苏科版七年级数学下册精品专题8.1幂的运算【八大题型】同步练习(学生版+解析)

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专题8.1 幂的运算【八大题型】 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10024" 【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】  PAGEREF _Toc10024 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24752" 【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】  PAGEREF _Toc24752 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18061" 【题型3 利用幂的运算法则比较大小】  PAGEREF _Toc18061 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】  PAGEREF _Toc22405 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12064" 【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】  PAGEREF _Toc12064 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21045" 【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】  PAGEREF _Toc21045 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20217" 【题型7 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc20217 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15259" 【题型8 新定义下的幂的运算】  PAGEREF _Toc15259 \h 4【知识点1 幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：(1)452019×−1.252020；(2)−93×−233×133．【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算−542023×(−0.8)2022的结果是（　　）A．1 B．−1 C．54 D．−54【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：(1)325×202.3+87%×2023−21×20.23；(2)(−1.5)2024×(23)2023【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若xm=2，xn=5，则x3m−2n= ．【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a−2b+1的值为 ．【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求x2m3+ym6−x2y3m⋅ym的值．【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ．【题型3 利用幂的运算法则比较大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）如A=999999，B=119990，是比较A，B大小（    ）A．A>B B．A23，55>45．在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=(33)10=330，∵30>25，∴330>325．∴2710>325．(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方(2)类比解答：比较254，1253的大小．(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【变式3-2】（2023春·江苏·七年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“<”或“>”）．【变式3-3】（2023春·河北张家口·七年级统考阶段练习）阅读：已知正整数a,b,c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac(a≠1)，若b>c，则ab>ac；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，若a>c，则ab>cb．根系是 ．【变式6-3】（2023春·江西南昌·七年级南昌市第十九中学校考期末）若am=an(a>0且a≠l，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果8x=25，求x的值；(2)如果2x+2+2x+1=24，求x的值；(3)若x=5m−3，y=4−25m，用含x的代数式表示y．【题型7 幂的混合运算】【例7】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）计算：(1)a4+(−2a2)3−a8÷a4；(2)2a2b⋅5ab2−3ab⋅(ab)2．【变式7-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）计算：(1)2x3y2⋅(−2xy2z)2；(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．【变式7-2】（2023春·上海青浦·七年级校考期中）计算：−12xy22⋅8x4y2−2x2y23．【变式7-3】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）计算：an−5an+1b3m−22+an−1bm−23−b3m+2．【题型8 新定义下的幂的运算】【例8】（2023春·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a…，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．(1)计算以下各对数的值：log24＝_____，log216＝_____，log264＝_____．(2)写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1，M>0，N>0）．(4)设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【变式8-1】（2023春·广东揭阳·七年级校考期中）若定义表示3xyz，表示−2abcd，则运算的结果为（    ）A．−12m3n4 B．−6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4【变式8-2】（2023春·江苏淮安·七年级期中）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：(1)22⊕23的值为 ；(2)若2p=3,2q=5,3q=7，求2p⊕2q的值；【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b，如果ac=b．我们叫a,b为“雅对”．例如：因为23=8，所以2,8=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式3,3+3,5=3,15成立．证明如下：设3,3=m，3,5=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，则3,15=m+n，即3,3+3,5=3,15．(1)根据上述规定，填空：2,4=_________；5,1=_________；3,27=_________．(2)计算5,2+5,7=___________，并说明理由．(3)利用“雅对”定义证明：2n,3n=2,3，对于任意自然数n都成立．专题8.1 幂的运算【八大题型】 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10024" 【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】  PAGEREF _Toc10024 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24752" 【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】  PAGEREF _Toc24752 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18061" 【题型3 利用幂的运算法则比较大小】  PAGEREF _Toc18061 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】  PAGEREF _Toc22405 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12064" 【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】  PAGEREF _Toc12064 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21045" 【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】  PAGEREF _Toc21045 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc20217" 【题型7 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc20217 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc15259" 【题型8 新定义下的幂的运算】  PAGEREF _Toc15259 \h 15【知识点1 幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：(1)452019×−1.252020；(2)−93×−233×133．【答案】(1)54(2)8【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．【详解】（1）解：原式=452019×542020=452019×542019×54=45×542019×54=1×54=54；（2）解：原式=−93×−23×133=−93×−293=−9×−293=23=8．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算−542023×(−0.8)2022的结果是（　　）A．1 B．−1 C．54 D．−54【答案】D【分析】根据积的乘方的逆运算，即可得到答案．【详解】解：−542023×(−0.8)2022=−54×−542022×−452022=−54×−54×−452022=−54，故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是积的乘方运算的逆运用进行化简．【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6【答案】500000【分析】根据积的乘方即可求出答案．【详解】原式=35×(23)5×56 =（3×23）5×56=25×55×5=（2×5）5×5=5×105=500000【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：(1)325×202.3+87%×2023−21×20.23；(2)(−1.5)2024×(23)2023【答案】(1)2023(2)1.5【分析】（1）先变形，再利用乘法分配律合并计算；（2）先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方二次变形，再计算即可．【详解】（1）解：325×202.3+87%×2023−21×20.23=175×10×20.23+87×20.23−21×20.23=34×20.23+87×20.23−21×20.23=34+87−21×20.23=100×20.23=2023；（2）−1.52024×232023=−1.52023×232023×−1.5=−32×232023×−1.5=−12023×−1.5=1.5【点睛】本题考查了乘法分配律，积的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式．【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若xm=2，xn=5，则x3m−2n= ．【答案】825【分析】逆用同底数幂的除法公式及幂的乘法公式，化成已知条件的形式，再计算即可求解.【详解】解：x3m−2n=x3m÷x2n=xm3÷xn2=23÷52=825.故答案为：825.【点睛】本题考查同底数幂的除法及幂的乘法公式的逆运算，熟练掌握公式后再灵活变通是解题关键.【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a−2b+1的值为 ．【答案】4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】：∵2a=18，2b=3，∴2a-2b+1=2a÷（2b）2×2=18÷32×2=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，解题关键是将原式进行正确变形．【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求x2m3+ym6−x2y3m⋅ym的值．【答案】-5【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．【详解】∵x3m=2，y2m=3，x2m3+ym6−x2y3m⋅ym=(x3m)2+(y2m)3−(x6my3m⋅ym)=(x3m)2+(y2m)3−(x3my2m)2=22+33−2×32=−5.【点睛】考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ．【答案】2【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54和a＜b＜c＜d即可得到a，b，c，d的值，故可求解．【详解】∵10000=24×54=42×54=20×42×54=2−2×43×54=24×40×54，3不是10000的公约数，∴3b=1则b=0∴2a×4c×5d=10000∵整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d∴10000=2−2×43×54符合题意∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2故答案为：2．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．【题型3 利用幂的运算法则比较大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）如A=999999，B=119990，是比较A，B大小（    ）A．A>B B．A23，55>45．在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=(33)10=330，∵30>25，∴330>325．∴2710>325．(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方(2)类比解答：比较254，1253的大小．(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【答案】(1)C(2)254<1253(3)5333<3555<4444【分析】（1）根据幂的乘方运算法则判断即可；（2）根据幂的乘方运算法则解答即可；（3）根据幂的乘方运算法则解答即可．【详解】（1）上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质，故答案为：C；（2）∵254=(52)4=58，1253=(53)3=59，58<59，∴254<1253；（3）∵3555=(35)111=243111，4444=(44)111=256111，5333=(53)111=125111，125111<243111<256111，∴5333<3555<4444．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【变式3-2】（2023春·江苏·七年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“<”或“>”）．【答案】< 【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知，∵x35=(x5)7=27=128，y35=(y7)5=35=243，243>128，∴x35c，则ab>ac；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，若a>c，则ab>cb．根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：28 82（填“>”“<”或“=”）；(2)比较233与322的大小（写出具体过程）；(3)比较9913×10210与9910×10213的大小（写出具体过程）．【答案】(1)>(2)233<322，过程见解析(3)9913×10210<9910×10213，过程见解析【分析】（1）根据材料提示，正整数a,b,c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac(a≠1)，指数越大，值越大；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，底数越大，值越大，由此即可求解；（2）根据幂的运算将233与322转换成同指数，不懂底数的两个幂，进行比较即可；（3）将9913×10210与9910×10213转换为同底数不同指数，同指数不同底数的形式，结合材料提示即可求解．【详解】（1）解：∵28=(24)2=162，16>8，∴162>82，故答案为：>．（2）解：∵233=(23)11=811，322=(32)11=911，8<9，∴811<911，∴233<322．（3）解：∵9913×10210=9910×993×10210=(99×102)10×993，9910×10213=9910×10210×1023=(99×102)10×1023，993<1023，∴(99×102)10×993<(99×102)10×1023，∴9913×10210<9910×10213．【点睛】本题主要考查幂的知识，幂的乘方，积的乘方等运算的综合，掌握以上知识及运算是解题的关键．【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】【例4】（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）若a+b+c=1，则(−2)a−1×(−2)3b+2×(−2)2a+3c的值为 .【答案】16【分析】根据同底数幂的乘法可进行求解．【详解】解：∵a+b+c=1，∴(−2)a−1×(−2)3b+2×(−2)2a+3c=−2a−1+3b+2+2a+3c=−23a+b+c+1=16；故答案为16．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键．【变式4-1】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知2x+y=1，则4x·2y的值为 ．【答案】2【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．【详解】解：∵2x+y=1，∴4x·2y=(22)x·2y=22x·2y=22x+y=21 =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．【变式4-2】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知2x+4y−3=0，则4x⋅16y−8的值为（    ）A．3 B．8 C．0 D．4【答案】C【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法将原式化为22x+4y−8，再整体代入计算即可．【详解】解：∵2x+4y−3=0，即2x+4y=3，∴原式=22x⋅24y−8=22x+4y−8=23−8=8−8=0，故选：C．【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的前提，将原式化为22x+4y−8是正确解答的关键．【变式4-3】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）若2a+3b−4c−2=0，则9a×27b÷81c的值为 ．【答案】9【分析】由幂的乘方进行化简，然后把2a+3b−4c=2代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵2a+3b−4c−2=0，∴2a+3b−4c=2，∴9a×27b÷81c=32a×33b÷34c=32a+3b−4c=32=9；故答案为：9．【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】【例5】（2023春·上海浦东新·七年级统考期中）已知42x⋅52x+1−42x+1⋅52x=203x−4，求x的值；【答案】x=4【分析】根据积的乘方的逆运算即可解得．【详解】解：42x⋅52x+1−42x+1⋅52x=203x−442x⋅52x⋅５−４⋅42x⋅52x=203x−4202x⋅５−４⋅202x=203x−4202x=203x−42x=3x−4x=4【点睛】此题考查了积的乘方的逆运算，题解的关键是转化成同底数．【变式5-1】（2023春·河北邯郸·七年级校考期中）计算：(1)已知2⋅8n⋅32n=225，求 n 的值；(2)已知 n 是正整数，且x3n=2，求(3x3n)2+(−2x2n)3的值．【答案】(1)3；(2)4．【分析】（1）由2⋅8n⋅32n=2⋅(23)n⋅(25)n=2⋅23n⋅25n=28n+1=225，得到一元一次方程8n+1=25 ，即可求解；（2）把(3x3n)2+(−2x2n)3变形为(3x3n)2−8(x3n)2，再把x3n=2代入计算即可．【详解】（1）解：∵2⋅8n⋅32n=2⋅(23)n⋅(25)n=2⋅23n⋅25n=28n+1=225，∴8n+1=25，解得n=3.（2）解：∵(3x3n)2+(−2x2n)3=(3x3n)2−8(x3n)2，当x3n=2时，原式=(3×2)2−8×22=36−32=4．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．【变式5-2】（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若2a=3，2b=7，2c=m，且a+b=c，则此时m值为 ．【答案】21【分析】根据同底数幂的乘法运算法则求解即可．【详解】解：∵2a=3，2b=7，∴2a⋅2b=2a+b=21，∵a+b=c，∴2c=21，又2c=m，∴m=21，故答案为：21．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟练掌握运算法则：am⋅an=am+n．【变式5-3】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）若52×5m=510，9n÷3n=3，则m+n= ．【答案】9【分析】根据幂的运算即可得出：2+m=10n=1，求出m、n的值，即可得出答案．【详解】解：∵52×5m=510，9n÷3n=3，∴52+m=510，32n÷3n=3n=3，∴2+m=10n=1，∴m=8n=1，∴m+n=9．故答案为：9．【点睛】此题考查了同底数幂相乘和同底数幂相除的运算，利用幂的运算得出方程组解出字母的值是解题的关键．【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】【例6】（2023春·江苏泰州·七年级校考期中）若x=2m+1，y=4m−1．(1)当m=2时，分别求x，y的值．(2)用只含x的代数式表示y．【答案】(1)x=5；y=15(2)y=x2−2x【分析】（1）将m=2代入x=2m+1，y=4m−1中计算即可；（2）由x=2m+1可得2m=x−1，再根据幂的乘方运算解答即可．【详解】（1）解：将m=2分别代入x=2m+1，y=4m−1中∴x=22+1=5，y=42−1=15；（2）解：∵x=2m+1，∴2m=x−1，∴y=4m−1=2m2−1=x−12−1=x2−2x．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练利用幂的乘方的逆运算对式子进行变形．【变式6-1】（2023春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）已知2x−4=m，用含m的代数式表示2x正确的是（    ）A．16m B．8m C．m+4 D．m4【答案】C【分析】利用幂的除法的逆运算即可求解．【详解】解：∵2x−4=m，∴2x24=m，∴2x=16m，故选：A．【点睛】本题考查了幂的除法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．【变式6-2】（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+y之间关系是 ．【答案】xy=x+y【分析】由条件可得(43x)y=2021y,(47y)x=2021x,可得43xy⋅47xy=(43x)y×(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,而43xy×47xy=(43×47)xy=2021xy,从而可得答案．【详解】解：∵43x=2021,47y=2021，∴(43x)y=2021y,(47y)x=2021x,∴43xy⋅47xy=(43x)y×(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,而43xy×47xy=(43×47)xy=2021xy, ∴2021xy=2021x+y, ∴xy=x+y. 故答案为：xy=x+y.【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键．【变式6-3】（2023春·江西南昌·七年级南昌市第十九中学校考期末）若am=an(a>0且a≠l，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果8x=25，求x的值；(2)如果2x+2+2x+1=24，求x的值；(3)若x=5m−3，y=4−25m，用含x的代数式表示y．【答案】(1)x=53(2)x=2(3)y=−x2−6x−5【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x化为底数为2的幂，解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1=24变形为2x(22+2)=24即可解答；（3）由x=5m−3可得5m=x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【详解】（1）解： 8x=(23)x=23x=25，∴3x=5，解得x=53；（2）解：∵2x+2+2x+1=24，∴2x×22+2x×2=24∴6×2x=24，∴2x=4，∴x=2；（3）解：∵x=5m−3，∴5m=x+3，∵y=4−25m=4−(52)m=4−(5m)2=4−(x+3)2，∴y=−x2−6x−5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键．【题型7 幂的混合运算】【例7】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）计算：(1)a4+(−2a2)3−a8÷a4；(2)2a2b⋅5ab2−3ab⋅(ab)2．【答案】(1)−8a6(2)7a3b3【分析】（1）运用积的乘方、同底数幂相除及合并同类项进行求解；（2）运用积的乘方、单项式乘以单项式进行运算．【详解】（1）解：a4+(−2a2)3−a8÷a4 =a4−8a6−a4 =−8a6；（2）解：2a2b⋅5ab2−3ab⋅(ab)2=10a3b3−3ab⋅a2b2 =10a3b3−3a3b3 =7a3b3．【点睛】此题考查了积的乘方、同底数幂相除、单项式乘以单项式及合并同类项的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．【变式7-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）计算：(1)2x3y2⋅(−2xy2z)2；(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．【答案】(1)8x5y6z2；(2)−16x6．【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则、合并同类项法则计算得出答案．【详解】（1）解：2x3y2⋅(−2xy2z)2=2x3y2⋅4x2y4z2=8x5y6z2；（2）解：(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2=−8x6+x6−9x6=−16x6．【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式7-2】（2023春·上海青浦·七年级校考期中）计算：−12xy22⋅8x4y2−2x2y23．【答案】−6x6y6【分析】分别按照幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式的运算法则进行计算，最后合并同类项即可．【详解】解：−12xy22⋅8x4y2−2x2y23=14x2y4⋅8x4y2−8x6y6=2x6y6−8x6y6=−6x6y6【点睛】本题考查了整式的乘法运算．用到的知识点有幂的乘方，积的乘方，单项式乘单项式．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的因式相乘；单项式乘单项式，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母和字母指数不变，作为积的因式．【变式7-3】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）计算：an−5an+1b3m−22+an−1bm−23−b3m+2．【答案】0【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解即可．【详解】解：原式=an−5a2n+2b6m−4+a3n−3b3m−6−b3m+2=a3n−3b6m−4+−a3n−3b6m−4=a3n−3b6m−4−a3n−3b6m−4=0．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键.【题型8 新定义下的幂的运算】【例8】（2023春·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a…，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．(1)计算以下各对数的值：log24＝_____，log216＝_____，log264＝_____．(2)写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1，M>0，N>0）．(4)设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)2，4，6(2)log24+log216=log264(3)loga(MN)(4)证明见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，log24+log216=log264；（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=logaMN．（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，根据同底数幂的运算法则：am⋅an=am+n和给出的材料证明结论．【详解】（1）∵22=4，24=16，26=64∴log24=2，log216=4，log264=6，故答案为：2，4，6；（2）∵4×16＝64，log24=2，log216=4，log264=6，∴log24+log216=log264，故答案为：log24+log216=log264；（3）由（2）的结果可得logaM+logaN=logaMN，故答案为：logaMN．（4）设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1=M，ab2=N∴MN=ab1ab2=ab1+b2，∴b1+b2＝loga（MN），∴logaM+logaN=logaMN．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【变式8-1】（2023春·广东揭阳·七年级校考期中）若定义表示3xyz，表示−2abcd，则运算的结果为（    ）A．−12m3n4 B．−6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4【答案】C【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案．【详解】解：根据定义得：=3×m×n×2×（-2）×m2×n3=-12m3n4，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键．【变式8-2】（2023春·江苏淮安·七年级期中）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运(2)5,2+5,7=5,14,理由见解析(3)见解析【分析】（1）由于22=4，50=1，33=27根据“雅对”的定义可得；（2）设（5，2）=m，（5，7）=n，利用新定义得到5m=2，5n=7，根据同底数幂的乘法得到5m•5n=5m+n=14，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）=m+n，从而得到（5，2）+（5，7）=（5，14）；（3）设：（2n，3n）=a，（2，3）=b，利用新定义得到（2n）a=3n，2b=3，根据幂的乘方得到（2n）a=（2b）n，从而得到a=b，所以（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．【详解】（1）∵22=4 ，∴2,4=2；∵50=1，∴5,1=0；∵33=27 ，∴3,27=3故答案为：2；0；3；（2）（5，2）+（5，7）=（5，14）；理由如下：设（5，2）=m，（5，7）=n，则5m=2，5n=7，∴5m•5n=5m+n=2×7=14，∵（5，14）=m+n，∴（5，2）+（5，7）=（5，14）；故答案为：（5，14）；（3）设（2n，3n）=a，（2，3）=b，∴（2n）a=3n，2b=3，∴（2n）a=（2b）n，即2an=2bn，∴an=bn，∴a=b，即（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n=amn（m，n 是正整数）．