高中2.2 不等式的求解学案

这是一份高中2.2 不等式的求解学案，文件包含23分式不等式的求解教师版docx、23分式不等式的求解学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共20页， 欢迎下载使用。

课堂引入
在初中我们学习分式方程，即分母中含有未知数的等式叫做分式方程，那么还记得我们如何解分式方程的吗？本节课我们将继解一元二次不等式之后学习如何解分式不等式．
知识梳理
一、分式不等式
像这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式．
即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式．
分式不等式的解法：
基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要．
基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；
②左边进行通分，化为形如的形式；
③同解变形：（1）； （2）；
（3）；（4）．
【拓展】高次不等式的解法：
我们研究的解，此不等式的左端是关于的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程得的四个解分别为，1，2，3． 然后将的取值分成5段，使得四个因式的积为负的范围就是所求的解集，列表如下：
借助于数轴并根据积的符号法则表示为下图．
由图可知：原不等式的解集为．
此方法为“数轴标根法”也可以叫“穿针引线法”，一般解题步骤是：
①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定要化为正数）
②把各因式的根标在数轴上．
③用曲线穿根，从最右边的根的上方开始依次穿过所有的根（奇数次根穿透，偶数次根不穿透）
④根据图像直接写出解集．
二、含参数的分式不等式
含参数的不等式分为两类：①讨论参数的取值确定解集；②给定解集确定参数的取值．
基本方法：
对于第一类，分类讨论一般需要注意以下两方面：
（1）的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况；
（2）讨论含参数的根与其他根的大小关系．
而对于第二类，一般只需牢记：不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根，代入即可．
三、简单的恒成立问题
例题分析
【例1】解不等式，则不等式的解集是___________
【答案】
【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为.
故答案为：.
【例2】关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是___________.
【答案】m<0
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法可得，即可得解.
【详解】由，得，
故不等式的解集为，
所以，所以，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
【例3】不等式的解集是___________
【答案】
【分析】直接解分式不等式即可
【详解】由，得，，
，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【例4】已知的解集为，关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定解集可得，再代入分式不等式求解即得.
【详解】因的解集为，则，且，即有，
因此，不等式化为：，即，
于是有：或，解得，解得，
所以所求不等式的解集为：.
故选：A
【例5】设，则“”是“”______的条件．（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】分别求出不含参的一元二次不等式和分式不等式的解集，再结合充分必要条件的判定即可.
【详解】由，得，
由，得，解得，
所以，
所以“”“”，反之不成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【例6】不等式的解集为_______________．
【答案】
【分析】将分式不等式转化为二次不等式求解即可.
【详解】
故不等式的解集为.
故答案为：
【例7】不等式的解集是_________
【答案】
【分析】原不等式转化为，即，进而可解得结果.
【详解】等价于，即，
等价于，
解得.
故答案为：.
【例8】若集合，，则______．
【答案】
【分析】求解绝对值不等式解得集合，求解分式不等式求得集合，再求交集即可.
【详解】因为，，
故可得.
故答案为：.
【例9】已知不等式的解集是
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求不等式的解集.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将代入原不等式，即可求得参数的取值范围；
（2）根据不等式的解集，求得，再求分式不等式即可.
(1)不等式的解集是，又，
故可得，解得.
故的取值范围为：.
(2)不等式的解集是，又，故可得，
且，解得，则不等式等价于，
故，且，解得.
即不等式的解集为.
【例10】关于x 的不等式的解集是___________ .
【答案】
【分析】直接变形不等式可得x>-8，结合x+3≠0可得解.
【详解】由，
可得，
去分母得，3(4x-3)+15>15x-5(2+x)，
去括号得，12x-9+15>15x-10-5x，
解得x>-8，
又因为x+3≠0，所以x≠-3.所以不等式的解集是.
故答案为：.
师生总结
1、解分式不等式时，牢记移项通分、变正化整、分母非零的解题思路；
2、含参数的不等式，需要分类讨论的情况有：
（1）未知数的系数含参数时要讨论正负号；
（2）解集的端点含参数时要讨论该端点与其它端点的大小关系；
3、解集的端点对应不等式改写为方程后的根，由此可以确定参数的取值；
4、分式不等式的恒成立问题，若分母恒大于零，则可化为一元二次不等式的恒成立来做．
自主巩固
【巩固1】不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】
根据分式不等式的解法进行求解.
【详解】
,
故答案为：.
【巩固2】不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】
利用分式不等式的解法，即可求得不等式的解集.
【详解】
由不等式，可得，
结合分式不等式的解法，可得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【巩固3】当时，成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
由可得或，当时，成立，即可求出a的取值范围.
【详解】
或，则当时，成立，所以.
故答案为：.
【巩固4】已知，，则__________．
【答案】
【分析】解不等式，再求交集.
【详解】等价于，解得，即.
则.
故答案为：
【巩固5】已知全集，集合，，则______，______.
【答案】 或 或
【分析】先由分式不等式求法求解出集合, 结合绝对值不等式解法求出集合 ,然后结合集合的交集与并集运算即可求得答案.
【详解】由 得 ,
整理得 ,
解得 或 , 即 或
因为或 或
所以或;
或.
故答案为：或;或.
【巩固6】全集，设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A与集合B，运用集合的补集、交集计算即可.
【详解】因为或，
所以或，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：B.
【巩固7】已知集合，，求．
【答案】.
【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】依题意，解不等式，得，解得，则，
解不等式，得，解得，则，
所以.
【巩固8】不等式的解集为_______________．
【答案】
【分析】由题知，再根据穿根法求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
因为的根为，，，，
所以如图，根据穿根法可得可得不等式的解集为
故答案为：
【巩固9】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】原式可化为，解不等式即可．
【详解】解：原式可化为，
即或，
解得：或．
∴不等式解集为：．
故选：D．
【巩固10】不等式的解集为______.
【答案】
【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集.
【详解】解：不等式，即，
方程的根有（2重根），，，，（2重根），
按照数轴标根法可得不等式的解集为.
故答案为：范 围
各因式符号
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