初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数获奖课件ppt

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1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t−5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球达到最大高度？小球运动中的最大高度是多少？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：
例1 求下列函数的最大值与最小值：
函数的值随着x的增大而减小.
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
即当l是15m时，场地的面积S最大.
矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为 m.
因此，当 时，
变式 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？
分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m.
矩形菜园的面积S=_________________________.
想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60−2x≤32，即14≤x＜30.
x(60−2x)＝−2x2＋60x
∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2.
解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60−2x)m.
∴矩形菜园的面积S＝x(60−2x)＝−2x2＋60x.
∵S＝−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450，
由题意得0＜60−2x≤32，即14≤ x＜30.
(2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜 园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x m，
由（1）知S＝−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450.
问题1 与(1)有什么区别？
试一试 在(2)中，求自变量的取值范围.
问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？
当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小，
当 x =21时，S取得最大值，
此时S=−2×(21−15)2+450=378m2.
例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x∴ 另一边长为8-x. 则该直角三角形面积：即：当S有最大值 ＝∴当 时，直角三角形面积最大，最大值为8.
x= =4,另一边为4时
如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45;当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD的长为10m；
解：设AD=xm，∴S= x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣ a2．
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 ，依题意得：
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
5. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
6.如图在ΔABC中，AB=8cm,BC=6cm，∠B＝90°点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积ycm2
AP=2x cm PB=（8-2x ） cm
则 y=1/2 x（8-2x）
=-（x2 -4x +4 -4）
= -（x - 2）2 + 4
∴ 当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
最大面积是 4 cm2
∵a＜0， ∴抛物线开口向下