重难点专题42 圆锥曲线焦点弦二级结论十大题型汇总-备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考新教材通用）

这是一份重难点专题42 圆锥曲线焦点弦二级结论十大题型汇总-备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考新教材通用），文件包含重难点专题42圆锥曲线焦点弦二级结论十大题型汇总原卷版docx、重难点专题42圆锥曲线焦点弦二级结论十大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153401155" 题型1圆锥曲线通径二级结论 PAGEREF _Tc153401155 \h 1
\l "_Tc153401156" 题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论 PAGEREF _Tc153401156 \h 2
\l "_Tc153401157" 题型3双曲线焦点弦周长二级结论（同支） PAGEREF _Tc153401157 \h 4
\l "_Tc153401158" 题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论（不同支） PAGEREF _Tc153401158 \h 6
\l "_Tc153401159" 题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论 PAGEREF _Tc153401159 \h 9
\l "_Tc153401160" 题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论 PAGEREF _Tc153401160 \h 10
\l "_Tc153401161" 题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论 PAGEREF _Tc153401161 \h 12
\l "_Tc153401162" 题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论 PAGEREF _Tc153401162 \h 14
\l "_Tc153401163" 题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论 PAGEREF _Tc153401163 \h 16
\l "_Tc153401164" 题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论 PAGEREF _Tc153401164 \h 16
题型1圆锥曲线通径二级结论
【例题1】（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】1. （2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习）已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为
A．53B．32C．22D．33
【变式1-1】2. （2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
【变式1-1】3. （2022·全国·高三专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】4. （2022·全国·高三专题练习）抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为 ．
【变式1-1】5. （2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p＝ ．
【变式1-1】6.（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论
【例题2】（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A , B两点，求△ABF2的周长．
【变式2-1】1. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1作直线l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为 ．
【变式2-1】2. 椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为
A．33B．13C．23D．63
【变式2-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为43，离心率为12，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．4B．5C．16D．32
【变式2-1】4. （2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，交y轴于点C ，若F1，C是线段AB的三等分点，△F2AB的周长为45，则椭圆E的标准方程为（ ）
A．x25+y24=1B．x25+y23=1C．x25+y22=1D．x25+y2=1
【变式2-1】5.（2014·全国·高考真题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2离心率为33，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为
A．x23+y22=1B．x23+y2=1C．x212+y28=1D．x212+y24=1
【变式2-1】6.古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为43π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．y216+x23=1B．y216+x212=1
C．x216+y212=1D．x216+y23=1
【变式2-1】7.（2014·安徽·高考真题）设F1,F2分别是椭圆E：x2a2+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF1|=3|BF1|
（1）若|AB|=4,ΔABF2的周长为16，求|AF2|；
（2）若cs∠AF2B=35，求椭圆E的离心率.
【变式2-1】8.（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，MN2=4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
题型3双曲线焦点弦周长二级结论（同支）
【例题3】（2022·全国·高三专题练习）椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为 ．
【变式3-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A．26B．21C．16D．5
【变式3-1】2. 如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30∘的直线l与C交于A,B两点．
(1)求弦长AB的值；
(2)求△ABF2的周长．
【变式3-1】3. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A．26B．21C．16D．5
【变式3-1】4. 如果F1、F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则ΔABF2的周长是
【变式3-1】5. （2022·全国·高三专题练习）若F1,F2分别是双曲线x2m-y27=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m= ．
【变式3-1】6.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为π6的弦AB．求：
(1)AB的长；
(2)△F2AB的周长．
【变式3-1】7.已知双曲线C经过点P3,2，它的两条渐近线分别为x+3y=0和x-3y=0.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为F1､F2，过左焦点F1作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求△ABF2周长的取值范围.
题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论（不同支）
【例题4】（2021·浙江·统考一模）如图所示，F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．15
C．13
D．3
【变式4-1】1. （2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为边长为4的等边三角形，则△AF1F2的面积为（ ）
A．23B．33C．43D．63
【变式4-1】2. （2021·高三课时练习）已知双曲线C:x2-y23=1的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M0,2，则△PFM的周长的最小值为（ ）
A．2+42B．4+22
C．32D．26+3
【变式4-1】3. 已知F1、F2分别是双曲线x23-y26=1的左右焦点，过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点．
（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）求△AF1B的周长．
题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论
【例题5】（2022·全国·高三专题练习）如图，F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A , B两点，求弦长AB．
【变式5-1】1. 经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长.
【变式5-1】5.（2022上·全国·高二专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33，过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A，B两点，则△AOB(其中O为原点)的形状为 .
【变式5-1】3.（2022上·全国·高三专题练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2 ，斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e∈12,34，则线段AB的长度的取值范围是
【变式5-1】4.（2022·全国·高三专题练习）过椭圆3x2+4y2=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，|AB|=7，求直线方程．
【变式5-1】5. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x29+y28=1的左右焦点分别为F1 , F2，若过点P0，-2及F1 的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的面积.
【变式5-1】6. （2023·四川广安·统考模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F与椭圆x225+y216=1的右焦点重合．斜率为kk>0直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若AF=3BF，则直线l的方程是（ ）
A．3x-y-33=0B．43x-4y-33=0
C．3x-y-9=0D．x-3y-3=0
题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论
【例题6】（2022·全国·高三专题练习）设双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0，其中两焦点坐标为F1-c,0 F2c,0，过F1的直线l的倾斜角为θ，交双曲线于A，B两点，求弦长AB．
【变式6-1】1. （2022·全国·高三专题练习）过双曲线x24-y28=1的右焦点F作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B两点，求弦长AB．
【变式6-1】2. （2022·全国·高三专题练习）过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为150°直线，交双曲线于A , B两点，求弦长AB．
【变式6-1】3. （2022·全国·高三专题练习）过双曲线x24-y28=1的右焦点F作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B两点，求弦长AB．
【变式6-1】4. （2022·全国·高三专题练习）过双曲线x2-y2=4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A、B两点，求弦长AB．
【变式6-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x23-y22=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交双曲线于A，B两点，求△ABF2的面积
题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论
【例题7】（2022·全国·高三专题练习）如图，抛物线y2=2pxp>0与过焦点Fp2,0的直线l相交于A,B两点，若l的倾斜角为θ，求弦长AB．
【变式7-1】1. （2020·山东·统考高考真题）斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB= ．
【变式7-1】2.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则AB+DE的最小值为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【变式7-1】3. （2021上·江西·高三校联考阶段练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作倾斜角为θθ≠π2的直线，交抛物线于A,B两点，当θ=π3时，以FA为直径的圆与y轴相切于点T0,3.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问在x轴上是否存在异于F点的定点P，使得FA⋅PB=FB⋅PA成立？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【变式7-1】4. （2020·四川遂宁·统考二模）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若MN=40，则HF=（ ）
A．14B．16C．18D．20
【变式7-1】5.设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为
A．y=x-1或y=-x+1
B．y=33（X-1）或y=-33（x-1）
C．y=3（x-1）或y=-3（x-1）
D．y=22（x-1）或y=-22（x-1）
【变式7-1】6.（2022·全国·高三专题练习）已知点F和直线l是离心率为e的双曲线C的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为p．过点F的弦AB与曲线C的焦点所在的轴的夹角为θ0°b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A , B两点，求AB．
【变式8-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x22+y21=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F1的直线交椭圆于A，B两点，求AB．
【变式8-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B两点的横坐标之和是-7，求AB．
【变式8-1】3.（2022·全国·高三专题练习）设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(－c,0),F2(c,0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．
题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论
【例题9】（2021·河北·高三专题练习）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P= .
【变式9-1】1.（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
【变式9-1】2.（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（ ）
A．B．C．D．
题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论
【例题10】（23·24高三上·云南·阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且倾斜角为60°的直线l与C交于A，B两点．若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的2倍，则C的离心率为 ．
【变式10-1】1. （2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左焦点为F，过F斜率为3的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若AFBF=32，则椭圆C的离心率e= ．
【变式10-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（ ）
A．58B．65C．75D．95
【变式10-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，经过F且倾斜角为60°的直线l与椭圆相交于不同两点A,B，已知AF=2FB．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若|AB|=154，求椭圆方程．
【变式10-1】4. （2023·贵州·统考模拟预测）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,F是C的一个焦点，点B在C上，若3AF+5BF=0，则C的离心率为（ ）
A．12B．35C．22D．32
1. （2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点为F2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G,H两点，且GF2=2F2H，则椭圆的离心率为（ ）
A．12B．22C．23D．32
2. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为433，过左焦点F且斜率为k>0的直线交C的两支于A,B两点．若|FA|=3|FB|，则k= ．
3.（多选）（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为e，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且PF1=2PF2，下列说法正确的是（ ）
A．PF2与双曲线的实轴长相等
B．e∈1,3
C．若P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y=±4x
D．若PF1=QF2，则直线PQ的斜率为±42
4. （2021·四川成都·石室中学校考三模）已知直线经过抛物线y2=2pxp>0的焦点F并交抛物线于A，B两点，则AF=4，且在抛物线的准线上的一点C满足CB=2BF，则p= .
5. （2020·全国·校联考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(3,1)，且左、右顶点分别为A1,A2，左焦点为F1，上、下两个顶点分别为B1,B2,0为坐标原点，△A1B1F1与△OA2B2面积的比值为3-63．
（1）求C的标准方程；
（2）过F1且斜率为kk>0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点D在y轴上，且满足PD=QD，已知E(0,-2)，求△EPQ与△A2OD面积比值的最小值．
6. （2021·江西新余·统考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=a2,F1(-1,0),F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为α∈0,π2的动直线l交椭圆C于A,B两点，交圆O于P,Q两点（如图所示），当α=π4时，弦PQ的长为14．
（1）求圆O和椭圆C的方程
（2）若点M是圆O上一点，求当AF2,BF2,AB成等差数列时，△MPQ面积的最大值．
7. （2020·安徽蚌埠·统考一模）已知M是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，且F1F2=2，∠F1MF2=π3，△F1MF2的面积为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C右焦点F2，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ（O为坐标原点）交椭圆于P，记△AOQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，若S2=3S1，求直线l的方程．
8. （2010·全国·高考真题）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为
9. （2010·全国·高考真题）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k=
A．1B．2C．3D．2
10. （2009·全国·高考真题）已知双曲线C:χ2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为
A．65B．75C．85D．95
11.（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
椭圆，双曲线的通径长AB=2b2a.
1．F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF2的周长为4a．
2.F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF1的周长为4a．
注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．
同支问题：
F1 , F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的左、右焦点，过F1的直线交双曲线同支于A , B两点，且AB=m，则△ABF2的周长为4a+2m．
证明：由双曲线的第一定义知，AF2-AF1=2a①，BF2-BF1=2a②，又AF1+BF1=m③，
由①②③，得AF2+BF2=4a+m , ∴AB+AF2+BF2=4a+2m，即△ABF2的周长为4a+2m．
双曲线异支焦点弦三角形周长
【结论3】如图，F1 , F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C右支、左支分别交于A , B两点，且AB=m，则焦点弦三角形F1AB的周长：CΔF1AB=m+mm+2b2a．
证明：令AF2=u , BF2=v，则AF1=2a+u , BF1=v-2a，ΔF1AB的半周长s=v，由秦九韶—海伦公式得SΔFAB=ss-ABs-AF1s-BF1=2am-2auv．
又cs∠AF2F1=cs∠BF2F1，由余弦定理推论，得u2+4c2-2a+u22u⋅2c=v2+4c2-v-2a22v⋅2c，
∴b2-auu=b2+avv , ∴b2u-b2v=2a , ∴uv=b2v-u2a=b2m2a，将u=v-m代入uv=b2m2a，得v-mv=b2m2a，解这个关于v的一元二次方程，得v=12m+mm+2b2a．又ΔF1AB的半周长s=v，因此异支焦点弦三角形F1AB的周长CΔF1AB=m+mm+2b2a．
二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式
设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A , B两点，不妨设AF>BF，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线半通径为p=b2a，则
AF=p1-ecsθ , BF=p1-ecsθ+π=p1+ecsθ , ∴AB=AF+BF=2p1-e2cs2θ，
即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：
AF=p1-ecsθ , BF=p1+ecsθ , ∴AB=2p1-e2cs2θ①.
二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：
（1）F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A , B两点，则AB=2ab2a2-c2cs2θ=2p1-e2cs2θp=b2a；
（2）F1 , F2为椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A , B两点，则AB=2ab2a2-c2sin2θ=2p1-e2sin2θp=b2a．
说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB=2b2a．
圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：
设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A , B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p=2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=2p1-e2cs2θ焦点在x轴上2p1-e2sin2θ焦点在y轴上．
二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1）F1 , F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于A , B两点，则AB=2ab2a2-c2cs2θ=2p1-e2cs2θp=b2a．
（2）F1 , F2为双曲线C:y2a2-x2b2=1a>0 , b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于A , B两点，则AB=2ab2a2-c2sin2θ=2p1-e2sin2θp=b2a．
说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p=2b2a．
圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：
设直线l过圆锥曲线焦点F且交圆锥曲线于A , B两点，若已知直线l倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p=2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=2p1-e2cs2θ焦点在x轴上2p1-e2sin2θ焦点在y轴上．
二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB=2psin2θ焦点在x轴上2pcs2θ焦点在y轴上．
2.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A,B两点，则：yAyB=-p2,xAxB=p24.(焦点在y轴上的性质对比给出.)
引伸：M(a,0)(a>0)在抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上，过M的直线交抛物线于两点.
Ax1,y1,Bx2,y2,y1,y2=-2pa (定值).
3.|AB|=2psin2α(α是直线AB与焦点所在轴的夹角)=x1+x2+p (焦点在csθ=λ-1λ+1轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p)最短.
4.AF=λBF，则有csθ|=|λ-1λ+1|,AF=p1-csθ，BF=p1+csθ (θ 为直线与焦点所在轴的夹角).
一．椭圆的焦半径及其应用：
1.焦半径公式：Px0，y0是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，F1 , F2是左、右焦点， e椭圆的离心率是则, PF1=a+ex0, PF2=a-ex0，
Px0，y0是椭圆y2a2+x2b2=1（a>b>0）上一点，F1 , F2是上、下焦点， e椭圆的离心率是则, PF1=a-ey0, PF2=a+ey0，
2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：
（1）椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点弦长公式：
AB=2a+exA+xB（过左焦点）； AB=2a-exA+xB（过右焦点），即AB=2a-exA+xB；
（2）椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点弦长公式：
AB=2a-eyA+yB（过上焦点）；AB=2a+eyA+yB（过下焦点），即AB=2a-eyA+yB．
二．双曲线的焦半径及其应用：
1:定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.
2.当点P在双曲线上时的焦半径公式，(其中F1 为左焦点，F2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a是实半轴长，e是离心率，x0是P点的横坐标.
当焦点在x轴，P在左支时： PF1=-（ex0+a）, PF2=-（ex0-a）.
当焦点在x轴，P在右支时： PF1=ex0+a, PF2=ex0-a.
当焦点在y轴: P在上支时：PF1=ey0+a, PF2=ey0-a
当焦点在y轴: P在下支时：PF1=-（ey0+a）, PF2=-（ey0-a）
三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：
同支弦AB=exA+xB-2a=2ab21+k2a2k2-b2；异支弦AB=2a-exA+xB=2ab21+k2b2-a2k2，统一为：AB=exA+xB-2a=2ab21+k2a2k2-b2；
（2）双曲线y2a2-x2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：
同支弦AB=eyA+yB-2a；异支弦AB=2a-eyA+yB，统一为：AB=eyA+yB-2a．
抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线y2=2pxp>0的焦点弦长公式：AB=p+xA+xB；
（2）抛物线y2=-2pxp>0的焦点弦长公式：AB=p-xA+xB；
（3）抛物线x2=2pyp>0的焦点弦长公式：AB=p+yA+yB；
（4）抛物线x2=-2pyp>0的焦点弦长公式：AB=p-yA+yB．
1.点F是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ(0,π2)，k为直线AB的斜率，且AF=λFB（λ>0），则e=1+k2|λ-1λ+1|
当曲线焦点在y轴上时，e=1+1k2|λ-1λ+1|
注：λ=AFBF或者 λ=BFAF,而不是AFAB或者BFAB点F是双曲线焦点，
2.过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ(0,π2)，k为直线AB斜率，且AF=λFB（λ>0），则e=1+k2|λ-1λ+1|
当曲线焦点在y轴上时，e=1+1k2|λ-1λ+1|