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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第一章综合测试卷（B卷 能力提升）学生版+教师版
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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第一单元 集合与逻辑单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版2020必修一 第一单元 集合与逻辑。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．已知集合有且只有两个子集，则实数________.2．设集合，，其中，若，则实数的所有可能值组成的集合为________.3．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.4．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，或，则=_________.5．已知关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是__________．6．对于集合，我们把集合记作，例如：若，，则有，，，，若中有3个元素，中有4个元素，则中有_______个元素.7．若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的___________条件.8．已知幂函数的表达式为，的表达式为，对于任意的，都存在，使得，那么、的大小关系是______.（填“”、“”、“”）9．满足 的集合A共有__________个10．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为真；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真，则它的否命题为真；其中真命题的序号是______.11．是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④.与集合相等的集合序号是______.12．若，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）①； ②； ③若，，则； ④若，且，则； ⑤，，则；二、单项选择题：13．已知集合，，，则，，的关系为（ ）A． B． C． D．14．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）（1）若，则或；（2）若，则；（3）已知a，b是实数，若，则；（4）已知a是实数，不等式的解是；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．16．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024第Ⅱ卷三、解答题：17．根据以下条件求对应参数的范围.（1）已知集合，，若，求实数的取值范围；（2）已知集合，且，求实数的取值范围.18．已知：命题1：关于的方程最多有一个实数根，记满足条件的的取值范围构成集合A. 命题2：，记此不等式的解集为B. 命题3：，且是的充分条件，记满足条件的的取值范围构成集合C.（1）求集合A，B，C；（2）命题1、命题2和命题3中有且仅有一个真命题，求的取值范围.19．已知集合具有性质对任意，，与至少一个属于A．（1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由；（2）①求证：；②求证：．20．已知集合，，，若“”是“”的必要非充分条件，求的取值范围.21．（1）已知，，，其中a、b、c为实数，求证：A、B、C中至少有一个为正数；（2）设集合，，求证:. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第一单元 集合与逻辑单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版2020必修一 第一单元 集合与逻辑。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．已知集合有且只有两个子集，则实数________.【答案】或【分析】根据题设条件可得为单元素集合，就分类讨论后可得实数的值.【详解】因为有且只有两个子集，故为单元素集合.当时，，符合；当时，则有即.综上，或.故答案为：或.【点睛】本题考查集合中元素个数与其子集个数之间的关系以及集合含义的正确理解，一般地，如果有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为，对于集合，它表示方程的解的集合，讨论含参数的方程的解的时，要考虑二次项系数是否为零.2．设集合，，其中，若，则实数的所有可能值组成的集合为________.【答案】【分析】由可得方程组无解，消去后利用一次项系数为零可求参数的取值集合.【详解】因为，故方程组无解，消去可得无解即无解，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查集合的运算以及二元一次方程组的解，注意解二元一次方程组，通常利用消元法来求解，此类问题属于容易题.3．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.【答案】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为，；，；，；，；这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为，故答案为：.4．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，或，则=_________.【答案】【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交、补运算求即可.【详解】由题设，，或或，∴.故答案为：5．已知关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是__________．【答案】【分析】问题转化为解集为，分类讨论结合二次函数的性质可得．【详解】解：，不等式等价于，当时，可化为，解集为，当时，可得，解得，综合可得的取值范围为故答案为：．6．对于集合，我们把集合记作，例如：若，，则有，，，，若中有3个元素，中有4个元素，则中有_______个元素.【答案】12【分析】用枚举法可计算中的元素的个数.【详解】设，则有且仅有下列元素：，所以中共有个元素.故答案为：.【点睛】本题考查集合中的元素个数的计算，注意根据给出的定义进行计算，此问题属于容易题.7．若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的___________条件.【答案】充分不必要【分析】利用已知条件得到即可得出结论.【详解】由是的必要非充分条件，可得，由是的充要条件，可得，由是的必要非充分条件，可得，综上可得：，则是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.8．已知幂函数的表达式为，的表达式为，对于任意的，都存在，使得，那么、的大小关系是______.（填“”、“”、“”）【答案】【分析】分析得出，再由指数函数的单调性可得出结果.【详解】当时，函数为上的增函数，当时，，所以，函数在区间上的值域为，对于任意的，都存在，使得，则，，由于指数函数为增函数，所以，.故答案为：.9．满足 的集合A共有__________个【答案】3【分析】根据子集的概念及真子集的概念即可求出集合A，从而判断集合A的个数．【详解】根据已知条件得：A＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}．故答案为3．【点睛】本题考查子集，真子集的概念，准确理解定义是关键．10．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为真；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真，则它的否命题为真；其中真命题的序号是______.【答案】②③【分析】互为逆否命题的两个命题，其真假相同；互为逆命题和互为否命题的两个命题，其真假没有关系。【详解】解：∵互为逆否命题的两个命题，其真假相同；互为逆命题和互为否命题的两个命题，其真假没有关系。所以②③为真命题，①④为假命题，故答案为：②③【点睛】本题考查四种命题间的真假关系，属于基础题。11．是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④.与集合相等的集合序号是______.【答案】①②④【分析】利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.【详解】对于①中的集合，，设，，，则，则，①中的集合与集合相等；对于②中的集合，，设，，，且、不同时为零.则，其中，，②中的集合与集合相等；对于③中的集合，取，，，，则，③中的集合与集合不相等；对于④中的集合，设，，其中、、、，则，，，④中的集合与集合相等.因此，集合相等的集合序号是①②④.故答案为①②④.【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.12．若，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）①； ②； ③若，，则； ④若，且，则； ⑤，，则；【答案】①②③⑤【分析】根据集合的描述法，找到集合中元素的特征性质，逐一判断.【详解】根据集合的特征性质对于①正确，②当中时，，所以正确，③若，，不妨设则所以正确，④若，且，则不正确，例如，则，⑤，，则；设，则,所以，依次类推，正确.故答案为：①②③⑤【点睛】本题主要考查了集合的描述法，元素与集合的关系，属于中档题.二、单项选择题：13．已知集合，，，则，，的关系为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将三个集合中的元素的公共属性分别变形为， ，，，，，比较可得答案.【详解】因为，，，，，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了判断集合间的关系，将三个集合中的元素的公共属性分别变形是解题关键，属于基础题.14．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）（1）若，则或；（2）若，则；（3）已知a，b是实数，若，则；（4）已知a是实数，不等式的解是；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对各命题逐个判断可得正确命题的个数.【详解】对于（1），因为，故是的真子集或，故（1）正确；对于（2），不成立，故（2）错误；对于（3），因为，故同号，所以，故（3）正确；对于（4），当时，不等式无解；故（4）错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，注意解含参数的一元一次不等式需就一次项系数的正负分类讨论.15．若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质可判定选项，；取即可判定选项；利用特值法即可判定选项．【详解】解：对于，若，则，故错误；对于，取，，则，故错误．对于，若时，，故错误；对于，因为，所以，又，所以，故正确；故选：．16．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是.【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.第Ⅱ卷三、解答题：17．根据以下条件求对应参数的范围.（1）已知集合，，若，求实数的取值范围；（2）已知集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时满足，当，可得，列出不等式即可求解；（2）易得当时满足，当时可得方程的两根均为正根可求解.【详解】（1）当时，，满足；当时，，若，即，则，解得且，综上，实数的取值范围为；（2）若，即时，，此时，满足题意；若，即或时，要满足，则方程的两根均为正根，则，解得，则，综上，实数的取值范围为.18．已知：命题1：关于的方程最多有一个实数根，记满足条件的的取值范围构成集合A. 命题2：，记此不等式的解集为B. 命题3：，且是的充分条件，记满足条件的的取值范围构成集合C.（1）求集合A，B，C；（2）命题1、命题2和命题3中有且仅有一个真命题，求的取值范围.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）根据二次方程根的分布、解绝对值不等式、充分条件，即可得到答案；（2）分三类情况，即可得到结果.【详解】（1）命题1：当时，，，满足题意，当时，，即，综上，；命题2：，，∴；命题3：∵是的充分条件，即是的充分条件，∴，∴ ，∴，即；（2）若命题1为真，命题2和命题3为假，则，若命题2为真，命题1和命题3为假，则，若命题3为真，命题1和命题2为假，则，综上，的取值范围.19．已知集合具有性质对任意，，与至少一个属于A．（1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由；（2）①求证：；②求证：．【答案】（1）集合M具有性质，集合不具有性质P，（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件，对任意，，与至少一个属于A，则满足性质，那么对于集合与分别利用定义判断即可；（2）①由已知可得，②由题可得，从而有，，，…，，然后这些式子相加可得结果【详解】（1）解：对于集合M，因为，所以集合M具有性质，对于集合，因为，所以集合不具有性质P，（2）证明：①因为所以，②因为，所以，因为，所以，所以，，，…，，所以【点睛】关键点点睛：此题考查数列的有关知识，考查与数列有关的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题20．已知集合，，，若“”是“”的必要非充分条件，求的取值范围.【答案】或或.【分析】分别得到集合，然后讨论，的情况，简单计算即可.【详解】由或或或，当时，集合，由“”是“”的必要非充分条件,所以或所以当时，集合，由“”是“”的必要非充分条件，所以或所以或综上所述：或或21．（1）已知，，，其中a、b、c为实数，求证：A、B、C中至少有一个为正数；（2）设集合，，求证:.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）反证法，假设没有正数，可推出矛盾（2）根据集合内点对应图形即可证明.【详解】（1）（反证法）假设A、B、C中没有正数，则这与三个数没有正数矛盾，故假设错误，原命题正确.（2）集合为以原点为圆心，半径为2的圆及内部点构成，集合为以原点为中心，边长为4的正方形及内部点构成，如图：显然集合P内的点都在集合Q内，即.【点睛】本题主要考查了反证法，子集的概念，属于中档题.
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第一单元 集合与逻辑单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版2020必修一 第一单元 集合与逻辑。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．已知集合有且只有两个子集，则实数________.2．设集合，，其中，若，则实数的所有可能值组成的集合为________.3．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.4．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，或，则=_________.5．已知关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是__________．6．对于集合，我们把集合记作，例如：若，，则有，，，，若中有3个元素，中有4个元素，则中有_______个元素.7．若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的___________条件.8．已知幂函数的表达式为，的表达式为，对于任意的，都存在，使得，那么、的大小关系是______.（填“”、“”、“”）9．满足 的集合A共有__________个10．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为真；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真，则它的否命题为真；其中真命题的序号是______.11．是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④.与集合相等的集合序号是______.12．若，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）①； ②； ③若，，则； ④若，且，则； ⑤，，则；二、单项选择题：13．已知集合，，，则，，的关系为（ ）A． B． C． D．14．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）（1）若，则或；（2）若，则；（3）已知a，b是实数，若，则；（4）已知a是实数，不等式的解是；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．16．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024第Ⅱ卷三、解答题：17．根据以下条件求对应参数的范围.（1）已知集合，，若，求实数的取值范围；（2）已知集合，且，求实数的取值范围.18．已知：命题1：关于的方程最多有一个实数根，记满足条件的的取值范围构成集合A. 命题2：，记此不等式的解集为B. 命题3：，且是的充分条件，记满足条件的的取值范围构成集合C.（1）求集合A，B，C；（2）命题1、命题2和命题3中有且仅有一个真命题，求的取值范围.19．已知集合具有性质对任意，，与至少一个属于A．（1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由；（2）①求证：；②求证：．20．已知集合，，，若“”是“”的必要非充分条件，求的取值范围.21．（1）已知，，，其中a、b、c为实数，求证：A、B、C中至少有一个为正数；（2）设集合，，求证:. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第一单元 集合与逻辑单元测试卷（B卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版2020必修一 第一单元 集合与逻辑。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、填空题：1．已知集合有且只有两个子集，则实数________.【答案】或【分析】根据题设条件可得为单元素集合，就分类讨论后可得实数的值.【详解】因为有且只有两个子集，故为单元素集合.当时，，符合；当时，则有即.综上，或.故答案为：或.【点睛】本题考查集合中元素个数与其子集个数之间的关系以及集合含义的正确理解，一般地，如果有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为，对于集合，它表示方程的解的集合，讨论含参数的方程的解的时，要考虑二次项系数是否为零.2．设集合，，其中，若，则实数的所有可能值组成的集合为________.【答案】【分析】由可得方程组无解，消去后利用一次项系数为零可求参数的取值集合.【详解】因为，故方程组无解，消去可得无解即无解，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查集合的运算以及二元一次方程组的解，注意解二元一次方程组，通常利用消元法来求解，此类问题属于容易题.3．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.【答案】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为，；，；，；，；这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为，故答案为：.4．已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，或，则=_________.【答案】【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交、补运算求即可.【详解】由题设，，或或，∴.故答案为：5．已知关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是__________．【答案】【分析】问题转化为解集为，分类讨论结合二次函数的性质可得．【详解】解：，不等式等价于，当时，可化为，解集为，当时，可得，解得，综合可得的取值范围为故答案为：．6．对于集合，我们把集合记作，例如：若，，则有，，，，若中有3个元素，中有4个元素，则中有_______个元素.【答案】12【分析】用枚举法可计算中的元素的个数.【详解】设，则有且仅有下列元素：，所以中共有个元素.故答案为：.【点睛】本题考查集合中的元素个数的计算，注意根据给出的定义进行计算，此问题属于容易题.7．若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的___________条件.【答案】充分不必要【分析】利用已知条件得到即可得出结论.【详解】由是的必要非充分条件，可得，由是的充要条件，可得，由是的必要非充分条件，可得，综上可得：，则是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.8．已知幂函数的表达式为，的表达式为，对于任意的，都存在，使得，那么、的大小关系是______.（填“”、“”、“”）【答案】【分析】分析得出，再由指数函数的单调性可得出结果.【详解】当时，函数为上的增函数，当时，，所以，函数在区间上的值域为，对于任意的，都存在，使得，则，，由于指数函数为增函数，所以，.故答案为：.9．满足 的集合A共有__________个【答案】3【分析】根据子集的概念及真子集的概念即可求出集合A，从而判断集合A的个数．【详解】根据已知条件得：A＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}．故答案为3．【点睛】本题考查子集，真子集的概念，准确理解定义是关键．10．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为真；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真，则它的否命题为真；其中真命题的序号是______.【答案】②③【分析】互为逆否命题的两个命题，其真假相同；互为逆命题和互为否命题的两个命题，其真假没有关系。【详解】解：∵互为逆否命题的两个命题，其真假相同；互为逆命题和互为否命题的两个命题，其真假没有关系。所以②③为真命题，①④为假命题，故答案为：②③【点睛】本题考查四种命题间的真假关系，属于基础题。11．是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④.与集合相等的集合序号是______.【答案】①②④【分析】利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.【详解】对于①中的集合，，设，，，则，则，①中的集合与集合相等；对于②中的集合，，设，，，且、不同时为零.则，其中，，②中的集合与集合相等；对于③中的集合，取，，，，则，③中的集合与集合不相等；对于④中的集合，设，，其中、、、，则，，，④中的集合与集合相等.因此，集合相等的集合序号是①②④.故答案为①②④.【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.12．若，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）①； ②； ③若，，则； ④若，且，则； ⑤，，则；【答案】①②③⑤【分析】根据集合的描述法，找到集合中元素的特征性质，逐一判断.【详解】根据集合的特征性质对于①正确，②当中时，，所以正确，③若，，不妨设则所以正确，④若，且，则不正确，例如，则，⑤，，则；设，则,所以，依次类推，正确.故答案为：①②③⑤【点睛】本题主要考查了集合的描述法，元素与集合的关系，属于中档题.二、单项选择题：13．已知集合，，，则，，的关系为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将三个集合中的元素的公共属性分别变形为， ，，，，，比较可得答案.【详解】因为，，，，，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了判断集合间的关系，将三个集合中的元素的公共属性分别变形是解题关键，属于基础题.14．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）（1）若，则或；（2）若，则；（3）已知a，b是实数，若，则；（4）已知a是实数，不等式的解是；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对各命题逐个判断可得正确命题的个数.【详解】对于（1），因为，故是的真子集或，故（1）正确；对于（2），不成立，故（2）错误；对于（3），因为，故同号，所以，故（3）正确；对于（4），当时，不等式无解；故（4）错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，注意解含参数的一元一次不等式需就一次项系数的正负分类讨论.15．若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质可判定选项，；取即可判定选项；利用特值法即可判定选项．【详解】解：对于，若，则，故错误；对于，取，，则，故错误．对于，若时，，故错误；对于，因为，所以，又，所以，故正确；故选：．16．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是.【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.第Ⅱ卷三、解答题：17．根据以下条件求对应参数的范围.（1）已知集合，，若，求实数的取值范围；（2）已知集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时满足，当，可得，列出不等式即可求解；（2）易得当时满足，当时可得方程的两根均为正根可求解.【详解】（1）当时，，满足；当时，，若，即，则，解得且，综上，实数的取值范围为；（2）若，即时，，此时，满足题意；若，即或时，要满足，则方程的两根均为正根，则，解得，则，综上，实数的取值范围为.18．已知：命题1：关于的方程最多有一个实数根，记满足条件的的取值范围构成集合A. 命题2：，记此不等式的解集为B. 命题3：，且是的充分条件，记满足条件的的取值范围构成集合C.（1）求集合A，B，C；（2）命题1、命题2和命题3中有且仅有一个真命题，求的取值范围.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）根据二次方程根的分布、解绝对值不等式、充分条件，即可得到答案；（2）分三类情况，即可得到结果.【详解】（1）命题1：当时，，，满足题意，当时，，即，综上，；命题2：，，∴；命题3：∵是的充分条件，即是的充分条件，∴，∴ ，∴，即；（2）若命题1为真，命题2和命题3为假，则，若命题2为真，命题1和命题3为假，则，若命题3为真，命题1和命题2为假，则，综上，的取值范围.19．已知集合具有性质对任意，，与至少一个属于A．（1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由；（2）①求证：；②求证：．【答案】（1）集合M具有性质，集合不具有性质P，（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件，对任意，，与至少一个属于A，则满足性质，那么对于集合与分别利用定义判断即可；（2）①由已知可得，②由题可得，从而有，，，…，，然后这些式子相加可得结果【详解】（1）解：对于集合M，因为，所以集合M具有性质，对于集合，因为，所以集合不具有性质P，（2）证明：①因为所以，②因为，所以，因为，所以，所以，，，…，，所以【点睛】关键点点睛：此题考查数列的有关知识，考查与数列有关的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题20．已知集合，，，若“”是“”的必要非充分条件，求的取值范围.【答案】或或.【分析】分别得到集合，然后讨论，的情况，简单计算即可.【详解】由或或或，当时，集合，由“”是“”的必要非充分条件,所以或所以当时，集合，由“”是“”的必要非充分条件，所以或所以或综上所述：或或21．（1）已知，，，其中a、b、c为实数，求证：A、B、C中至少有一个为正数；（2）设集合，，求证:.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）反证法，假设没有正数，可推出矛盾（2）根据集合内点对应图形即可证明.【详解】（1）（反证法）假设A、B、C中没有正数，则这与三个数没有正数矛盾，故假设错误，原命题正确.（2）集合为以原点为圆心，半径为2的圆及内部点构成，集合为以原点为中心，边长为4的正方形及内部点构成，如图：显然集合P内的点都在集合Q内，即.【点睛】本题主要考查了反证法，子集的概念，属于中档题.
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