Q分别从A,B同时出发,那么经过 3 秒,四边形APQC的面积最小.
3.如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?
解:令AB长为1,设正方形EFGH的面积为y,AE=x,则EB=1-x.
易得△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EB=AH=1-x.
∴y=12-4×12x(1-x)=2(x-12)2+12(0∴当x=12时,y有最小值12.
∴当E位于AB中点时,正方形EFGH面积最小.
设计意图:学生独立完成,教师进行讲评,突出本节课的重点,达到查漏补缺的目的.
课堂8分钟.
1.教材第52页习题22.3第4,5,6题.
2.七彩作业.
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
运用二次函数知识解决实际问题的方法:
1.分析题意,把实际问题转化为数学问题.
2.列函数解析式求解.
3.根据所求解解决具体的实际问题.
教学反思


第2课时 二次函数与商品利润
课时目标
1.根据实际问题找出变量之间存在的关系,列出函数关系式并确定自变量的取值范围,解决商品销售问题.
2.经历数学建模的基本过程,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
学习重点
根据实际问题列出函数关系式并确定自变量的取值范围.
学习难点
利用二次函数图象和性质解决商品销售问题.
课时活动设计
情境引入
多媒体展示图片
在日常生活中存在着许多与数学有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西.如果你去买商品,你会选哪一家店呢?如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?
设计意图:从学生熟悉的生活事物中导入新课,提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见.
探究新知
探究1 销售问题中的数量关系
多媒体展示问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是 18 000 元,销售利润是 6 000 元.
数量关系:(1)销售额=售价×销售量;
(2)利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;
(3)单件利润=售价-进价.
探究2 销售的最大利润问题
多媒体展示问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
师生活动:引导学生分析涨价和降价两种情况.
教师提出问题:该如何定价呢?问题中的变量是什么?
学生尝试解答,教师用多媒体展示答案.
涨价销售
①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
师生共同写出涨价问题的函数关系式y=(20+x)(300-10x),即y=-10x2+100x+6 000.
②自变量x的取值范围如何确定?
教师引导学生探索确定变量x的取值范围的方法.
学生尝试解答,教师用多媒体展示答案.
营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.
③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少?
学生尝试解答,教师用多媒体展示答案.
当x=-1002×(-10)=5时,
y=-10×52+100×5+6000=6 250.
60+5=65,∴在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6 250元.
师生活动:按照上述涨价的问题,教师给予学生时间解答降价的最值问题.
降价销售
①每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
建立函数关系式y=(20-x)(300+20x),即y=-20x2+100x+6 000.
②自变量x的取值范围如何确定?
营销规律是价格下降,销量上升,因此只要考虑单件利润就可以,故20-x≥0,且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.
③降价多少元时,利润最大,最大利润是多少?
即y=-20x2+100x+6 000,
当x=-1002×(-20)=2.5时,y=-20×2.52+100×2.5+6 000=6 125.
∴在降价的情况下,降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6 125元.
综合可知,降价2.5元,即定价57.5元时,才能使利润最大.
设计意图:通过实际问题让学生经历数学建模的基本过程,学习和探究商品销售中的数量关系和最值问题,用已有知识分析新知识,通过提问环节,让学生积极参与到本节学习中来.
新知讲解
二次函数解决销售问题的一般步骤:
(1)确定自变量和函数;
(2)表示出单位利润和销售数量;
(3)利用利润公式列出函数解析式;
(4)运用顶点坐标公式求出问题中的最大(小)值.
设计意图:归纳总结,学生梳理新知识,明确本节内容,达成教学目标.
典例精讲
例 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具,如果以30元/件的价格出售,那么一个月内售出180件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的下降,即销售单价每上涨1元,月销售量将相应减少10件,当销售单价为多少元时,该店能在一个月内获得最大利润?
解:设商品的销售单价上涨x元,一个月内获取的商品总利润为y元.
y=(10+x)(180-10x)=-10x2+80x+1 800=-10(x-4)2+1 960.
由题意,得x≤18.
∴当x=4时,即销售单价为34元时,y取最大值1 960元.
∴当销售单价为34元时,该店在一个月内能获得最大利润,最大利润为1 960元.
设计意图:通过例题讲解,规范解题步骤,让学生感受数学的严谨性.加深对新知识的理解与掌握.
巩固训练
某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,商品售价为x元/件,每月的总利润为Q元.
(1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元?
解:由题意,得当40≤x≤50时,
Q=60(x-30)=60x-1 800.
∵k=60>0,Q随x的增大而增大,
∴当x=50时,总利润最多为60×50-1 800=1 200.
∴此时每月的总利润最多是1 200元.
(2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元?
解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(50≤x≤70),
∵线段过(50,60)和(70,20).
∴50k+b=60,70k+b=20,解得k=-2,b=160.
∴y=-2x+160(50≤x≤70).
∴每月总利润Q=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1 250.
∴当x=55时,Q取最大值为1 250.
∴当商品售价55元时,该商店每月获利最大,最大利润是1 250元.
(3)若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少?
解:∵当40≤x≤50时,Q最大=1 200<1 218.
当50≤x≤70时,Q最大=1 250>1 218.
∴售价x应在50~70元之间.
∴令-2(x-55)2+1 250=1 218,
解得x1=51,x2=59.
当x1=51时,y1=-2x+160=-2×51+160=58(件),
当x2=59时,y2=-2x+160=-2×59+160=42(件).
∴若4月份该商品销售后的总利润为1 218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件.
设计意图:本环节是对课内所学的知识点的加深,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.
课堂小结
设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路.
随堂小测
1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售,可卖出(600-20x)件,要使利润最大,则每件售价应定为 25 元.
2.进价为80元的某件衬衣定价100元时,每月可卖出2 000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 y=2 000-5(x-100) .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 w=[2 000-5(x-100)](x-80) .(以上关系式只列式不化简)
3.某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.
(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为 件;
(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润.
解:(1)180
(2)由题意,得y=(x-40)[200-10(x-50)]=-10x2+1 100x-28 000=-10(x-55)2+2 250.
∴每件销售价为55元时,获得最大利润,最大利润为2 250元.
4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?
解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
=(10+2x)(84-4x)
=-8x2+128x+840
=-8(x-8)2+1 352.
∴当x=8时,w有最大值,且w最大为1 352元.
∴该工艺师生产第8档次产品,可使利润最大,最大利润为1 352元.
设计意图:进一步对本节所学知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
课堂8分钟.
1.教材第51页习题22.3第2题,第52页习题22.3第8题.
2.七彩作业.
第2课时 二次函数与商品利润
运用二次函数知识解决实际问题的方法:
1.分析题意,把实际问题转化为数学问题;
2.列出函数解析式;
3.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
教学反思


第3课时 实物抛物线模型问题
课时目标
1.根据实际问题找出变量之间存在的关系,列出函数关系式并确定自变量的取值范围,解决抛物线形问题.
2.经历数学建模的基本过程,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.
学习重点
根据实际问题列出函数关系式并确定自变量的取值范围.
学习难点
利用二次函数图象和性质解决抛物线形问题.
课时活动设计
情境引入
生活中抛物线随处可见,教师通过多媒体展示图片,引导学生欣赏图片,感受生活中的抛物线.
现实生活中形似抛物线的情景有好多,比如喷泉,建筑,拱桥等等,我们这一节就来研究抛物线形问题.
设计意图:从学生熟悉的生活事物中导入新课,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见.
探究新知
探究 建立平面直角坐标系解答抛物线形问题
多媒体展示问题:如图,一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分,拱桥的跨度是4.9 m,水面宽是4 m时,拱顶距离水面2 m.现在想了解水面宽度变化时,拱顶距离水面的高度怎样变化.你能想出办法来吗?
学生探讨后进行总结,
①建立函数模型.
②拱桥的纵截面是抛物线,所以应当是个二次函数.
③以拱顶为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
多媒体展示图片.
教师引导学生确定二次函数的形式并建立合适的平面直角坐标系,进而确定函数表达式为y=-12x2,其中|x|是水面宽度的一半,y是拱顶离水面高度的相反数,这样我们就可以了解到水面宽度变化时,拱顶距离水面高度怎样变化.
由于拱桥的跨度为4.9 m,因此自变量x的取值范围是-2.45≤x≤2.45.
问:现在你能求出水面宽3 m时,拱顶距离水面多少米吗?
解:水面宽3 m时,x=32,从而y=-12×322=-98=-1.125,
∴拱顶距离水面1.125 m.
设计意图:通过实际问题让学生经历数学建模的基本过程,学习和探究抛物线形问题,通过提问,让学生积极参与到本节的学习中来.
新知讲解
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么?教师通过多媒体给出答案.
设计意图:归纳总结,梳理知识,明确本节的内容,进而达成教学目标.
典例精讲
例1 图中是抛物线形拱桥,拱顶距离水面2 m,水面宽4 m,水面下降1 m时,水面宽度增加了多少?
解法一:如下图所示,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.
∵拱桥距离水面2 m时,水面宽4 m.
∴抛物线过点(2,-2).
∴-2=a×22,
∴a=-12.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-12x2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-3,这时有-3=-12x2,解得x=±6.
这时水面宽度为26 m.
∴当水面下降1 m时,水面宽度增加了(26-4)m.
解法二:如下图所示,以拱桥抛物线和水面的两个交点的连线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系.
设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2+c.
∵抛物线的顶点为(0,2),∴y=ax2+2.
∵水面宽4 m,
∴抛物线过点(2,0),0=a×22+2,a=-12.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-12x2+2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1,这时有-1=-12x2+2,解得x=±6.
这时水面宽度为26 m.
∴当水面下降1 m时,水面宽度增加了(26-4)m.
解法三:如图所示,以拱桥和水面的两个交点的连线为x轴,以其中的一个交点(如左边的点)为原点,建立平面直角坐标系.
∵抛物线的顶点为(2,2),
∴设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)2+2.
∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-2)2+2.
∴a=-12.
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-12(x-2)2+2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-1,这时有-1=-12(x-2)2+2,解得x1=2-6,x2=2+6.
这时水面的宽度为x2-x1=26(m).
∴当水面下降1 m时,水面宽度增加了(26-4)m.
设计意图:通过例题讲解,规范解题步骤,让学生感受数学的严谨性.加深对新知识的理解与掌握.通过一题多解感受抛物线(形)与函数解析式(数)的对应关系.
巩固训练
如图,一名运动员在距离篮球圈4 m(水平距离)远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈,已知篮球的运动轨迹为抛物线,当篮球水平运动距离为2.5 m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5 m,如果篮圈距离地面3.05 m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米?
解:如图,建立直角坐标系.
则点A的坐标是(1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为点B(0,3.5),点C表示运动员投篮球的出手处.
设以抛物线对称轴为y轴的解析式为y=ax2+k,
∵点A,B在这条抛物线上,∴k=3.5,2.25a+k=3.05.
解得k=3.5,a=-0.2.
∴该抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5.
当x=-2.5时,y=2.25.
∴该运动员出手时的高度为2.25 m.
设计意图:本环节加深对课内所学的知识点的理解,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力.
课堂小结
设计意图:通过小结,归纳提升,加强学习反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.
随堂小测
1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形防护栏组成的,为了牢固起见,每隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m(如图),则这条防护栏需要加设的不锈钢支柱的总长度至少为( C )
A.50 m B.100 m C.160 m D.200 m
2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽度为20 m,拱顶距离水面4 m.建立如图所示的直角坐标系,求出这条抛物线的解析式.
解:设抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过点(10,-4),
∴-4=100a,a=-125.
∴y=-125x2.
3.一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系式y=-112x2+23x+c,函数图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离为10 m.
(1)求铅球出手时离地面的高度;
(2)在铅球行进过程中,当它离地面的高度为1112 m时,求此时铅球的水平距离.
解:(1)根据题意,将(10,0)代入y=-112x2+23x+c,
得-112102+2310+c=0,解得c=53.
∴函数关系式为y=-112x2+23x+53.
当x=0,y=-12×02+23×0+53=53.
∴铅球出手时离地面的高度为53 m
(2)将y=1112代入y=-112x2+23x+53,得-112x2+23x+53=1112.
整理,得x2-8x-9=0.
解得x1=9,x2=-1(不符合题意,舍去).
∴此时铅球的水平距离为9 m.
设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
课堂8分钟.
1.教材第52页习题22.3第3题.
2.七彩作业.
22.3 实物抛物线问题
运用二次函数知识解决实际问题的方法:
1.分析题意,把实际问题转化为数学问题;
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系;
3.列出函数解析式;
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题数学问题解决问题
教学反思


单件利润(元)
销售量(件)
每星期利润(元)
正常销售
20
300
6 000
涨价销售
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
单件利润(元)
销售量(件)
每星期利润(元)
正常销售
20
300
6 000
降价销售
20-x
300+20x
y=(20-x)(300+20x)