第2章 等式与不等式（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第一册）

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第2章 等式与不等式（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)（2019·上海市亭林中学高一期中）若，则____________（在空格处填入“>”“<”）

【答案】

【分析】根据不等式的作差比较法，即可求解.

【详解】因为，可得，所以，所以.

故答案为：

2．(本题4分)（2022·上海市进才中学高三期中）不等式的解集为______．

【答案】或

【分析】将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可.

【详解】，

解得不等式解集为或

故答案为：或.

3．(本题4分)（2021·上海浦东新·高一期中）已知，，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据不等式的性质得结论．

【详解】，则，，则，

所以，所以的范围是．

故答案为：．

4．(本题4分)（2021·上海·位育中学高一期中）不等式的解集是_____________.

【答案】，，

【分析】令，解得：，即，解出的范围即可．

【详解】令，将原不等式化为，

将不等式化简，

得，

，得到，

，可得，

即，解之得或，

得原不等式的解集为，，，

故答案为：，，．

5．(本题4分)（2020·上海市松江一中高一期中）若，则的最小值是________．

【答案】

【分析】由于，进而结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，

当且仅当时等号成立.

所以，的最小值是

故答案为：

6．(本题4分)（2021·上海·高一期中）不等式的解集是，则______．

【答案】

【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.

【详解】由题设，，可得，

∴.

故答案为：

7．(本题5分)（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围___________.

【答案】

【分析】根据题意可得，根据可得，代入求解．

【详解】根据题意可得

∵

∴，即，则或

故答案为：．

8．(本题5分)（2021·上海中学高一期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】由不等式的解集求得后再解不等式．

【详解】不等式的解集为，

则，，解得，

不等式为，，，，

故答案为：．

9．(本题5分)（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【分析】设，根据二次函数的图象与性质，定点，即可求解.

【详解】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，

设，根据二次函数的性质，可得，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

10．(本题5分)（2020·上海·同济大学第二附属中学高一期中）若，，，则ab的最大值为______．

【答案】

【分析】由已知可得，结合，解不等式即可求解．

【详解】∵，，，

∴，

∵，∴，∵，

∴解可得，则ab的最大值为．

故答案为：．

11．(本题5分)（2021·上海·复旦附中高一期中）关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解.

【详解】因为的对称轴为，开口向上，

所以若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，

则分别为3,4,5，

则，解得.

所以a的取值范围是.

故答案为：.

12．(本题5分)（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)

①若，则          ②若，则;

③若，则;             ④若，则.

【答案】②③

【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取检验即可

【详解】①若，当时，则，故①错误；

②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；

③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；

④若，当时，则，故④错误；

故答案为：②③

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)（2021·上海·上外附中高一期中）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，因为为非零实数，所以，

因为，所以，即，所以D正确，

故选：D

14．(本题5分)（2022·上海·复旦附中高二期末）已知，则“或”是“”的（       ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分义非必要

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】当或时，如，，此时，因此不充分，

若且，则，因此是必要的．

即为必要不充分条件．

故选：B．

15．(本题5分)（2022·上海虹口·高一期末）设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件求出和的解集，进而可得的解集.

【详解】的解集为，

则的解集为R.

的解集为，

则的解集为，

转化为

所以不等式的解集为.

故选：B.

16．(本题5分) （2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(       )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.

【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.

故选：A.

三、解答题(共76分)

17．(本题12分)（2022·上海杨浦·高一期末）解下列不等式

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）原不等式等价于，从而可求得结果，

（2）分和两种情况求解即可

(1)

原不等式等价于，即，

所以，原不等式的解集是

(2)

当时，原不等式化为，即.

当时，原不等式化为，即.

综上，原不等式的解集为

18．(本题14分)（2021·上海市甘泉外国语中学高一期末）已知不等式的解集是

(1)若，求的取值范围；

(2)若，求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将代入原不等式，即可求得参数的取值范围；

（2）根据不等式的解集，求得，再求分式不等式即可.

(1)

不等式的解集是，又，

故可得，解得.

故的取值范围为：.

(2)

不等式的解集是，又，故可得，

且，解得，则不等式等价于，

故，且，解得.

即不等式的解集为.

19．(本题16分)（2021·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用．

【答案】(1)

(2)x=24,12800

【分析】（1）设矩形的另一边长为am，根据旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，且面积为求解；

（2）由（1）得到，利用基本不等式求解.

(1)

解：设矩形的另一边长为am，

则，

，

因为，

所以，

则；

(2)

由（1）知：，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

此时最少总费用为12800元.

20．(本题16分)（2022·上海交大附中高二期末）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解．

（2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到的取值范围．

(1)

当时，，即，化简得，即，所以， 所以不等式的解集为，由此可得．

(2)

，可得,

，得，再解，即

①当时，无解，，满足；

②当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．

③当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．

综上所述，a的取值范围是

21．(本题18分)（2021·上海交大附中高一期中）已知不等式，其中x，k∈R．

(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；

(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．

【答案】(1)或或}

(2)

【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；

（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．

（1）

若x＝4，则不等式变形为

即，

解得或，

所以 或或，

故不等式的解集为或或}；

（2）

令，

则不等式对任意k∈R恒成立，

等价于对任意t≥1恒成立，

因为，

当且仅当，即t＝时取等号，

所以x≤，

故x的最大值为．