2024年沪教版高一数学第一学期同步讲义-1.3集合与逻辑综合单元复习和单元检测（学生版+教师版）

这是一份2024年沪教版高一数学第一学期同步讲义-1.3集合与逻辑综合单元复习和单元检测（学生版+教师版），文件包含13集合与逻辑综合单元复习和单元检测教师版docx、13集合与逻辑综合单元复习和单元检测学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

1.3集合与逻辑单元复习和单元检测课堂引入前面几次课我们学习了必修第一册第1章《集合与逻辑》的内容，集合是数学的语言，而数学的内容是用逻辑的方式来组织的.练习一个个数学意义上的事实的纽带就是逻辑.学习一些最基本的逻辑，有助于使学生在思考时更加理性，增强思辨能力.在课程标准中，本章内容被定位为“预备知识”的一部分.本章重点关注的是用大家所公认的方式，遵循一些特定的规则来进行数学的思考和表达.本章是后续章节学习的基础，也是能更好地与他人开展交流的必要条件.知识梳理1、集合的概念与表示（1）集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征.常用数集有等.（2）空集是不含任何元素的集合.（3）当，且时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足的所有实数组成的集合记作闭区间.2、集合的关系与运算（1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合.（2）集合与的交集是这两个集合的所有公共元素组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素组成的集合，记作.（3）对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的所有元素组成的集合，记作.3、命题（1）命题是指能判断其真假的语句.（2）命题有真、假两类.4、充分条件与必要条件（1）当时，是的充分条件，是的必要条件.（2）当时，是的充要条件.此时，在推理过程中与能互相替换.5、反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法.例题分析 【例1】如果集合，，，那么下列结论中正确的是（       ）A． B．? C． D．【答案】C【分析】用列举法分别列出集合即可判断.【详解】因为集合，，，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合之间的关系.属于较易题.【例2】设集合是整数集的一个非空子集，对于任意，若且，则称为集合的一个“孤立元”.给定集合，则由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有___________个，分别为___________【答案】     4     、、、【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解.【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，共4个．故答案为：4，、、、【例3】上海市大同中学高一阶段练习）已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______.【答案】2024【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．【详解】解：设集合，由一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有（−1）个可得：含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，若集合的所有非空子集的元素之和是16192，则集合的所有元素和为，则；故答案为：2024．【例4】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为________．【答案】【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据包含关系构造方程，从而求得结果.【详解】由题意，当时，，满足B⊆A当时，       或，解得：或实数组成的集合为故答案为：【例5】以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有_________种不同的选法.【答案】32【分析】根据题意，集合A,B可以互换，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必包含{a,b}，A为B的真子集，从而解得答案.【详解】由题意，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必含有a,b，A为B的真子集，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，共有3+7+7+15=32种.故答案为：32.【例6】已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素、，都有，则称具有性质.（1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；（2）若时，①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.【答案】（1）集合不具有性质，集合不具有性质，理由见解析；（2）①集合具有性质，理由见解析；②，证明见解析.【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可；（2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解.【详解】（1）当时，，不具有性质，因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立，具有性质.因为，对于该集合中任意一对元素，，都有，（2）若时，则，①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质，因为，任取，其中，因为，所以，从而，即，所以，由集合S具有性质，可知存在不大于的正整数，使得对于中的一切元素都有，从集合中任取一对元素，，其中，则由，所以集合一定具有性质，②设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质，任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P，可知存在正整数，使得对于中的一切元素都有，所以一定有，又因为，故，即集合中至少有个元素不在集合中，因此，所以，解得：，当时，取，易知对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素，因此集合S中元素个数的最大值是.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析.师生总结1、主要方法:① 解决集合与不等式问题，要借助于数轴进行交、并、补的运算；② 与点集有关的问题，可以用数形结合的思想或方程组的方法；③ 集合语言的理解. = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；⑤判断充要条件的关键是分清条件和结论；说明不充分或不必要时，只要举出反例即可.2. 易错、易漏点:① 集合与不等式问题中，区间的开、闭容易出错，要特别注意检验区间的端点；② 集合运算时，要注意同解变形问题以及空集这一特殊情况.③要注意一些常用的“结论的否定形式”，如“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式是“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”；复合命题中“且”、“或”的否定；“不都是”与“至多”、“至少”的关系.3．判定充分条件与必要条件的3种方法① 定义法：正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q ≠> p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．② 集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)：若A＝B，则是B的充要条件．③ 等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．4．提醒：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．自主巩固单元检测（60分钟，满分100分）姓名：___________ 分数：____________一、填空题（每题4分，合计分）1、若“”为假命题，则实数m的最小值为___________.【答案】3 【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出的取值范围即可．【详解】解：命题“，有”是假命题，它的否定命题是“，有”，是真命题，即，恒成立，所以，因为，在上单调递减，上单调递增，又，，所以所以，的最小值为，故答案为：．2、已知集合是自然数}，则的真子集共有_______个．【答案】【分析】用列举法表示集合，再根据含有个元素的集合，其真子集有个计算可得；【详解】解：因为是自然数所以所以集合中含有3个元素，其真子集有个；故答案为：3、设集合只有一个子集，则满足要求的实数组成的集合是_________.【答案】【分析】由题意可得，讨论和即可求解.【详解】因为集合只有一个子集，所以，可得无实根，当时，不符合题意，所以，所以满足要求的实数组成的集合是，故答案为：.4、已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为 ___．【答案】【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则集合有1个元素，当时，，满足条件；当时，有一个元素，则，，此时，满足条件.综上所述：或.故答案为：.5、已知集合，则集合A的真子集的个数为_________【答案】15【分析】先求得集合的元素，由此求得集合的真子集个数.【详解】因为，所以x-1是2的因数，即x-1可能是-1，-2，1，2，则={-1，0，2，3}，所以真子集的个数为24-1=15.故答案为：6、设，集合，则___________．【答案】2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．【详解】根据题意，集合，又，，即，故，，则，故答案为：7、已知集合，，且，则的值为________.【答案】【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.【详解】解：因为，，，所以，解得，故答案为：0【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.8、已知集合，，则的充要条件是___________.【答案】，【分析】由集合相等的定义列出方程即可求解.【详解】，或，解得或，当时，，不符合，舍去；当时，，符合题意，的充要条件是.故答案为：.【点睛】本题考查集合相等求参数，属于基础题.二、选择题（每题4分，合计分）9、已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )A．{x|－12}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【答案】B【详解】∵ x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴ x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B．10、设x∈R，则“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq \f(1,2)”是“x3<1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】 由“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”得0＜x＜1，则00恒成立，∴p为真命题，¬p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，¬q为真命题．根据真值表可知p∧(¬q)为真命题，p∧q，(¬p)∧q，(¬p)∧(¬q)为假命题．故选B．12、已知“x>k”是“eq \f(3,x＋1)<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]【答案】A【详解】由eq \f(3,x＋1)<1，可得eq \f(3,x＋1)－1＝eq \f(－x＋2,x＋1)<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“eq \f(3,x＋1)<1”的充分不必要条件，所以k≥2.三、简答题（共4题，合计分）13、已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】或【分析】分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下 ，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.【详解】因为，对于方程，.当时，，则，合乎题意；当时，，此时，合乎题意；当时，即当时，则，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是或.14、定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；(1)求集合的生成集B；(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；(3)若集合，A的生成集为B，求证.【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；（3）求出的范围即可证明出结论(1)由题可知，(1)当时， ，(2) 当时，，（3）当或时，所以(2)（1）当时，，（2）当时，（3）当或时，B的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或 或 ，解得或（舍去）,所以或.(3)证明：，，， ，即 ，又，所以，所以15、已知集合为非空数集，定义：，.(1)若集合，直接写出集合、；(2)若集合，且，写出一个满足条件的集合，并说明理由；(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.【答案】(1)，(2)，，理由见解析(3)1347【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合及；（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；（3）求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．(1)根据题意，由，则，；(2)由于集合，，且，所以中也只包含四个元素，即，剩下的，所以；(3)设满足题意，其中，则，∴，，∴，∵，，中最小的元素为0，最大的元素为，∴，∴，，实际上当时满足题意，证明如下：设，，则，，依题意有，即，故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.16、，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)1 (2)或.【分析】（1）根据，由-4和0是方程的两个根求解；（2 ）根据，分，，，讨论求解.(1)解：， 因为，所以-4和0是方程的两个根，所以，解得，所以实数的值是1；(2)解：，因为，所以当时，，解得，符合题意；当时，，解得，符合题意；当时，，解得，符合题意；当时，，解得，综上：实数的取值范围是或.