2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高二上学期第四次检测数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高二上学期第四次检测数学（理）试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，向量，，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由空间向量加法的坐标表示计算．

【详解】由题意．

故选：A．

2．已知命题，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定可得结果.

【详解】命题：，，

则：，.

故选：C.

3．若两个不同平面的法向量分别为，则（       ）

A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确

【答案】A

【分析】根据法向量，可得，可得法向量和平行即可得解.

【详解】由，

所以法向量和平行，

所以平面和平行，

故选：A.

4．把3封信投入4个邮桶，共有不同的投法数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】每一封信都有4中投递方法，根据分步计数原理求得将3封信投入4个邮桶的不同的投法.

【详解】每一封信都有4中投递方法，

根据分步计数原理得不同的投法有种，

故选：D.

【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题.

5．从一副52张的扑克牌中任抽一张，“抽到或”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】52张的扑克牌中, 有4张，也有4张，所以“抽到或”的概率为，

故选：D

6．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ）

A．9种 B．8种 C．7种 D．6种

【答案】D

【分析】可按区域分四步，由分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选；

第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选，

由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案.

故选：D.

7．已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式.

【详解】，

所以，.

故选：D.

8．农村电子商务是通过网络平台嫁接各种服务于农村的资源，拓展农村信息服务业务、服务领域，使之兼而成为遍布县、镇、村的三农信息服务站．作为农村电子商务平台的实体终端直接扎根于农村服务于三农，真正使三农服务落地，使农民成为平台的最大受益者．某镇信息服务站统计了该镇电商2020年1至12月份的月利润，得到如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论中错误的是（    ）

A．月利润最小的月份为10月

B．相对于上个月，月利润增幅最大的月份为11月（起始月份的增幅记为0）

C．月利润的中位数为2月和9月月利润的平均数

D．1至6月份的月利润相对于7至12月份波动性更小

【答案】C

【分析】根据题意结合折线图以此判断各项即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：由上图可知利润最小的月份为10月，故A正确；

对于选项B：从10月到11月连线的斜率最大，即月利润增幅最大的是11月，故B正确；

对于选项C：月利润的中位数为3月和9月的月利润的平均值，故C错误；

对于选项D：1-6月的月相对于7-12月比较集中，即波动性更小，D正确；

故选：C

9．若是非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及数量积的定义即可得出答案.

【详解】由可得，

设与的夹角为，可得

因为是非零向量，所以或与的夹角，

所以由得不出，

若则即，

所以由可推出，

所以是的必要不充分条件，

故选：B.

10．为配合国家的精准扶贫战略，某省示范性高中安排名高级教师到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少安排人，则不同的分配方案有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】先分组，将六名教师分成“222”，“123”，和“114”三种形式，然后在分别讨论各情况的分配方案，最后把所有情况求和.

【详解】分配方式有三种：①如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种；②如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种；③如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种.

共有种不同的分配方案.

故选：.

11．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种情况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.

【详解】由题意，此局分两种情况：

（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：；

（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：；

所以，所求事件概率为.

故选：C.

12．在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（   ）

A．异面直线和所成的角为定值

B．直线和平面所成的角为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．直线和平面平行

【答案】B

【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定、、、的结论．

【详解】解：如图所示：

对于，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，

因为，，，平面

平面，平面，

，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确；

对于，由线面所成角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时是变化的，故错误．

对于，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而大小一定，

，而平面，

点到平面的距离即为点到该平面的距离，

三棱锥的体积为定值，故正确；

对于，因为，面，面，所以面

直线和平面平行，故正确．

故选：．

二、填空题

13．在区间上随机取一个实数，则的概率为______．

【答案】

【分析】满足的区间长度与总区间长度之比，即为所求的概率.

【详解】由题意可得，总区间长度为6，满足的区间长度为2，故所求的概率为.

故答案为：

14．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______．

【答案】##

【分析】利用条件概率公式，计算可得答案.

【详解】设该同学通过第一轮为事件，通过第二轮为事件，

故，，则两轮都通过的概率为：

根据题意，利用条件概率公式，

该同学在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为：

，

故该同学两轮都通过的概率为：

故答案为：

15．已知平面的法向量为，点，，且，，则点到平面的距离为______．

【答案】

【分析】直接由点面距离的向量公式即可求解.

【详解】解：依题意，且平面的法向量为，

所以由点到面距离的向量公式可得，

点到平面的距离为.

故答案为：.

16．已知命题：且，；命题：，．则下列命题中，所有真命题的序号是______．

①；    ②；    ③；    ④．

【答案】①④

【分析】先分析命题和命题的真假性，然后再结合复合命题的真假关系即可求解

【详解】对于命题：，则，当时，，即命题是假命题；

对于命题：，不存在，使，即命题也是假命题；

由复合命题的真假关系得：

①，假，真，为真命题，

②，假，假，是假命题，

 ③，真，假，为假命题，

 ④，真，真，为真命题，

故答案为：①④

三、解答题

17．在某市的科技创新大赛活动中，10位评委分别对甲学校的作品“乒兵球简易发球器”和乙学校的作品“感应垃圾桶”进行了评分，得分的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图写出甲、乙两所学校的作品得分的中位数；

(2)根据茎叶图计算甲、乙两所学校的作品得分的平均数，并判断哪一件作品更受评委的欢迎？

【答案】(1)甲学校作品得分的中位数为，乙学校作品得分的中位数为；

(2)甲学校作品得分的平均数为，乙学校作品得分的平均数为，甲学校的作品更受评委的欢迎.

【分析】（1）根据茎叶图求得甲乙两所学校作品的得分，并按照从小到大进行排序，再求中位数即可；

（2）根据（1）中所得数据，直接求平均数，再从中位数和平均数的角度，即可判断.

【详解】（1）甲学校作品的得分由小到大排列为：62，65，68，75，77，83，84，91，92，93，

所以甲学校作品得分的中位数为；

乙学校作品的得分由小到大排列为：60，63，75，75，77，79，81，82，87，91，

所以乙学校作品得分的中位数为.

（2）甲学校作品得分的平均数为；

乙学校作品得分的平均数为．

甲学校作品得分的中位数和平均数都大于乙学校作品得分的中位数和平均数，

所以甲学校的作品更受评委的欢迎．

18．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．

(1)若，为真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由为真命题，可得和都为真命题，求出和范围的交集即可.

(2)由是的必要不充分条件，可得表示的集合是的真子集，即可求出的取值范围.

【详解】（1）若，命题：，解得，命题：，

为真命题，则和都为真命题，即，，

即实数的取值范围为

（2）命题：实数满足，其中，；

又是的必要不充分条件，表示的集合是的真子集，即，得，

则的取值范围是

19．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）中，，，棱，，分别为，的中点．请用空间向量知识解答下列问题：

(1)求；

(2)求证：平面．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

（1）利用空间向量的数量积的坐标运算即可求解.

（2）由，，利用线面垂直的判定定理即可证明.

【详解】（1）由题意，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

，，

，

又，，

．

（2）证明：，，，，

，，，

，，

，，即，，

又平面，平面，，

平面．

20．某中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名.为配合“双减政策”该校在新学年推行“”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.

(1)调查结果显示：有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列列联表﹒并判断是否有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？

(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)列联表答案见解析，没有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关

(2)分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）根据中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名，其中有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，完成列联表；根据表中数据求得，再与临界值表对照下结论；

易知在此十名优秀教师中男教师人､女教师人，的可能取值为：，利用古典概型的概率，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：依题意：男､女教师支持实行“弹性上下班”制的人数分别为，完成列联表如下：

将数据代入公式，计算得，

据此可知没有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关.

（2）依题意，在此十名优秀教师中男教师人､女教师人.

若用表示三位发言教师的女教师人数，则的可能取值为：，

其概率分别为：

随机变量的分布列如下：

随机变量的数学期望为：

21．近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业．据统计，某市一家新能源企业近5个月的产值如下表：

(1)根据上表数据，计算与间的线性相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（结果保留三位小数，若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性不强．）

(2)求出关于的线性回归方程，并预测明年3月份该企业的产值．

参考公式：

参考数据：

【答案】(1)， 与线性相关性很强

(2)，62.4亿元

【分析】（1）根据相关系数公式得到，即可得到答案.

（2）根据最小二乘法得到回归直线方程为，再代入求解即可.

【详解】（1），.

所以，

因为，故与线性相关性很强．

（2）由题意可得，，

所以

所以关于的线性回归方程为，

当时，，

故明年3月份该企业的产值约为62.4亿元．

22．如图1，直角梯形中，，，，为的中点，现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中为的中点，为上一点，与交于点，连接．请用空间向量知识解答下列问题：

(1)求证：∥平面；

(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角．

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】（1）证明出，，两两互相垂直，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明∥平面；

（2）设点到平面的距离为，利用等体积法求出，利用向量法求出平面与平面的夹角.

【详解】（1）在直角梯形中，，，，

由翻折的性质可得，翻折后，，

又，，

，则，故，，两两互相垂直，

以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图示：

则，，，，

，，

，即，

又平面，平面，

平面．

（2）设点到平面的距离为，

则，解得，

点为的中点，在空间直角坐标系中，，，.

，，

设平面的法向量为，

则即令，则，，

故平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，

平面与平面的夹角为45°．