数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数教案

教材分析

本节课是在学生已经学习、、、、图像及其性质基础上引入的，本节课重点是通过函数方法解决实际问题。只有熟练掌握以上各类函数的特点才能灵活的运用不同形式的解析式解决问题。对学生在后面学习二次函数的应用起着一定的作用；整个推理过程以学生的探究，归纳，总结，发现得来的，而且有利于提升学生举一反三、触类旁通能力，同时，二次函数的应用使学生体会数学建模的方法，积累一定的学习经验，综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。

学情分析

本节课是在学生了解了、、、、图像及其性质基础上二次函数解决实际问题的探究，因而是根据学生对二次函数的不同特征的掌握灵活选择合适的方法设二次函数解析式，本节课对函数图形性质的依赖性较高，它将生活实际问题与函数结合起来，对学生思维训练也有很好地帮助。所以教师可以在课本基础上适当拓展。学生在学习了一次函数和二次函数图像与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图像的增减性和最值，但还是不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律

设计思路

本节课的难点在于学生不能用数学思维去理解生活问题，不能很快根据生活问题找出相关关系式，因此教师在教学过程中，应该很好引导学生去探究实际问题的等量关系，解决问题，并归纳建立数学模型的方法步骤。

在此过程中运用合作探究的方法，生生合作、师生合作以及讲练结合的方法及时运用新知、巩固新知，从而能够较为熟练地掌握待定系数法。

对于部分学困生，师生总结的解析式设法的固定形式让他们直接套用公式，从而初步解决此类问题。

教学准备

1．  教师设置习题，制作PPT.

2．  学生通过课后作业熟悉、、、、图像特征，为本节课打好基础。

课时安排

第  1  课时

课时目标

1.能根据实际问题构建二次函数模型。.

2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最值问题。

3. 通过对”矩形面积”、“销售利润 ”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。

4. 体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。

课时重难点

教学重点；

用二次函数做最值来解决实际应用问题。

教学难点：

将实际问题转化为实际问题，并用二次函数性质进行决策。

教学方法：

合作探究法、讲练结合法

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

温故知新

运用PPT展示图表，学生通过填表进一步熟悉

图像及其性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、最值）

 2.二次函数， y=2x2-8x+5分别有最大值还是最小值？当x为何值时， y的值最小（大）？

学生通过PPT展示的表格分别回顾以上函数的基本性质和特征。（本题较为简单，可让中等生口答。）

通过练习使学生熟练掌握二次函数的图像性质，为新课的学习扫清障碍。

提出问题，导入新课

引入：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随矩形一边长的变化而变化，当是多少时，场地的面积S 最大？

通过情境问题直接导入新课，引发学生思考，同时提示学生本节课的主要内容。

直接提问能激发学生学习兴趣，同时也点明了本节课的主旨，方便学生抓住重点。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

新课探究

随堂练习

总结反思 突出重点

 知识准备：

     为了解决这个问题，我们先来看一个类似的问题。

    从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位m）与小球运动时间t（单位：s）的关系式是．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高

度是少？

合作探究一：

好，现在你能尝试着解决我们刚才提出的问题吗？

教师给学生五分钟左右讨论，得出右边问题的结论。教师指导中等生和学困生。

教师应重点关注:

(1)学生是否发现两变量；

(2)学生是否发现矩形的长的取值范围；

（3）学生是否能准确的建立函数关系；

(4) 学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；(5)学生是否能准确的探究出自变量的取值范围。

问题：你能归纳一下解决此类问题的一般步骤吗？

教师总结：

实际问题—建立数学模型—解决数学问题—解决函数问题

（数学建模）

练习1.一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大?

合作探究二：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

在活动中,教师应重点关注:(1)学生在利用函数模型时是否注意分类了；(2)在每一种情况下,是否注意自变量的取值范围了；(3)是否对三种情况的最大值进行比较。

练习2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。售价提高多少元时，才能在半个月内获得最大利润？

补充练习：

为改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

实际问题—建立数学模型—解决数学问题—解决函数问题

学生先自学，思考下列问题。

1.本题是用什么方法解决的？

2.小球运动中的最大高度是什么意思？运用数学知识该如何解释？

同桌前后左右之间讨论下列问题，教师辅导学困生，然后由学生表述自己的想法。

（1）本题要求什么？

（2）如何表示出面积呢，和边长L 之间有什么关系，试着列一下？

（3）结合你列出的函数关系式，你能用数学方法解释一下S最大值的意思吗？

师生共同归纳后得到：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

此处教师给学生单独思考，然后单独提问，教师指导、点拨。

（1）题目中有几种调整价格的方法？

（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了？

展示问题, 学生先独立思考，然后分组讨论,如何利用函数模型解决问题.

。

学生运用本节课知识解决此问题。教师个别辅导。

此题如果直接让出示例题让学生解决有一些难度，因此教师帮学生一步步通过求二次函数最值问题解决生活问题，为解决课本例一提供思路，降低难度。

将问题细化，方便学生思考和讨论，能够很好体会坐标对解析式的影响。

学生练习，教师根据学生做题的熟练程度检查学生的掌握情况。

在此过程中，学生体会数学建模方法，通过学生在实际问题中找到等量关系，列出函数关系，将实际问题的求最值问题转化为具体函数问题求最值，体会二者之间联系。

前面通过合作探究学生已经掌握思考此类题目的方法了，因此此处教师鼓励学生自己思考、回答问题，可以发展学生的自学能力、思考能力和举一反三能力。

教师要讲解，使学生清楚其中的原理，但此处学生了解即可。

学生练习，加强理解和熟练度。

学生练习，教师根据学生做题的熟练程度检查学生的掌握情况。

数形结合，学生结合图形先理解题意，再进一步建立数学的函数模型。

板书设计

22.3  实际问题与二次函数 (第一课时)

实际问题—建立数学模型—解决数学问题—解决函数问题

例一：                                          学生练习展示区

例二：

课后反思