初中数学人教版（2024）九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优秀学案设计

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（一）学习目标：
通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想
通过对生活实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的知识解决实际问题
3、通过解决实际问题，体会数学加持，从而提高学生学习数学知识兴趣
（二）学习重难点：
学习重点：运用函数知识解决实际问题
学习难点：把实际问题转化成函数关系
基础梳理
阅读课本，识记知识：
在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
典例探究
【例1】 如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度y（m）与运动时间x（min）的运动路线图的一部分，它可以近似地看作抛物线的一部分，其中表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（ ）

A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可．
【详解】根据题意，得，
把，分别代入解析式，得，
解得，
故抛物线解析式为，
故
，
故顶点坐标为，
故最大高度为，
故选B．
【例2】 如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）．
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
【详解】设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即 ，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故选：B．
达标测试
选择题
1．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可．
掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键．
【详解】设月平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
2．如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．
【详解】解：①当在上时，作，如图所示：
由题知，，
，
，
，则，解得，
故，
②当在上时，即时，，
③当在上不与重合，且Q在上时，作，如图所示：
，，
，
，
则，
④当Q在延长线上时，
．
故选：B．
3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与运动时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．小球在空中经过的路程是45mB．小球抛出3秒时，达到最大高度
C．小球抛出3秒时速度最快D．小球的高度时，
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：A、小球能达到的最高高度是45m，故选项错误；
B、小球抛出3秒时，达到最大高度，故选项正确；
C、小球抛出3秒时速度为0，故选项错误；
D、由图象，设函数表达式为：，图象经过原点，
∴，
解得：，
∴，
当时，或；故选项错误；
故选B．
4．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关是．则他将铅球推出的距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当时，
解之得（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
故选：C．
5．如图，正方形中，，点、同时从点出发，以的速度分别沿、运动，到点时停止运动设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分当时，点F在上，点E在上，根据求出S与t之间的函数关系式；当时，点F在上，点E在上，此时，则，据此可得答案．
【详解】解：当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴
；
当时，点F在上，点E在上，此时，
∴，
∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意，
故选D．
6．一边靠墙（墙有足够长），其他三边用米长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（ ）平方米．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形垂直于墙的边长为米，面积为平方米，根据矩形的面积公式即可求出函数解析式，再利用配方法即可求出函数最值，解题的关键在于找出等量关系列出函数解析式．
【详解】解：设矩形垂直于墙的边长为米，面积为平方米，
根据题意得：，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
故选：．
7．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．先求出点A和点B的坐标，则设该抛物线解析式为，再求出点D的坐标，将其代入，求出a的值，得出函数解析式，最后求出当时的函数值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
设该抛物线解析式为，
∵，，
∴，则，
把代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
当时，，
∴门高为，
故选：B．
8．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义．
根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可．
【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得：
即：
故选：C
9．如图，中，，，，P是斜边上一动点（不与点A，B重合），交的直角边于点Q，设为x，的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的大致图象的是（ ）
B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形对应边成比例，以及二次函数开口向上，反之，开口向下．根据题意进行分类讨论：①当点Q在上时：通过证明，得出，根据三角形的面积公式，即可得出y关于x的解析式；②当点Q在上时，通过证明，得出，根据三角形的面积公式，即可得出y关于x的解析式，即可解答．
【详解】解：根据勾股定理可得：，
①当点Q在上时：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴；
②当点Q在上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵为开口向上的抛物线，为抛物线向下的抛物线，
∴表示y关于x的函数关系的大致图象的是C，
故选：C．
10．如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∴与的函数图象是A．
故选：A．
填空题
11．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ．
【答案】11元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据“总利润每瓶利润日均销售量”列方程求解可得．
【详解】解：设每瓶该饮料售价为元，
由题意可知，，
整理得，解得，，
当时，日均销售量为（瓶），
当时，日均销售量为（瓶），
，为尽快减少库存，每瓶该饮料售价为11元．
故答案为：11元．
12．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点到的距离为，，、为桥拱底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为 m．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度较大．首先建立平面直角坐标系，设与轴交于点，求出的长，然后设该抛物线的解析式为：，根据题干条件求出a和k的值，再令，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，即可求解．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图：
设与轴交于点，
由题可知：
设该抛物线的解析式为：，
顶点坐标，
代入点
抛物线∶，
当时，，
故答案为： ．
13．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 m．
【答案】9
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质，即顶点的纵坐标是函数的最值；
开口方向向下，最大值为顶点坐标纵坐标，由公式可得答案．
【详解】
，，，
足球距离地面的最大高度为抛物线的顶点坐标的纵坐标，
函数的对称轴为：，
当时，h最大，
将代入中得，
故答案为：9
14．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
【答案】2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
15．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且相距米，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是．身高米的小丽站在绳子的正下方，且距轴米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距轴米，为确保绳子超过他的头顶，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用， 依据题意，设解析式为，再由小丽的坐标，且过，求出，，最后令时，求出，进而表示出的范围．解题的关键掌握待定系数法求二次函数解析式．
【详解】解：由题意，可知对称轴是：直线，
设解析式为，
又由小丽头顶的坐标，且过，
∴
解得：，
解析式为．
又令时，
或．
．
故答案为：．
三、解答题
16．小宏在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小宏头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：
根据测量数据进行描点，并用平滑曲线连接的图像如下：
请你解决以下问题：
(1)若小彬在小宏正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小宏投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小彬能否阻止此次投篮?并说明理由；
(2)第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小宏第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米?
【答案】(1)不能，理由见解析
(2)小宏第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米
【分析】本题主要考查二次函数的应用：
（1）根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式，当时求出y的值与2.4比较即可；
（2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把代入解析式求出m即可．
【详解】（1）解：不能；
由表可设抛物线的表达式为：
将点代入得，，
解得：，
∴，
当时，，
∵
∴小彬不能阻止此次投篮．
（2）根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为，
∵第二次篮球运行的抛物线经过，
∴
解得，，
答：小宏第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高米．
17．某工厂现有74台机器，每台机器平均每天生产360件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加台机器，每天的生产总量为件，求与之间的关系式，并写出的取值范围；
(2)在（1）的条件下，增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是多少？
【答案】(1)
(2)台，件
【分析】本题主要考查了列二次函数的关系式，求二次函数最大值，
对于（1），根据总产量机器的台数每台机器产量列出关系式，再整理即可；
对于（2），根据二次函数图象的性质讨论极值．
【详解】（1）根据题意，得，
∵解得：；
（2）∵中，
∴二次函数图象有最高点，函数有最大值，
即当，．
所以增加8台机器，可以使每天的生产量最大，最大总量是26896件．
18．某商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价．且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大．
【答案】(1)；
(2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大．
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，
，
，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
0
2
4
6
…
1.8
3
3.4
3
…