重难点专题05 与几何意义有关的函数问题-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题05与几何意义有关的函数问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144417287" 题型1类比斜率 PAGEREF _Tc144417287 \h 1
\l "_Tc144417288" 题型2类比两点间距离 PAGEREF _Tc144417288 \h 5
\l "_Tc144417289" 题型3类比点到直线距离 PAGEREF _Tc144417289 \h 11
\l "_Tc144417290" 题型4类比直线与曲线的位置关系 PAGEREF _Tc144417290 \h 15
\l "_Tc144417291" 题型5类比和差距离问题 PAGEREF _Tc144417291 \h 18
\l "_Tc144417292" 题型6绝对值中的距离问题 PAGEREF _Tc144417292 \h 19
\l "_Tc144417293" 题型7两曲线间点的距离 PAGEREF _Tc144417293 \h 20
题型1类比斜率
【例题1】（2020秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知fx是定义在R上的增函数，函数y=fx−1的图象关于点1,0对称，若实数m，n满足等式fn−3+f4m−m2−3=0，则nm的取值范围是（ ）
A．2−233,2+233B．1,2+233
C．2−233,3D．1,3
【答案】C
【分析】由函数fx是递增函数，且y=fx−1的图象关于点1,0对称，可得函数fx是奇函数，
再结合fn−3+f4m−m2−3=0可得n−3+4m−m2−3=0，进而利用数形结合求出结果．
【详解】fx是定义在R上的增函数，且函数y=fx−1的图象关于点1,0对称，
所以函数fx是奇函数；
又fn−3+f4m−m2−3=0，
所以n−3+4m−m2−3=0，且4m−m2−3≥0；
即m−22+n−32=11≤m≤32≤n≤3，
画出不等式组表示的图形，如图所示，
所以nm表示圆弧上的点m,n与点0,0连线的斜率，
所以结合图象可得：nm的最大值是直线OA的斜率，为3−01−0=3，
最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，
则n=kmm−22+n−32=1，
消去n，得m−22+km−32=1，
整理得k2+1m2−6k+4m+12=0，
令Δ=6k+42−4×12×k2+1=0，
化简得3k2−12k+8=0，
解得k=2±233，
应取k=2−233为最小值；
所以nm的取值范围是：2−233,3．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想．解题分两部分，一部分是由函数单调性与奇偶性化fn−3+f4m−m2−3=0为n−3+4m−m2−3=0，第二部分收(m,n)构成点，用几何意义来解释此条件，用几何意义来理解nm．从而达到求解的目的．
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=sinx−13−2csx−2sinx(x∈[0,2π])的最小值是（ ）
A．−22B．−1C．−2D．−3
【答案】B
【分析】对fx变形，得到f(x)=−11+(1−csx1−sinx) 2，当sinx≠1时，利用g(x)=1−csx1−sinx的几何意义求解其取值范围，进而得到−1⩽f(x)0；
故gx在0,1上为减函数，在1,+∞为增函数，故gx的最小值为g1=18.
故C−2,3到曲线y=lnx上的点的距离最小值为32，
而圆C的半径为2，故圆C上的点到曲线y=lnx上的点的距离最小值为22，
故(x−a)2+(lnx−b)2的最小值 为222=8.
故答案为：8.

【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.
【变式2-1】2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）不等式ea−b2+a−b−12≥m2−m对任意实数a，b恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】[−1,2]
【分析】设P(a,ea),Q(b+1,b)，则可得PQ2≥m2−m，而P,Q分别在曲线f(x)=ex和直线y=x−1上，将直线y=x−1平移恰好与曲线f(x)=ex相切时，可求出PQ的最小值，从而可解关于m的不等式可得答案.
【详解】由题意设P(a,ea),Q(b+1,b)，则PQ2=ea−b2+a−b−12，所以PQ2≥m2−m，
因为P,Q分别在曲线f(x)=ex和直线y=x−1上，
所以将直线y=x−1平移恰好与曲线f(x)=ex相切时，切点到直线y=x−1的距离最小，此时PQ最小，
设切线为y=x+m，切点为(x0,y0)，则f(x)=ex，得f'(x)=ex，
所以ex0=1，得x0=0，则y0=1，
所以PQ的最小值为点(0,1)到直线y=x−1的距离d，d=−1−12=2，
即PQ的最小值为2，
所以2≥m2−m，即m2−m−2≤0，解得−1≤m≤2，
所以实数m的取值范围是[−1,2]，
故答案为：[−1,2]
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为P(a,ea),Q(b+1,b)，PQ2≥m2−m，进一步转化为曲线f(x)=ex上的点和直线y=x−1的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.
【变式2-1】3. （2021•南京一模）若实数x、y满足x−4y=2x−y，则x的取值范围是 .
【答案】{0}∪[4,20]
【详解】令y=a,x−y=ba、b≥0，此时，x=y+x−y=a2+b2，
且题设等式化为a2+b2−4a=2b.
于是，a、b满足方程a−22+b−12=5a、b≥0.
如图，在aOb平面内，点a,b的轨迹是以D1,2为圆心、5为半径的圆在a、b≥0的部分，即点O与弧ACB并集.
故a2+b2∈0∪2,25.
从而，x=a2+b2∈0∪4,20.
【变式2-1】4.记Z=(x−y)2+(2x+y2)2(x≠0，x，y∈R)，则Z的最小值是 .
【答案】165
【分析】根据题意，可知Z=(x−y)2+(2x+y2)2表示点A(x,2x)，B(y,−y2)两点之间距离的平方，得出点A的轨迹方程是y=2x，点B的轨迹方程是y=−x2，设平行于y=−x2且与y=2x相切的直线方程为y=−x2+b，联立方程组并结合Δ=0求出b的值，得出切线方程为y=−x2+2或y=−x2−2，从而可知A(x,2x)，B(y,−y2)两点之间距离的最小值即为两平行直线y=−x2与y=−x2+2间的距离，最后利用两平行线间的距离即可得出结果.
【详解】解：Z=(x−y)2+(2x+y2)2表示点A(x,2x)，B(y,−y2)两点之间距离的平方，
点A的轨迹方程是y=2x，点B的轨迹方程是y=−x2，
设平行于y=−x2且与y=2x相切的直线方程为y=−x2+b，
联立y=2xy=−x2+b，得x2−2bx+4=0，
由Δ=−2b2−4×1×4=0，解得：b=±2，
所以与y=2x相切的直线方程为y=−x2+2或y=−x2−2，
∴ A(x,2x)，B(y,−y2)两点之间距离的最小值，
即为两平行直线y=−x2与y=−x2+2间的距离，为214+1=45，
∴Z的最小值是452=165.
故答案为：165.
【变式2-1】5.（2020·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知y=f(x)是定义在R上的增函数，且y=f(x)的图像关于点(6,0)对称．若实数x,y满足不等式f(x2−6x)+f(y2−8y+36)≤0，则x2+y2的取值范围是 ．
【答案】[16,36]
【分析】根据函数y=f(x)的图像关于点(6,0)对称，得到f(x+6)=−f(6−x)，从而将f(x2−6x)+f(y2−8y+36)≤0转化为f(x2−6x)≤f(6−y2+8y−30)，利用函数y=f(x)的单调性得到(x−3)2+(y−4)2≤1，再利用圆的性质即可得到x2+y2的取值范围.
【详解】因为函数y=f(x)的图像关于点(6,0)对称，
所以f(x+6)=−f(6−x).
因为f(x2−6x)+f(y2−8y+36)≤0，
所以f(x2−6x)≤−f(y2−8y+36).
−f(y2−8y+36)=−f(y2−8y+30+6)=f(6−y2+8y−30).
所以f(x2−6x)≤f(6−y2+8y−30).
又因为函数y=f(x)是定义在R上的增函数，
所以x2−6x≤6−y2+8y−30.
整理得：(x−3)2+(y−4)2≤1.
因为x2+y2表示以(3,4)为圆心，r=1的圆上或圆内的点到(0,0)距离的平方.
所以(x2+y2)min=((3−0)2+(4−0)2−1)2=16，
(x2+y2)max=((3−0)2+(4−0)2+1)2=36.
所以x2+y2的取值范围是[16,36].
故答案为：[16,36]
【点睛】本题主要考查函数的对称性和单调性，同时考查了圆的性质，利用x2+y2的几何意义为解题的关键，属于难题.
题型3类比点到直线距离
【例题3】（2021秋•西湖区校级期末）函数y=csα+2sinαt−2t2−22tcsα+2t∈R,00，求x−y2+4lnx−x2−2y−12的最小值为（ ）
A．5B．55C．165D．455
【答案】C
【分析】根据x−y2+4lnx−x2−2y−12的几何意义构造函数，再转化为点到直线的距离问题即可.
【详解】问题可以转化为：Ax,4lnx−x2是函数y=4lnx−x2图象上的点，
By,2y+1是函数y=2x+1上的点，AB2=x−y2+4lnx−x2−2y−12.
当与直线y=2x+1平行且与fx的图象相切时，切点到直线y=2x+1的距离为AB的最小值.
f'x=4x−2x=2,x2+x−2=0,x=1，舍去负值，
又f1=−1，所以M1,−1到直线y=2x+1的距离即为AB的最小值.
ABmin=45，ABmin2=165.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解x−y2+4lnx−x2−2y−12的几何意义.
题型4类比直线与曲线的位置关系
【例题4】（2021秋•运城期中）直线y=kx−1与曲线y=−1−(x−2)2有两个不同的公共点，则k的取值范围是
【答案】k∈(0 , 13]
【详解】作直线y=kx−1与曲线y=−1−(x−2)2的图象如下,
，
直线m的斜率k=0+13−0=13,直线n的斜率k=0,
结合图象可以知道,k的取值范围是(0 , 13].故答案是:(0 , 13].
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式4-1】1.若关于x的方程x+b=3−4x−x2有解，则实数b的取值范围是 .
【答案】3⩽b⩽5+22
【分析】将方程变形，可得4x−x2=−x+3−b，等价于y=4x−x2与y=−x+3−b的图象有公共点，转化为半圆与直线的交点问题，画出图形，数形结合求出b的范围.
【详解】解：关于x的方程x+b=3−4x−x2有解等价于4x−x2=−x+3−b有解，
等价于y=4x−x2与y=−x+3−b的图象有公共点，
∵y=4x−x2等价于y2=4x−x2y⩾0，等价于(x−2)2+y2=4y⩾0，
其图象为(2,0)为圆心2为半径的圆的上半部分，
作图可得当平行直线y=−x+3−b介于两直线之间时满足题意，
易得直线m的截距为0，设直线n的截距为t，
由直线与圆相切可得直线x+y−t=0到点(2,0)的距离为2，
可得|2−t|2=2，解得t=2+22，或t=2−22（舍去），
∴0⩽b−3⩽2+22，解得3⩽b⩽5+22，
故答案为：3⩽b⩽5+22.
【变式4-1】2. （2022秋•吉州区校级期中）若方程1−x2x+a−1=0仅有一解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】−10时递增，且f(1)=2，可得m＝1，即切点为(1,0)，
圆心与切点的距离为d=(1+1)2+(0−2)2=22，
由此可得(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为(22−1)2=9−42．
故选：C．

【变式7-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知实数a,b,c,d满足a=eb−1，c=ln(d−1)，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．2
【答案】D
【分析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.
【详解】∵a=eb−1,c=lnd−1,∴a−c2+b−d2=eb−1−lnd−12+b−1−d−12 ，
令b−1=x1,d−1=x2 ，则a−c2+b−d2=ex1−lnx22+x1−x22，
其几何意义为点Ax1,ex1 与点Bx2,lnx2 之间距离的平方，
设fx=ex,gx=lnx ，则点A和B分别在fx 和gx 的图像上，如下图，
显然fx 和gx互为反函数，其图像关于y=x对称，
则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，
不妨设Bx,lnx ，则Alnx,x ，
AB2=2x−lnx2 ，设ℎx=x−lnx ，ℎ'x=1−1x=x−1x ，
当x>1,ℎ'x>0 ，02)图像上任意一点，点Q为圆x−e+1e+12+y2=1上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（ ）
A．1+e2(1+e)−eeB．2e2+1−ee
C．e2+1−eeD．e−e2−1e
【答案】A
【分析】先求P点到圆心的最小距离PM，令g(x)=PM2，利用导数求最小值，线段PQ的长度的最小值为PM的最小值减去圆的半径.
【详解】解：设P(x,lnx+e)，又圆x−e+1e+12+y2=1的圆心为Me+1e+1,0，
令g(x)=PM2=(x−e−1e−1)2+(lnx+e)2(x>2)，
g'(x)=2x−2(e+1e+1)+2ex+2lnxx(x>2)，．
令ℎ(x)=2x−2(e+1e+1)+2ex+2lnxx(x>2)，
ℎ'(x)=2−2ex2+21−lnxx2=2(x2+1−lnx−e)x2(x>2)，
令φ(x)=x2+1−lnx−e(x>2)，
φ'(x)=2x−1x=2x2−1x，x>2时，φ'(x)>0，
φ(x)=x2+1−lnx−e在2,+∞上单调递增，φ(x)>φ(2)=4+1−ln2−e>0，即ℎ'(x)>0
所以ℎ(x)在2,+∞上单调递增，即g'(x)在2,+∞上单调递增，而g'e=0．
g'(x)