2021-2022学年陕西省榆林市神木中学、府谷中学、绥德中学高一（下）期末数学试卷-（Word解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学、府谷中学、绥德中学高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数是幂函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为的直角三角形，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在四边形中，，为边的中点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则下列关系式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若关于的不等式的解集为，则函数在区间上的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知数列的前项和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知直线：与圆：交于，两个不同点，则当弦最短时，圆与圆：的位置关系是(    )

A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交

12. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形如图所示，图中共有个正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图所示的优美图形图中共有个正三角形，这个过程称之为迭代．如果在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图所示的图形图中共有个正三角形，则图中最小的正三角形面积为(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 直线：与直线：之间的距离为______．
14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为______．
15. 若函数在区间上单调递增，则的最大值是______．
16. 已知四边形为矩形，，平面平面，，若四棱锥外接球的表面积为，则四棱锥体积的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知是公差不等于的等差数列的前项和，，是与的等比中项．
    求数列的通项公式；
    求数列的前项和．
18. 已知函数的图象过点，且为偶函数．
    求函数的解析式；
    若对任意的，不等式恒成立，求的最小值．
19. 设平面向量，
    若与共线，求角；
    若，，则向量与是否能垂直？若能垂直，求出角的值；若不可能垂直，请说明理由．
20. 如图，在三棱柱中，，分别是，的中点．
    求证：平面；
    若，平面，求证：平面平面．

21. 已知函数的部分图象如图所示，且在处取得最大值，图象与轴交于点
    求函数的解析式；
    若，且，求的值．

22. 已知中，为中点，．
    若，，求边的长；
    若，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．

【解答】

解：．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：根据形如 为常数的函数为幂函数，
由选项可知，符合．
故选：．
由题意，利用幂函数的定义，得出结论．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，
由正弦定理得，，即，
解得：．
故选：．
由已知结合正弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，得该圆锥的母线长为，母线与底面所成角为，
易得圆锥高和底面半径均为，
则所求圆锥的体积为．
故选：．
由已知可得圆锥的母线长及母线与底面所成角，进一步求得圆锥的底面半径与高，则圆锥的体积可求．
本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的线性运算及其平面向量的基本定理，属于基础题．
根据平面向量线性运算法则将用表示，再结合平面向量基本定理即可得答案．
【解答】
解：连接，因为为的中点，

所以，
又因为，根据平面向量基本定理可得
，于是．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，其定义域为，
有，函数为偶函数，
在区间上，，易知为增函数，
则有，
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性和单调性，由此分析可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，注意分析的奇偶性和单调性，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
，，
解得，，
，
当且仅当，即时，，取得最小值，
故在区间上的最小值为．
故选：．
由方程与不等式的关系知，是方程的解，从而由韦达定理求解、，化简函数可求得最小值．
本题主要考查了方程与不等式的关系，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合诱导公式进行化简，然后结合二倍角的正切公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角的正切公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义和向量的夹角公式，属于基础题．
由题意利用两个向量的数量积的定义和向量的夹角公式，求出向量与的夹角．
【解答】
解：两个向量，的夹角是，是单位向量，，．
，．
．
设向量与的夹角为，，
则，，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：数列的前项和为，
，
，
可得，
又因为，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
，
故选：．
根据数列的递推关系式整理得到，进而得到数列是首项为，公差为的等差数列，即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和逻辑思维能力，属于中档题目．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题直线：过定点，
圆：的圆心，半径为，
当弦最短时直线垂直，
又，
所以，
解得，
此时圆的方程是，
其中圆心，半径为，
又圆：的圆心，半径为，
所以两圆圆心之间的距离，
又，所以这两圆相交．
故选：．
根据题意可得直线过定点，当弦最短时直线垂直，求得的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设最大正三角形的边长为，则，
其内部迭代出的正三角形的边长分别为，，，，
由余弦定理得：，
同理得，，，
，
最小的正三角形的面积．
故选：．
设最大正三角形的边长为，则，其内部迭代出的正三角形的边长分别为，，，，由余弦定理求得，再由三角形面积公式求解．
本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：，即的方程为，
所以两条平行线间的距离，
故答案为：．
整理两条直线中的系数相同，的系数相同，直接代入平行线间的距离公式，可求得结果．
本题考查平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
设等比数列的公比为，从而，进一步利用基本不等式进行求解即可．
本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式的运用，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
要使在上单调递增，
则，解得，
又因为，
所以，
即的最大值是，
故答案为：．
直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列出不等式即可求解．
本题考查正弦函数的单调性应用，涉及参数的求解问题，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，取的中点，
设，
分别过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为外接球球心，
得球心为，
由四棱锥外接球的表面积为，得到其半径为，
则，设，
则．
在中，．
当时，四棱锥的高最大，体积取得最大值，且最大值为．
故答案为：．
由题意画出图形，可知矩形的中心为四棱锥外接球的球心，由已知求出四棱锥外接球的半径，得到矩形对角线长，进一步求出另一边长，再求出到底面距离，即可求解四棱锥体积的最大值．
本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：是等差数列，，
由，得，则，，
设数列的公差为，则由，得，
解得舍去或．
；
由知，
令，则，
，
是首项为，公差为的等差数列，
．
即数列的前项和为． 

【解析】由结合等差数列的性质和求和公式可求得，再由是与的等比中项，可求出公差，从而可求出通项公式；
由可求出，从而可求出，令，则可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而可求得结果．
本题考查了等差数列的通项公式以及求和公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为为二次函数，且为偶函数，
可得，
所以的图象的对称轴方程为，
又的图象过点，
故，
解得，
所以；
令，
由，则，
不等式，即，
可得在上恒成立，
因为函数在上单调递增，
易得当时，，即为最大值，
故的取值范围是，
所以实数的最小值为． 

【解析】由偶函数的定义，可得的图象关于直线对称，由二次函数的对称轴方程和，解得，，可得的解析式；
令，由对数函数的单调性可得的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．
本题考查二次函数的解析式的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：平面向量，，若与共线，
则，求得， 或．
若，，
则，
则向量与是不能垂直． 

【解析】由题意利用两个向量共线的性质，求得的值，可得的值．
由题意利用两个向量垂直的性质，求得，可得向量与是不能垂直．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
 

20.【答案】证明：，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面；
，是的中点，，
又平面，平面，
，
又平面，平面，显然平行四边形内的两条，不平行，和相交，
平面，
又平面，
平面平面． 

【解析】根据中位线的性质，证明即可；
根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可．
本题考查了线面平行和面面垂直的证明，属于中档题．
 

21.【答案】解：由图象可知函数的周期为，所以．
又因为函数在处取得最大值，根据五点法作图，，，故．
又因为，所以，
所以．
因为，所以，
因为，所以，所以
因为，所以，
所以
． 

【解析】由周期求出，由五点作图求出，由特殊点的坐标求出，可得函数的解析式．
由题意利用先求出，再利用同角三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和差的三角公式，求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点作图求出，由特殊点的坐标求出，还考查了同角三角函数的基本关系式，两角和差的三角公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：在中，，，
由正弦定理，得，
又，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
所以．
因为为中点，所以，
设，，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
所以，
故的面积，
因为，所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
此时取得最大值，的面积取得最大值．
故的面积的最大值为． 

【解析】在中，由正弦定理可推出，从而知的值，再在中，利用余弦定理，得解；
易知，可将原问题转化为的最大值，设，，，在中，利用余弦定理，可得，再结合三角形面积公式，二倍角公式，同角三角函数的基本关系式，用含的式子表示出，然后根据基本不等式，得解．
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握正余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换公式，基本不等式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．