北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.3 直线的方程练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.3 直线的方程练习题，共18页。试卷主要包含了下列说法错误的有，同一坐标系中,直线l1，下列命题正确的是，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

题组一 直线方程的点斜式与斜截式
1.(2023四川内江威远中学校月考)过点P(3,−23)且倾斜角为135°的直线方程为( )
A.3x-y-43=0 B.x−y−3=0
C.x+y-3=0 D.x+y+3=0
2.(多选题)(2024福建厦门大学附属科技中学第一次阶段性测试)下列说法错误的有( )
A.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3
B.经过点P(x1,y1),斜率为0的直线方程是y=y1
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.方程y=k(x-2)与方程k=yx-2表示同一条直线
3.(多选题)(2023广东珠海第二中学期中)同一坐标系中,直线l1:y=ax+b与l2:y=bx-a的大致位置可能为( )


4.(2024安徽当涂第一中学月考)已知直线l经过点P(-1,2),且其斜率为k.
(1)若k=2,求l的点斜式方程;
(2)若直线l在y轴上的截距为4,求l的斜截式方程.
题组二 直线方程的两点式与截距式
5.(2024陕西榆林“府、靖、绥、横、定”五校期中联考)已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线l上的点是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(2,1)
6.(多选题)(2024安徽名校阶段检测联考)直线l过点(1,-2),且在两坐标轴上的截距之和为-2,则直线l的方程为( )
A.x-3y-7=0 B.2x-y-4=0
C.x+y+1=0 D.4x-y-8=0
7.(2022四川德阳重点高中月考)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为( )
A.5x+3y-6=0 B.3x-5y+15=0
C.x+13y+5=0 D.3x+8y+15=0
8.(多选题)(2024辽宁省实验中学期中)下列命题正确的是( )
A.截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示
B.经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示
C.过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D.不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示
9.(2022湖南衡阳一中月考)某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的质量为( )
A.20 kg
B.25 kg
C.30 kg
D.80 kg
10.(2022辽宁营口第二高级中学月考)已知直线l:xm+y4-m=1.
(1)若直线l的斜率是2,求m的值;
(2)当直线l与两坐标轴的正半轴相交,且所围三角形的面积最大时,求此直线的方程.
11.(2024江苏星海实验中学月考)若直线AB与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.
题组三 直线方程的一般式与点法式
12.(多选题)(2024福建永安第三中学月考)如果AB<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.(2024四川苍溪中学月考)已知直线l:x+y-1=0,则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角为π4
B.直线l的斜率为3
C.直线l在y轴上的截距为-1
D.向量v=(1,1)是直线l的一个法向量
14.(2022湖南雅礼中学期中)若直线l经过点P(-2,1),且直线l的一个法向量为v=(2,-1),则直线l的方程为 .
15.已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为12,则m= ,若m=-1,则直线l在y轴上的截距为 .
16.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l恒过第一象限;
(2)从下面两个条件中任选一个,求a的值.
条件①:直线l的倾斜角比直线3x-3y+1=0的倾斜角大π12;
条件②:直线l的一个方向向量为v=(1,1).
能力提升练
题组 直线方程的应用
1.(2022黑龙江鹤岗一中月考)直线l1:y=kx+b(kb≠0)和直线l2:xk+yb=1在同一坐标系中的图形可能是( )
2.(2024北京昌平第一中学期中)已知直线l:2x-my+m-4=0,则下述论断正确的是( )
A.直线l不可能经过坐标原点
B.直线l的斜率可能为0
C.直线l的倾斜角不可能是π2
D.直线l恒过定点(2,1)
3.(2022湖南常德期末)已知点A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)-1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
A.12,+∞ B.-∞,43
C.-∞,12∪43,+∞ D.12,43
4.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )
A.x+y+5=0 B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0 D.x+y-7=0
5.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
6.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0
C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0
7.(2022吉林通化重点高中月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为 .(结果写成直线的一般式方程)
8.(2024重庆外国语学校期中)已知直线l:(a+2)x-ay-3a-8=0,O为坐标原点,若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|OA|+|OB|最小时,a= .
9.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外,△AEF内部有一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m,
BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪面积最大?
答案与分层梯度式解析
1.3 直线的方程
基础过关练
1.D 因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以直线的方程为y+23=−(x−3),即x+y+3=0,故选D.
2.ACD 斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,故A中说法错误;斜率为0的直线上所有点的纵坐标均相同,则直线方程为y=y1,故B中说法正确;当倾斜角θ为π2时,直线方程为x=1,故C中说法错误;方程y=k(x-2)表示一条直线,而方程k=yx-2表示直线y=k(x-2)上除去点(2,0)的部分,故D中说法错误.故选ACD.
3.BC 对于A,l1:a<0,b<0,l2:b>0,-a>0,即a<0,故A错误;对于B,l1:a>0,b<0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故B正确;对于C,l1:a<0,b>0,l2:b>0,
-a>0,即a<0,故C正确;对于D,l1:a>0,b>0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故D错误.故选BC.
4.解析 (1)当直线l经过点P(-1,2)且斜率k=2时,l的点斜式方程为y-2=2(x+1).
(2)由已知可得,直线l经过点(-1,2),(0,4),所以其斜率k=4-20-(-1)=2,
所以l的斜截式方程为y=2x+4.
5.D 因为直线l经过点(-3,-2),(1,2),所以直线l的方程为y-(-2)2-(-2)=x-(-3)1-(-3),整理,得x-y+1=0,
将各个选项中点的坐标代入直线l的方程,可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上.故选D.
6.BC 由题意得,直线在两坐标轴上均有截距且截距均不为0,故设所求直线方程为xa+yb=1(ab≠0),
则1a+-2b=1,a+b=-2,解得a=-1,b=-1或a=2,b=-4,故直线方程为x+y+1=0或2x-y-4=0,故选BC.
7.C ∵B(3,-3),C(0,2),
∴线段BC的中点坐标为32,-12.
又∵BC边上的中线所在直线过点A(-5,0),
∴BC边上的中线所在直线的方程为y-0-12-0=x-(-5)32-(-5),即x+13y+5=0.故选C.
8.BC 对于A,如直线y=2x,它在两坐标轴上的截距都为0,但不能用方程x+y=a(a∈R)表示,故A错误.
对于B,经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线有两种情况:
当x1≠x2时,直线方程为y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1),整理,得(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1);
当x1=x2时,直线方程为x=x1,即方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)成立.
综上所述,经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示,故B正确.
对于C,当直线在x轴和y轴上的截距均为0时,可设直线方程为y=kx(k≠0),
因为直线过点(2,1),所以1=2k,解得k=12,所以所求直线的方程为y=12x;
当直线在x轴和y轴上的截距不为0时,可设直线方程为xa+ya=1(a≠0),即x+y=a(a≠0),
因为直线过点(2,1),所以2+1=a,即a=3,所以所求直线的方程为x+y=3.
综上所述,过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线有2条,故C正确.
对于D,例如直线x=1不经过原点,但是不能用方程xa+yb=1表示,故D错误.故选BC.
9.C 由题图知点A(60,6),B(80,10).由直线的两点式方程得y-610-6=x-6080-60,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg的行李.故选C.
10.解析 (1)由题意得直线l过点(m,0),(0,4-m),
则4-m-00-m=2,解得m=-4.
(2)由题意得m>0,4-m>0,解得0则三角形的面积S=m(4-m)2=-(m-2)2+42.
当m=2时,S有最大值,
故直线l的方程为x2+y2=1,即x+y-2=0.
11.解析 设直线AB的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),则直线AB在x轴、y轴上的截距分别为a,b,
由题意得,a+b+a2+b2=12,12ab=6,
则(a+b)2=144-24a2+b2+a2+b2,ab=12,
所以a2+b2=25,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=49⇒a+b=7,所以a=3,b=4或a=4,b=3.
当a=3,b=4时,直线方程为4x+3y-12=0;
当a=4,b=3时,直线方程为3x+4y-12=0.
故存在满足题意的直线,直线方程为4x+3y-12=0或3x+4y-12=0.
12.ACD 因为AB<0,所以B≠0,故直线的斜截式方程为y=-ABx−CB,因为AB<0,BC>0,所以-AB>0,−CB<0,故直线经过第一、三、四象限.故选ACD.
13.D 因为直线l:x+y-1=0的方程即y=-x+1,所以直线l的斜率为-1,倾斜角为3π4,在y轴上的截距为1,故A,B,C错误;对于D,因为直线l:x+y-1=0的一个方向向量为(1,-1),所以v=(1,1)是它的一个法向量,故D正确.故选D.
14.答案 2x-y+5=0
解析 由题意得直线l的方程为2(x+2)-(y-1)=0,即2x-y+5=0.
15.答案 0;12
解析 由题意得m2+12=12,所以m=0.
若m=-1,则直线l的方程为2x-2y+1=0,可变形为y=x+12,所以直线l在y轴上的截距为12.
16.解析 (1)证明:将直线l的方程变形得y-35=ax-15,所以直线l的斜率为a,且过定点15,35,
而点15,35在第一象限,所以无论a为何值,直线l恒过第一象限.
(2)若选择条件①:因为直线3x-3y+1=0的斜率k=33,所以其倾斜角α=π6,
则l的倾斜角为π6+π12=π4,可知l的斜率kl=1,即kl=5a5=1,所以a=1.
若选择条件②:由直线l的一个方向向量为v=(1,1),可知l的斜率kl=1,
即kl=5a5=1,所以a=1.
能力提升练
1.D A选项中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k<0且b<0,矛盾.B选项中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k>0且b>0,矛盾.C选项中,由l1可得k<0且b<0,由l2可得k>0且b<0,矛盾.D选项中,由l1,l2均可得到k>0且b>0.故选D.
2.D 令x=0,y=0,得m-4=0,即m=4,故当m=4时,
直线l:y=12x经过坐标原点,故A错误.方程2x-my+m-4=0可化为my=2x+m-4,当m=0时,直线l:x=2,其斜率不存在;当m≠0时,直线l:y=2mx+1−4m,其斜率不为0,故B,C错误.方程2x-my+m-4=0可化为(y-1)m=2(x-2),即直线l恒过定点(2,1),故D正确.故选D.
3.D 直线l:y=k(x+2)-1恒过点P(-2,-1),则kPA=3-(-1)1-(-2)=43,kPB=1-(-1)2-(-2)=12,结合图形(图略)可得k的取值范围是12,43.故选D.
4.D 设P(3,m).因为点P在直线PA上,所以3-m+1=0,解得m=4,即点P的坐标为(3,4).
由题意知PA与x轴的交点为A,所以点A的坐标为(-1,0),又|PA|=|PB|,点B在x轴上,所以点A,B关于直线x=3对称,所以点B的坐标为(7,0),所以kPB=0-47-3=-1,所以直线PB的方程为y-0=-(x-7),即x+y-7=0.故选D.
5.C 易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.
由题意得a+b=ab,即1a+1b=1,
∴a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=2时取等号,
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
6.A 把(2,1)代入直线方程a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
两式相减得2(a1-a2)=b2-b1,
过点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是(a2-a1)(y-b1)=(b2-b1)(x-a1),
∴y-b1=-2(x-a1),即2x+y-(2a1+b1)=0,
∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,
∴所求直线方程为2x+y+1=0.故选A.
7.答案 3x-4y=0
解析 由题设知,△ABC是直角三角形,则其垂心为直角顶点A(0,0),其外心为斜边BC的中点M(4,3),故其重心在直线AM上,故其“欧拉线”的方程即直线AM的方程,为y=34x,即3x-4y=0.
8.答案 -43
解析 方程(a+2)x-ay-3a-8=0可化为a(x-y-3)+2x-8=0,由x-y-3=0,2x-8=0,解得y=1,x=4,即直线l过定点(4,1),假设直线l的截距式方程为xs+yt=1(s>0,t>0),则4s+1t=1,∴|OA|+|OB|=s+t=(s+t)4s+1t=4ts+st+5≥24ts·st+5=9,当且仅当4ts=st,即s=6,t=3时,等号成立,此时直线l的方程为x+2y-6=0,所以a+2a=−12且-3a+8a=3,解得a=-43.
9.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),EF所在直线的方程为x30+y20=1.
在线段EF上取一点P(m,n)(0≤m≤30),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩形草坪,
设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因为m30+n20=1(0≤m≤30),所以n=201-m30,
故S=(100-m)80-20+23m=−23(m−5)2+18 0503(0≤m≤30),
当m=5时,S有最大值,此时|EP||PF|=30-55=5,即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时,可使草坪面积最大.