北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直当堂达标检测题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直当堂达标检测题，共18页。试卷主要包含了5　两条直线的交点坐标，“λ=-1”是“直线l1，若直线l1，直线l与直线l1，若两条直线l1等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 两条直线平行的判定与应用
1.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是( )
A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
2.经过点(1,0)且与直线2x-y+2=0平行的直线方程是( )
A.2x-y=0 B.2x-y-2=0
C.2x+y=0 D.2x+y-2=0
3.(2024江苏连云港教学质量调研)“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2023河南濮阳南乐第一高级中学月考)将一张画着直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023
C.4 043 D.4 046
5.(2024上海建平中学月考)若直线l1:ax-y+1=0与直线l2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,则实数a= .
6.若直线l过点P(3,-4),且它的法向量与直线y=2x+1的法向量平行,则直线l的点法式方程是 .
7.直线l与直线l1:3x+4y+12=0平行,且与坐标轴所围成的三角形的面积是24,求直线l的方程.
题组二 两条直线垂直的判定与应用
8.(2022四川内江六中入学考试)若两条直线l1:2x+ay-1=0与l2:ax+(2a-1)y+3=0相互垂直,则a的值为( )
A.-12 B.0
C.-12或0 D.-2或0
9.(2024河北师范大学附属中学月考)已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是x2+y=1,则实数m的值是( )
A.-2 B.-7 C.3 D.1
10.直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 .
11.(2024广东深圳名校期中联考)已知点A(1,2),点B(2,3),点C在x轴上,△ABC为直角三角形,请写出点C的一个坐标: .
12.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量,则实数a的值等于 .
13.已知△ABC的顶点分别为A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3).
(1)证明:△ABC为直角三角形;
(2)求AC边上的高所在直线的方程.
题组三 两条直线的交点问题
14.(2024安徽部分学校阶段性测试)已知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点,则实数k=( )
A.-1 B.1 C.-32 D.14
15.若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0的交点在第一象限内,则实数k的取值范围为( )
A.-2,12
B.-12,0
C.-∞,-12∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪12,+∞
16.(2022湖南雅礼中学月考)已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m+n-p等于( )
A.24 B.20 C.4 D.0
17.(2024安徽马鞍山期中)在平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上的截距为1的直线l的方程为 .(写成一般式)
18.已知两点A(0,4),B(2,-2),直线l1为线段AB的垂直平分线,直线l2:x+y-1=0,求:
(1)直线l1的方程;
(2)直线l1与l2的交点坐标;
(3)直线l1,l2与坐标轴所围成的三角形的面积.
能力提升练
题组 直线位置关系的综合问题
1.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4在x轴上的截距相同的直线方程是( )
A.y=-2x+4 B.y=12x+4
C.y=-2x-83 D.y=12x−83
2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线bx-ysin B-c=0与xsin A+ay+sin C=0的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
3.(2024河北沧州运东七县联考)已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,则四边形OACB的面积的最小值为( )
A.8+42 B.16 C.82 D.16+82
4.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P0,10a,则直线AB的方程为( )
A.y=-34x+5 B.y=34x-5
C.y=34x+5 D.y=−34x-5
5.(2024安徽当涂第一中学月考)已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.-π4,π4 B.3π4,π
C.π4,3π4 D.0,π4∪3π4,π
6.(2023四川内江威远中学校月考)已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,则1a+1+12b的最小值为( )
A.2 B.4 C.23 D.45
7.(多选题)(2024浙江台州路桥中学月考)已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,则满足条件的m可以是( )
A.-1 B.-2 C.12 D.0
8.(多选题)(2024江苏连云港赣榆期中)已知直线l1,l2的斜率分别为2,12,直线l与直线l1,l2围成一个等腰三角形,且顶角为钝角,则直线l的斜率可能是( )
A.-112 B.−1 C.−211 D.1
9.(2023河南郑州第九中学月考)已知A,B分别是直线x+2y+4=0和直线x+2y-10=0上的点,P为AB的中点,设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点D(-2,1)的直线l与曲线C,x轴分别交于点M,N,若D为MN的中点,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
1.4 两条直线的平行与垂直
1.5 两条直线的交点坐标
基础过关练
1.ABC 直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件为A1B2=A2B1,且A1C2≠A2C1或C1B2≠C2B1.
对于A,易知2×(-a)=-1×2a且-3×2a≠2×6,故A符合;对于B,y=2x⇒2x-y=0,易知2×(-1)=-1×2且0×2≠-3×2,故B符合;对于C,易知2×(-1)=-1×2且5×2≠-3×2,故C符合;对于D,易知2×1≠-1×2,故D不符合.故选ABC.
2.B 设所求直线的方程是2x-y+c=0(c≠2),
把(1,0)代入,得2+c=0,解得c=-2,
∴所求直线的方程是2x-y-2=0.故选B.
3.A 若直线l1:x+λy+9=0与直线l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行,则1×3=λ(λ-2),即λ2-2λ-3=0,解得λ=3或λ=-1.当λ=3时,直线l1:x+3y+9=0与直线l2:x+3y+9=0重合,舍去.故“λ=-1”是“直线l1与l2平行”的充要条件.
4.C 记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则直线AB的斜率kAB=4-0-2-2=-1.由题意知,过点(2 021,2 022)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以n-2 022m-2 021=-1,整理得m+n=4 043.故选C.
5.答案 1
解析 直线l1:ax-y+1=0即y=ax+1,
直线l2:2x-2y-1=0即y=x-12,
因为直线l1:ax-y+1=0与直线l2:2x-2y-1=0的倾斜角相等,所以kl1=kl2,即a=1.
6.答案 2(x-3)-(y+4)=0
解析 直线y=2x+1的一个法向量是(2,-1),因为直线l的法向量与直线y=2x+1的法向量平行,且过点P(3,-4),所以直线l的点法式方程是2(x-3)-(y+4)=0.
7.解析 根据题意可设直线l:3x+4y+m=0(m≠12),该直线分别与x轴,y轴交于A,B两点,则A-m3,0,B0,-m4,则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S=12-m3·-m4=24,解得m=±24.所以直线l的方程是3x+4y±24=0.
8.C 因为l1⊥l2,所以2a+a(2a-1)=0,解得a=-12或a=0.
易错警示 若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.若仅考虑两条直线的斜率的乘积为-1,容易漏掉一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在的情况.
9.C x2+y=1⇒y=-12x+1,所以直线x2+y=1的斜率为-12,因为线段MN的垂直平分线的方程是x2+y=1,所以kMN·-12=-1,即2-(-2)m-1·-12=-1,解得m=3,故选C.
10.答案 x-y+4=0
解析 设直线l的方程为x-y+m=0,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为x-y+4=0.
11.答案 (3,0)(答案不唯一,填(3,0),(5,0)中的任意一个都可以)
解析 设C(x,0),易知当x=1或x=2时,不符合题意,
当x≠1且x≠2时,kAB=3-22-1=1,kAC=-2x-1,kBC=-3x-2,
当A为直角时,kAB·kAC=1×-2x-1=-1,解得x=3,此时C的坐标为(3,0);
当B为直角时,kAB·kBC=1×-3x-2=-1,解得x=5,此时C的坐标为(5,0);
当C为直角时,kAC·kBC=-2x-1·-3x-2=-1,化简,得x2-3x+8=0,该方程无实数解.
综上所述,点C的坐标可以为(3,0)或(5,0).
12.答案 32
解析 由题意得l1⊥l2,∴2a-3=0,解得a=32.
13.解析 (1)证明:∵kAB=1+1-1+5=12,kBC=3-1-2+1=−2,kAC=3+1-2+5=43,∴kAB·kBC=-1,
∴AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形.
(2)∵kAC=43,∴AC边上的高所在直线的斜率为-34,又AC边上的高所在直线过点B,∴AC边上的高所在直线的方程是y-1=-34(x+1),即3x+4y-1=0.
14.C 由2x+y-4=0,x-y-2=0,得x=2,y=0,即直线2x+y-4=0与直线x-y-2=0的交点坐标为(2,0),将(2,0)代入kx-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-32.故选C.
15.C 当k=13时,kx-k+y+1=x3+y+23=0,与x+3y-3=0平行,不符合题意,∴k≠13.
由kx-k+y+1=0,x+3y-3=0,得x=3k-63k-1,y=2k+13k-1,由题意得3k-63k-1>0,2k+13k-1>0,
∴k>2或k<-12.故选C.
16.D 由两直线垂直,得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以mx+4y-2=0可化为5x+2y-1=0,又因为垂足(1,p)同时满足两直线方程,所以将(1,p)代入两直线方程,得5+2p-1=0,2-5p+n=0,解得p=-2,n=-12,所以m+n-p=10-12+2=0,故选D.
17.答案 9x+5y-5=0
解析 解法一:由7x-3y+1=0,x+4y-3=0,得x=531,y=2231,即直线l1与l2的交点坐标为531,2231,又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为y-12231-1=x-0531-0,即9x+5y-5=0.
解法二:由题设,可令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,因为直线l过点(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0,解得λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0.
18.解析 (1)易得线段AB的中点为(1,1),kAB=4-(-2)0-2=-3,
所以直线l1的斜率为13,则其方程为y-1=13(x-1),即x-3y+2=0.
(2)由x+y-1=0,x-3y+2=0,解得x=14,y=34,
所以直线l1与l2的交点坐标为14,34.
(3)记P14,34,根据题意作出图形如图所示:
则直线l1,l2与坐标轴所围成的三角形为△PCD,其中C(-2,0),D(1,0),
所以S△PCD=12|CD|·|yP|=12×3×34=98.
能力提升练
1.C 易知直线y=3x+4在x轴上的截距为-43,
∴所求直线过点-43,0.
设所求直线方程为y=-2x+m(m≠3),
把-43,0代入,得-2×-43+m=0,解得m=-83,
故所求直线方程为y=-2x-83.故选C.
C 直线bx-ysin B-c=0的斜率为bsinB,直线xsin A+ay+sin C=0的斜率为-sinAa,在△ABC中,由asinA=bsinB=2R,R为△ABC的外接圆半径,得
-sinAa·bsinB=−12R·2R=-1,故两直线垂直.
3.A 因为直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都过点(4,2),
所以C(4,2).连接OC,如图所示:
在直线l1:x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+4a,所以A0,2+4a,在直线l2:2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0),
所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=122+4a×4+12(4+a)×2=8+a+8a≥8+2a·8a=8+42,当且仅当a=8a,即a=22时等号成立.所以当a=22时,四边形OACB的面积取得最小值,为8+42.故选A.
4.C 由题意得a=2,则P(0,5).
设A(x1,2x1),Bx2,-x22,则x1+x2=0,2x1-x22=10,解得x1=4,x2=-4,∴A(4,8),B(-4,2).
∴直线AB的方程为y-28-2=x+44+4,即y=34x+5.故选C.
5.D 直线l的方程可化为m(x+y+1)+(2x-y-1)=0,由x+y+1=0,2x-y-1=0,解得x=0,y=-1,即直线l过定点(0,-1),记P(0,-1),如图,
由题可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,直线l的倾斜角为α,则0≤α<π,
显然直线PA的斜率为-1-(-2)0-1=-1,直线PB的斜率为-1-10-2=1,
由于直线l经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点,所以-1≤k≤1,即-1≤tan α≤1,
又k=m+21-m=−1+31-m≠-1,所以-1所以0≤α≤π4或3π4<α<π,
所以直线l的倾斜角的取值范围是0,π4∪3π4,π.故选D.
6.D 因为l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5,
因为a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0,
所以1a+1+12b=1a+1+12b×15(a+1+2b)
=152+2ba+1+a+12b≥152+22ba+1·a+12b=45,
当且仅当a=32,b=54时,等号成立.故选D.
7.ABD 因为三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0将平面分为六个部分,
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交,
当三条直线交于一点时,由x-2y+2=0,x-2=0,解得x=2,y=2,将(2,2)代入方程x+my=0,得2+2m=0,解得m=-1.
当两条平行线与第三条直线相交时,可得l1∥l3或l2∥l3,
当l1∥l3时,m=-2;当l2∥l3时,m=0.
综上可知,m=-1或m=-2或m=0.故选ABD.
8.ACD 设直线l1,l2,l的倾斜角分别为α,β,γ,
则tan α=2,tan β=12,直线l的斜率k=tan γ,
将直线l1,l2平移,使它们均过原点,设直线l与直线l1,l2分别交于点A,B,
当0<∠AOB<π2时,由题意知tan∠AOB=tan(α-β)=2-121+2×12=34,
因为△AOB为等腰三角形,且顶角为钝角,
所以∠ABO为钝角或∠OAB为钝角.
若∠ABO为钝角,则∠AOB=∠OAB,如图①所示:
所以tan γ=tan(∠OAB+α)=34+21-34×2=−112,
所以直线l的斜率为-112,故A正确;
若∠OAB为钝角,则∠AOB=∠ABO,如图②所示:
所以tan∠OAB=tan(π-∠AOB-∠ABO)=tan(π-2∠AOB)=
-tan 2∠AOB=-2×341-342=−247,
所以tan γ=tan(∠OAB+α)=-247+21--247×2=−211,
所以直线l的斜率为-211,故C正确;
当π2<∠AOB<π时,如图③所示:
tan∠AOB=tan[π-(α-β)]=-tan(α-β)=-34,
因为△AOB为等腰三角形,所以∠OAB=∠OBA,
所以tan∠AOB=tan(π-∠OAB-∠OBA)=tan(π-2∠OAB)=
-tan 2∠OAB=-2tan∠OAB1-tan2∠OAB,
所以由-2tan∠OAB1-tan2∠OAB=−34,解得tan∠OAB=13或tan∠OAB=-3(舍),
所以tan γ=tan(β+∠OBA)=tan(β+∠OAB)=12+131-12×13=1,所以直线l的斜率为1,故D正确.
故选ACD.
9.解析 (1)设点P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为P为AB的中点,所以x1+x2=2x,y1+y2=2y,
由x1+2y1+4=0,x2+2y2-10=0,可得x1+x2+2(y1+y2)-6=0,所以2x+4y-6=0,即x+2y-3=0,
所以曲线C的方程为x+2y-3=0.
(2)设M(3-2b,b),N(a,0),
因为D(-2,1)为MN的中点,
所以3-2b+a=-4,b+0=2,解得a=-3,b=2,
则N(-3,0),所以直线l的方程为y=1-0-2+3(x+3),整理得x-y+3=0,即直线l的方程为x-y+3=0.