陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第二次月考检测数学试题（含答案）

这是一份陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第二次月考检测数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，对任意实数，有，则的值为，若，则的值可以是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若是1与9的等比中项，则实数的值为（ ）
A.3B.C.D.9
2.某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A.14B.64C.72D.80
3.函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A.B.C.D.
4.双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A.2B.1C.D.
5.在正四面体中，其外接球的球心为，则（ ）
A.B.
C.D.
6.对任意实数，有，则的值为（ ）
A.B.C.22D.30
7.已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A.B.
C.D.
8.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，，则（ ）
A.B.C.D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，则的值可以是（ ）
A.3B.4C.5D.6
10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A.如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.函数存在极小值
B.
C.当时，
D.若函数有且仅有两个零点，则且
12.已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的离心率
C.当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
D.为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______种.
14.函数的导函数满足关系式，则______.
15.由0、1、2、3、4、5、6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有______个.
16.已知数列满足，且（），则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.
（1）求的值：
（2）求展开式中的系数.
18.（本小题满分12分）
已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
19.（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）已知是边长为1的等边三角形，，若点在棱上，且，求二面角的大小.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的离心率为，且过点.圆：的圆心为，是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
神木四中2023～2024学年度第二学期高二第二次检测考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1. C 由已知得，∴，故选C.
2. B 因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，
所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种，故选B.
3. A 因为，所以所求切线的斜率为.
由，得所求切线的方程为，整理为.故选A.
4. D 双曲线的渐近线为，
根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则弦长为.故选D.
5. C 由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，
设三角形的中心为点，的中点为，则，，
所以.故选C.
6. B 因为，所以，故选B.
7. A 由，得，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
由函数在上单调递增，有，
所以，综上，得.故选A.
8. C 设，，直线方程为，
联立方程消去后整理为，有，
又由，，可得，，
则，解得.故选C.
9. BC 因为，所以或，解得或5.故选BC.
10. BD 安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断错误；
选项B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误；
选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确.故选BD.
11. ACD ，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
故函数在处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确；
当时，函数单调递增，且，所以，B错误：
当时，，易知C正确；
由得，若函数有两个零点，只需且，D正确.故选ACD.
12. ABC 由题意得，对于选项A：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），又，，，故A正确；
则，离心率为，故B正确；
对于选项C：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，
所以，因此内心在直线，即直线上，故C正确；
对于选项D：设，则，，渐近线方程是，
则，，为常数，故D错误.故选ABC.
13. 12 由分步计数乘法原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）.
14. 由，得，
令，则.故.
15.90 ①0排在第6位时，共有个数；
②0排在第5位时，共有个数；
③0排在第4位时，共有个数；
故这样的七位数共有个.
16.（） ∵（），∴，
又∵，∴，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，
∴，
，
两式相减得，
则
.
17.解：（1）因为，，
所以，解得；
（2）由通项公式，
令，可得，
所以展开式中的系数为.
18.解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
19.解：（1）当时，，
又，所以，即.
又数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以；
（2）由（1）知，，
所以
.
20.（1）证明：因为，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）解：取的中点，
因为为等边三角形，所以，
过作与交于点，则，
由（1）可知平面，
因为，平面，所以，，
所以，，两两垂直，
所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
由，可得，，，，
又由，可得，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以令，则，，
所以，
所以，
所以二面角的大小为45°.
21.解：（1）依题意得
解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设过原点的圆：的切线方程为，即，
则，两边平方并化简得，
其两根，满足，
是椭圆上的点，所以，.
.
22.解：（1）由题意得，.
当时，，故函数在区间上单调递增；
当时，在区间上，，在区间上，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
综上所述，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调
递增，在区间上单调递减；
（2）由，可得，
设，，则.
设，则，
所以函数在区间内为减函数，7
则.
当时，，在区间内为减函数，
所以恒成立；
当时，，因为在区间上单调递减，
所以，在区间内，有，
所以在区间上单调递增，所以，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.