[数学]2023_2024学年陕西榆林神木市第四中学高一下学期月考数学试卷(第四中学第三次检测)(原题版+解析版)

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2023~2024学年陕西榆林神木市第四中学高一下学期月考数学试卷（第四中学第三次检测）
1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量
，
，
是（
）
A. 相同的向量 B. 模相等的向量
C. 共线向量
D. 共起点的向量
答案
解析
B
【分析】
根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】
是正
到三个顶点的距离相等
故选：B
的中心，向量
分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
，但向量
，
，
不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
2. 若
A.
，则
（
）
B. 1
C. 2
D. 4
答案
解析
A
【分析】
借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得.
【详解】
，
.
故选：A．
3. 在
A.
中，
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由已知利用余弦定理可求
【详解】
的值，根据正弦定理可求
的值．
∵
，
∴由余弦定理
可得：
,
∴解得：
，或 （舍去），
∴由正弦定理可得：
故选:B
．
4. 平面内顺次连接
A. 平行四边形
所组成的图形是（
）
B. 直角梯形
C. 等腰梯形
D. 以上都不对
答案
解析
B
【分析】
先求出
，然后通过判断它们间的关系进行判断即可.
【详解】

因为
所以
，
，
，
所以
，
，
∥
，
所以四边形
为直角梯形.
故选：
.
5. 欧拉恒等式
（i为虚部单位， 为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式
的特例：当
自变量
A.
时，
，得
．根据欧拉公式，复数
C.
的虚部为（
）
B.
D.
答案
解析
C
，
则虚部为
．
因此正确答案为：C．
6. 已知平面向量
A.
满足
，且
B.
，则
的夹角为（
C.
）
D.
答案
解析
D
【分析】
设
夹角为
，根据向量数量积的运算律即可求解．
【详解】
因为
，所以
，则
，即
，
设
夹角为
，
，
又因为
，所以
，
故选：D．
7. 如图，在
中，
为
的中点，则
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】
由题意知
故选：C.
.
8. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高
，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为
的高度是（
，然后从点C处沿南偏东
方
向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为 ，则铁塔
）

A. 70米
B. 80米
C. 90米
D. 100米
答案
解析
A
【分析】
先由题意得出
【详解】
由题
，
，再在
，
中，由余弦定理即可求解.
所以
，
故在
所以
中，由余弦定理得
，
即
，
（舍去）或
，故铁塔
的高度是70米.
故选：A.
9. 已知 为虚数单位，复数
，
，则（
）．
A.
C.
的共轭复数为
为实数
B.
D.
在复平面内对应的点在第一象限
答案
解析
BD
A 选项：
B 选项：
故
，故错误．
，则
，
，
，故正确．
C 选项：
D 选项：
对应的点为
为虚数，故错误．
，
，
故
在复平面内对应的点在第一象限，
故正确．
故选 B D .
10. 已知向量 ， ， 满足
，
，
，则下列说法正确的是（
）
A．
C．
B．
D．向量 ， 的夹角为
答案
解析
暂无
略
11. 若
是平面 内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（
）
B. 对于平面 中的任一向量 ，使
共线， D. 若存在实数 ，使
A.
C.
可以表示平面 内的所有向量
的实数
有无数多对
均为实数，且向量
则有且只有一个实数 ，使
与
，则
答案
解析
BC
【分析】
运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项.

【详解】
由题意可知：
对于C项，当
此时任意实数 均有
故选：BC.
可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确；
时，则
，
，故C项不正确.
12. 在
A.
中，内角
所对的边分别为
，其中
，且
B.
，则下列说法正确的是（
）
面积的最大值为
为锐角三角形，则其周长的取值范围为
C. 若 为边
的中点，则
的最大值为3
D. 若
答案
解析
ACD
【分析】
对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程
可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题．
【详解】
对于A,由题意可知
确；
，利用余弦定理得，
，因为
，解出
，所以
，故A正
对于B，由上述可知，
的面积
，且易知
，当且仅当
时
取等号，此时
，故B错误；
对于C，在
和
中，对
和
利用余弦定理，
，化简后有
，由B知， 的最大值为12，因此
最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，
由于是锐角三角形，因此
，则
，
，于是
，
的周长
即
解出
则
则
，则
，故D正确.
故选：ACD.
13. 已知复数
是纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值为
．
答案
解析
1
【分析】
根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】
由已知可得，
故答案为：1.
，解得
.
14. 已知向量
答案
，则与向量 平行的单位向量为
.
或
解析
【分析】
利用与向量 平行的单位向量为
【详解】
，求解即可
因为
，所以
，所以与向量 平行的单位向量为
或

.
故答案为：
或
15. 在
中，内角
的对边分别为
，若
，且
的面积为
，则
的外接圆的面积为
.
答案
解析
/
【分析】
利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案.
【详解】
因为
的面积为
，所以
，即
，
根据余弦定理得即
又
，
，所以
，
设
的外接圆的半径为 ，所以
的外接圆的面积为
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
16. 在平行四边形
中， 是直线
上的一点，且
，若
，则
.
答案
解析
3
【分析】
将向量进行转化得
【详解】
，从而得解.
记
，又
，所以
，所以
，
解得
.
故答案为：3
17. 已知复数 满足：
(1)求 ；
是实数， 的模为
的共轭复数 在复平面内对应的点在第四象限.
(2)若
，求
的值.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）先设
，根据
是实数求出
，接着根据复数模长公式结合已知条件可求出m，进而得解.
（2）由（1）求出
【详解】
（1）设复数
则
即可根据复数相等定义求解.
，
是实数，得
，故
，
所以
，
即
，
又因为
在第四象限，
所以
，故
，

所以
.
（2）由（1）得：
，
所以
，故
，
又因为
所以
，
即
.
18. 已知向量
，且
.
(1)求 的值；
(2)求向量
与
的夹角的余弦值.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.
（2）运用平面向量夹角公式计算即可.
【详解】
（1）因为
，
，
所以
故
，解得
.
的值为3.
（2）由（1）知，
，
所以
所以
，
，
所以
.
故
与
的夹角的余弦值为
.
19. 在
中，内角
的对边分别为
内切圆的半径.
，向量
且
.
(1)求角
(2)若
；
，求
答案
解析
(1)
(2)
；
.
【分析】
（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得
，即可求得
；
（2）利用余弦定理求得 ，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径.
【详解】
（1）因为向量
由正弦定理得
与
平行，所以
，
，
又
又
，所以
，所以
，所以 ，
.
（2）由余弦定理得
，所以
，解得
或
（舍），
所以
设
的面积
内切圆的半径为 ，
，
所以
，解得
.

20. 如图，在等腰三角形
中，
是线段
上的动点（异于端点），
.
(1)若
(2)当
是
边的中点，求
的值；
时，请确定点 的位置.
答案
(1)
(2) 是线段
靠近 处的四等分点
解析
【分析】
（1）用
、
作为基底分别表示
，则
、
，结合数量积运算即可.
（2）设
，结合数量积运算即可.
【详解】
（1）
由题意知
由于 是
因此
，
.
边的中点，因此
，
（2）不妨设
，因此
，
，
又
所以
解得
，即
，
故 是线段
靠近 处的四等分点.
21. 在
中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B；
(2)若
为锐角三角形，
，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
答案
(1)
(2)
解析
【详解】
解：（1）因为
，由正弦定理得
，
，所以
，
由余弦定理得
又
，所以
；
（2）因为
，所以
．
，
因为D是线段AC的中点，所以
所以
，
由正弦定理得
，所以
，
，

所以
又
，
为锐角三角形，所以
，所以
，解得
，所以
，
所以
所以
，
，即BD的长的取值范围是
．
22. 在平面四边形
中（
在
的两侧），
；
.
(1)若
(2)若
，求
，求四边形
的面积的最大值.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）在
中用余弦定理求出
，分成
，再由角度之间的关系，在
， 的面积为定值，
中用正弦定理可求出
；
（2）将四边形
【详解】
，
的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值.
（1）在
中，由余弦定理得
，
即
.
因为
又
，
，所以
，
，所以
.
在
中，由正项定理得
，
所以
，
又
，所以
，所以
，所以
；
（2）设
在
.
中，由余弦定理得
的面积
.
所以
，
所以
又
，此时
的面积
，
，
所以四边形
的面积的最大值为