上教版 (2020)必修 第一册第2章 等式与不等式2.2 不等式的求解学案

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课堂引入
对于一元二次函数，若令y＝0，就得到一元二次方程，若令y＞0或y＜0，就得到不等式或．如何解不等式或？这就是本节所要学习的主要内容．
知识梳理
一、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集.求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式.将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集.
解不等式时，常常要通过等价变形.将原不等式化为较简单的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集.
二、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
注意含参分类讨论，恒等变形.
三、一元二次不等式的解法
定义 设为实数，且，形如的不等式统称为一元二次不等式.
像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
1、我们来探究一元二次不等式的解集：
（1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系．
容易知道：二次方程有两个实数根：；二次函数有两个零点：．
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．
（2）观察图像，获得解集．
画出二次函数的图像，如图，观察函数图像，可知：当或时，函数图像位于轴上方，此时，，即；当时，函数图像位于轴下方，此时，，即；所以，不等式的解集是．
下面我们来探究一般的一元二次不筹式的解法．
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
或 ．
从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）抛物线与轴的相关位置，也就是一元二次方程的根的情况；
（2）抛物线的开口方向，也就是的符号．
总结结果：
（1）抛物线与轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程的判别式三种取值情况（）来确定．因此，要分三种情况讨论．（可以转化为）
（2）分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
设的一元二次方程的两根为、且，，则不等式的解的各种情况如下表：
2．含参的一元二次不等式
如何求含参数的一元一元二次不等式的解集？
回顾不含参一元二次方程的求解“三步曲”：（1）解方程，（2）画草图，（3）写解集．
即：解关于x的不等式
“三步曲”：解方程—— 常对“”的正负进行讨论．
画草图—— 常对的正负进行讨论．
写解集—— 常对两根的大小进行讨论．
故对含参的一元二次不等式大致可以分为三类：①根的大小；②二次项系数；③判别式．
四、韦达定理与一元二次不等式
我们已经知道一元二次方程的两根为、，则满足，
在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）．
五、恒成立及有解问题
一元二次不等式的恒成立及有解问题问题，即可以看成一个函数的图象与轴的位置关系问题．
若是不等式恒成立，则函数图象恒在轴上方，且与轴无交点，即；
若是不等式恒成立，则函数图象恒在轴下方，且与轴无交点，即；
若是不等式有解，则函数存在一部分图像在轴上方，即（要有最大值）；
若是不等式有解，则函数存在一部分图像在轴下方，即（要有最小值）；
六、一元二次不等式的综合应用
在一元二次不等式的实际应用中，常见类型有：面积问题、利润问题等常见的优化设计的最值问题；在一元二次不等式的综合应用中，将函数、方程、不等式三者一起综合探讨，对图象、性质、特殊解等进行求解和讨论，注意利用数形结合、参变分离、方程与函数的转化等方法来解决．
例题分析
【例1】若不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}，则实数a必须满足_______ .
【答案】a<-1
【分析】利用不等式的性质以及一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】因为不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x<1}，
所以a+1<0，则a<-1.
故答案为：a<-1
【例2】设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________.
【答案】
【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则，
故0一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，
则，解得；
当不等式的4个整数解为时，
则，不等式组无解，
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
【例3】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为______ .
【答案】
【分析】根据题目条件得，再把代入原不等式求解即可.
【详解】由题知，，，
把代入原不等式得，，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【例4】解下列关于x的不等式：(p-q)x【答案】当p>q时，解集为;当p【分析】对p，q的的大小进行分类讨论求解.
【详解】因为p≠q，所以当p>q时，p-q>0，则x<，解集为;当p，解集为.
综上，当p>q时，解集为;当p【例5】不等式的解集是 __．
【答案】
【分析】直接利用不等式组的解法的应用求解即可.
【详解】不等式整理得，解得，
则不等式的解集是.
故答案为：.
【例6】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件求出和的解集，进而可得的解集.
【详解】的解集为，
则的解集为R.
的解集为，
则的解集为，
转化为
所以不等式的解集为.
故选：B.
【例7】不等式的解集是，则______．
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：
【例8】不等式恒成立，则实数k的范围为_____________________.
【答案】
【分析】对分两种情况讨论，结合二次函数的图象和性质分析得解.
【详解】解：当时，恒成立，所以符合题意；
当时，由题得.
综合得.
故答案为：
【例9】已知关于x的不等式组无解，求的取值范围.
【答案】
【分析】分别求解不等式①和②，根据不等式组没有解，求得的取值范围.
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
因为不等式组无解，
所以.
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.
【例10】已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）结合根与系数关系求得，根据不等式组的正整数解只有一个求得的取值范围.
（2）对进行分类讨论，结合函数的单调性求得的取值范围.
(1)因为不等式f(x)<0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得，得，所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组，即，解得
因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，
可得6<5－k≤7，－k<6,解得－2≤k<－1，所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)t·f(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有，即，解得；
当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，解得，
综上，t的取值范围是.
师生总结
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式，基本不等式等打基础．本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯．
自主巩固
【巩固1】若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得和2是方程，且，然后由根与系数的关系用表示出，代入中化简后，再解不等式即可
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以和2是方程，且，
所以，得，
所以不等式转化为，
因为，所以，，得，
所以不等式的解集为，
故选：A
【巩固2】一元二次不等式的解集是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得方程的两根为和，且，由根与系数的关系列方程组，解方程组求得、的值即可求解．
【详解】因为一元二次不等式的解集是，
所以方程的两根为和，且，
所以，解得：，，所以，
故选：D．
【巩固3】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.
【详解】解：由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.
故选：C.
【巩固4】已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
【巩固5】关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解.
【详解】因为的对称轴为，开口向上，
所以若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
则分别为3,4,5，
则，解得.
所以a的取值范围是.
故答案为：.
【巩固6】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，根据二次函数的图象与性质，定点，即可求解.
【详解】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，
设，根据二次函数的性质，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【巩固7】不等式的解集为___________.
【答案】.
【分析】对分类讨论，即可求解.
【详解】当时，得或，
当时，则，解得
综上可得不等式的解集为.
故答案为：.
【巩固8】设a，b，c∈R，已知不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），则不等式cx2-bx-a>0的解集为___________.
【答案】
【分析】由不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3）得到a、b、c的关系，把不等式cx2-bx-a>0可化为6x2+5x-1>0，即可求解.
【详解】∵不等式ax2+bx+c＜0解集为（2，3），所以2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，
∴a>0，且，
∴b=-5a，c=6a，
∴不等式cx2-bx-a>0可化为6ax2+5ax-a>0，
又∵a>0，∴6x2+5x-1>0，
解得x＜-1或，
即不等式cx2-bx-a>0的解集为.
故答案为：.
【巩固9】若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】由不等式的解集求得后再解不等式．
【详解】不等式的解集为，
则，，解得，
不等式为，，，，
故答案为：．
【巩固10】若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】将问题转化为在区间内有解，从而求得的最大值即可得解.
【详解】因为在区间内有解，
所以在区间内有解，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，故，
所以，即.
故答案为：.二次函数
的图像
一元二次方程
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
的解集