重难点专题02 函数值域与最值十四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144322182" 题型1幂函数值域问题 PAGEREF _Tc144322182 \h 1
\l "_Tc144322183" 题型2指数函数值域问题 PAGEREF _Tc144322183 \h 3
\l "_Tc144322184" ◆类型1值域相关问题 PAGEREF _Tc144322184 \h 3
\l "_Tc144322185" ◆类型3由函数奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc144322185 \h 5
\l "_Tc144322186" 题型3对数函数值域问题 PAGEREF _Tc144322186 \h 5
\l "_Tc144322187" ◆类型1值域相关问题 PAGEREF _Tc144322187 \h 5
\l "_Tc144322188" ◆类型2定义域与值域为R问题 PAGEREF _Tc144322188 \h 6
\l "_Tc144322189" ◆类型3新定义相关问题 PAGEREF _Tc144322189 \h 7
\l "_Tc144322190" 题型4分式型函数值域问题 PAGEREF _Tc144322190 \h 7
\l "_Tc144322191" 题型5对钩与双刀函数值域问题 PAGEREF _Tc144322191 \h 9
\l "_Tc144322192" 题型6分段函数值域问题 PAGEREF _Tc144322192 \h 10
\l "_Tc144322193" 题型7绝对值函数值域问题 PAGEREF _Tc144322193 \h 11
\l "_Tc144322194" 题型8高斯函数值域问题 PAGEREF _Tc144322194 \h 12
\l "_Tc144322195" 题型9“倍缩”函数值域问题 PAGEREF _Tc144322195 \h 14
\l "_Tc144322196" 题型10“类周期函数”值域问题 PAGEREF _Tc144322196 \h 15
\l "_Tc144322197" 题型11抽象函数值域问题 PAGEREF _Tc144322197 \h 17
\l "_Tc144322198" 题型12复合函数值域问题 PAGEREF _Tc144322198 \h 17
\l "_Tc144322199" 题型13三角函数值域问题 PAGEREF _Tc144322199 \h 18
\l "_Tc144322200" 题型14函数中的两边逼近思想 PAGEREF _Tc144322200 \h 20
题型1幂函数值域问题
【例题1】（2022·全国·高三专题练习）对于函数f(x)=ax2+bx,其中b>0,若fx的定义域与值域相同,则非零实数a的值为 .
【变式1-1】1. （2023·全国·高三对口高考）若函数f(x)=x2−6x−16的定义域为[0,m]，值域为[−25,−16]，则m的取值范围为 .
【变式1-1】2．（2017春·贵州贵阳·高三阶段练习）若函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R）的定义域和值域分别为集合A,B，且集合{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，则b+c的最大值为 ．
【变式1-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=−x2+2x.另一个函数y=g(x)的定义域为[a，b]，值域为[1b,1a]，其中a≠b，a，b≠0.在x∈[a，b]上，g(x)=f(x).求a，b.
【变式1-1】4. b，c∈R，二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,1)上与x轴有两个不同的交点，求c2+(1+b)c的取值范围.
【变式1-1】5．（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数fx=ax3+1−ax，则（ ）
A．函数fx为奇函数
B．当f1a=1时，a=−12或1
C．若函数fx有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为0,1
D．若函数fx在区间−1,1上的值域为−1,1，则实数a的取值范围为−12,4
【变式1-1】6．（2023·全国·高三专题练习）定义：区间x1,x2的长度为x2−x1.已知函数y=x2+1的定义域为a,b，值域为1,2，记区间a,b的最大长度为m，最小长度为n.则函数gx=ex−mx+n的零点个数是（ ）
A．1B．2C．0D．3
【变式1-1】7．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3−3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈Z),y=f(x)的值域为a,b的子集，则这样的函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．无数个
题型2指数函数值域问题
◆类型1值域相关问题
【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）若2x2+1≤14x−2，则函数y=2x的值域是（ ）
A．18,2B．18,2
C．−∞,18D．[2,+∞)
【变式2-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=22x−2x+1+2的定义域为M，值域为[1,2]，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A．M⊆(−∞,1]B．M⊇[−2,1]C．1∈MD．0∈M
【变式2-1】2．（2023·全国·模拟预测）使函数f(x)=ex−a的值域为[0,+∞)的一个a的值为 ．
【变式2-1】3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）对任意实数a>1，函数y=a−1x−1+1的图象必过定点Am,n，fx=nmx的定义域为[0，2]，gx=f2x+fx，则下列结论正确的是（ ）
A．m=1，n=2B．gx的定义域为[0，1]
C．gx的值域为[2，6]D．gx的值域为[2，20]
【变式2-1】4．（2020·全国·高三专题练习）设函数f(x)=axax+1，(a>0且a≠1)，m表示不超过实数m的最大整数，则函数f(x)−12+f(−x)+12的值域是（ ）
A．0,1,2B．−1，0C．−1,0,1D．0,1
◆类型2定义域与值域为[ma,na]型
【例题2-2】（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考开学考试）给出定义：如果函数y=f(x)的定义域为[a ， b]，值域也是[a ， b]，那么称函数f(x)为“保域函数”.下列函数中是“保域函数”的有 （填上所有正确答案的序号）.
①f(x)=2x，x∈[0,2]；
②f(x)=x2+x−1，x∈[−1,1]；
③f(x)=43⋅2x−53，x∈[−1,1]；
④f(x)=e2−12lnx+1，x∈1,e2.
【变式2-2】1. （2020春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考开学考试）若函数y=ax(a>1)的定义域和值域均为m,n,则a的范围是 .
【变式2-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．
【变式2-2】3．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3−3x，函数y=f(x)的定义域为a,b(a,b∈Z),y=f(x)的值域为a,b的子集，则这样的函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．无数个
【变式2-2】4．（2023·全国·高三专题练习）对于区间a,ba0且a≠1)的定义域为[m,n]（m0,a≠1)是“梦想函数”，则t的取值范围是 ．
【变式3-3】2．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使f(x)在[a,b]上的值域为[na,nb](n∈N+,n>1)，那么就称y=f(x)为“域n倍函数”，若函数f(x)=lga(ax+t),(a>0,a≠1)是“域2倍函数”，则t的取值范围为
题型4分式型函数值域问题
【例题4】（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数fx=x2x−3,下列结论正确的是（ ）
A．fx在0,6上单调递减B．fx的图象关于点3,6对称
C．曲线y=fx与x轴相切D．fx的值域为−∞,0∪12,+∞
【变式4-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1−4xx2+4的定义域是a,b（a，b∈Z），值域为0,1，则满足条件的整数对a,b可以是（ ）
A．−2,0B．−1,1
C．0,2D．−1,2
【变式4-1】2．（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数fx=ax+2x+2a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．fx的定义域为−∞,−2∪−2,+∞
B．fx在−1,0上的值域为2−a,1
C．若fx在−∞,−2上单调递减，则a1，则fx在定义域上单调递增
【变式4-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义区间x1,x2长度x2−x1x2>x1为，已知函数fx=a2+ax−1a2x(a∈R,a≠0) 的定义域与值域都是m,n，则区间m,n取最大长度时a的值为 .
【变式4-1】4．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称取整函数，例如：[−3.7]=−4，[2.3]=2.已知f(x)=3x−13x+2,则函数y=f(x)的值域为（ ）
A．−12,1B．−12,1C．−1,0D．−1,0
【变式4-1】5．（2020·全国·高三对口高考）已知函数gx=ax2+8x+bx2+1的值域是{y∣1≤y≤9}，求函数fx=ax2+8x+b的定义域和值域．
【变式4-1】6. 已知a,b,c为非零实数，f(x)=ax+bcx+d,x∈R，且f(2)=2,f(3)=3.若当x≠−dc时，对于任意实数x，均有f(f(x))=x，则f(x)值域中取不到的唯一的实数是_________．
【变式4-1】7.（多选） （2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数fx=2x2x+1，则（ ）
A．函数fx是增函数
B．曲线y=fx关于0,12对称
C．函数fx的值域为0,12
D．曲线y=fx有且仅有两条斜率为15的切线
题型5对钩与双刀函数值域问题
【例题5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x+kx具有以下性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0,k)上单调递减，在区间[k,+∞）上单调递增，若函数y=x+a−1x(x≥1)的值域为[a,+∞)，则实数a的取值范围是 .
【变式5-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x−1x2+xx>1，则函数的值域是 .
【变式5-1】2. （2023·全国·高三专题练习）对于定义在R上的奇函数y=fx，当x>0时，fx=2x+92x+1，则该函数的值域为 .
【变式5-1】3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）下列函数f1x=sin2x+1sin2x,f2x=x+1x,f3x=ex+1ex,f4x=lnx+1lnx中，函数值域与函数fx=x+1x的值域完全相同的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=x4−x2x6−16x3−1,x∈0,1，则该函数的值域为 .
【变式5-1】5.函数f(x)=4x+2x+1+52x+1的值域为（ ）
A．[5,+∞)B．[4,+∞)C．(5,+∞)D．(4,+∞)
题型6分段函数值域问题
【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=−x2+2x+3,x≤26+lgax,x>2(a>0且a≠1)，若函数fx的值域是−∞,4，则实数a的取值范围是（ ）
A．22,1B．22,1
C．1,2D．1,2
【变式6-1】1. （2023·全国·高三专题练习）设函数y=fx由关系式xx+yy=1确定，函数gx=−fx,x≥0,f−x,x0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+，使得f−x0−fx0=0；④若实数x10且a≠1）的值域是4,+∞，则实数a的取值范围是 ．
9．（2011·上海·高考真题）设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)=x+g(x)在[0,1]上的值域为[−2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为 ．
幂函数主要考察一元二次函数
二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论△
指数函数画图规律：
1、底数讨论单增单减讨论.
2、“一点一线”伴随.
对于单调函数定义域值域都已知可转化成两个函数相交问题
对数函数画图规律：
1.对数函数中要注意f（b）=f（c）时.bc=1这个特征，.
2.对数函数源于指数函数，所以和指数函数互为反函数.
分式型函数值域问题：
1.分离常数，通过“左加右减上加下减”可求得分式函数的对称中心.
2.特殊的，形如(内反表对称可以证明)
3.注意“水平渐近线和竖直渐近线”
4.分式型函数值域的方法：分离常数法，换元法，判别式法
1.对勾函数图像的特征：(1)渐近线；（2）拐点.
2.双刀函数，可用或者简单判断，要注意“渐近线”.
分段函数的值域等于各段函数值域的并集，同时要注意两段交接处，函数的变化
绝对值函数，主要是分类讨论.
1.一元一次函数加绝对值，是 折线
2.一元二次函数加绝对值，要注意与轴的交点
3.指数函数上下平移后加绝对值，要注意“一点一线”的位置
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比因为它具有“类周期性”，所以考查函数值域多与数列关联..
当函数的定义域与值域成倍数时，可以将问题转化为图像有两个交点的问题.
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大.
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.