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新高考数学【热点·重点·难点】专练 重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型，文件包含重难点2-1函数值域的常见求法8大题型原卷版docx、重难点2-1函数值域的常见求法8大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
重难2-1 函数值域的求法8大题型
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法
1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；
2、逐层法：求型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；
3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域；
4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
（1）或的结构，可用“”换元；
（2）（均为常数，），可用“”换元；
（3）型的函数，可用“”或“”换元；
5、分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域；
6、基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②（或）为定值； = 3 \* GB3 ③取等号的条件为，三个条件缺一不可；
7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）
（1）形如的函数可用函数单调性求值域；
（2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；
当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。
8、函数的有界性法：形如（或）（其中不为0）的函数求值域或最值，可用表示出（或），再根据且（或且），列出关于的取值范围.
类似地，有： = 1 \* GB3 ①，则； = 2 \* GB3 ②，则； = 3 \* GB3 ③，则
9、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。
10、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
二、根据最值条件求解参数范围解题思路
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的求法，得到函数的最值（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。
【题型1 单调性法求函数值域或最值】
【例1】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）函数在区间上的最小值是（ ）
A．- B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】在区间单调递减， 在区间也单调递减，
所以在区间单调递减，因此，故选：A
【变式1-1】（2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知函数，则的值域是_____.
【答案】
【解析】由已知，可得，即函数为偶函数.
又时，为增函数，为增函数，
所以，为上的增函数，则
所以，的值域是.
【变式1-2】（2022春·浙江舟山·高三校考开学考试）已知，则函数（ ）
A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值
【答案】C
【解析】时，，
因为在上递减，在上单调递减，
函数是定义域上的单调增函数，
且，其值域是；
所以函数无最大、最小值．故选：C
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为______.
【答案】0
【解析】由，且，
∴令，，
即在为单调递增，为单调递减，而为增函数，
∴在上单调递增，上单调递减，.
【变式1-4】（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知函数是上的偶函数
（1）求实数的值，判断函数在,上的单调性；
（2）求函数在,上的最大值和最小值．
【答案】（1），单调递增；（2）最小值，最大值
【解析】（1）若函数是上的偶函数，则，
即，解得，
所以，函数在上单调递减．
（2）由（1）知函数在上单调递减，
又函数是上的偶函数，
所以函数在,上为增函数，
所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．
又
所以
【变式1-5】（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）已知函数（，且）的图象经过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数的值域
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，，而，解得，即有，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，
因函数和在上都单调递增，
因此函数在上单调递增，，
所以函数的值域为.
【题型2 配方法求函数值域或最值】
【例2】（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习）函数的值域是_____.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
化简得：，解得：，
所以函数的值域为.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.故选：D
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_______．
【答案】2
【解析】设，则，
所以原函数可化为：，
由二次函数性质，当时，函数取最大值2.
【变式2-3】（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，
即，
由，则.故选：A.
【变式2-4】（2022秋·北京·高三校考阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为-2 B．偶函数，且最小值为-2
C．非奇非偶函数，且最小值为 D．非奇非偶函数，且最大值为
【答案】C
【解析】，其定义域为，
，故函数为非奇非偶函数，
令，则，则，
易知，故选：C.
【变式2-5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________.
【答案】 0
【解析】函数，因对任意非零实数x，均满足，
则，有，
即，
由等式两边展开式最高次项系数得：，即，
当时，，解得，经检验得，，，
对任意非零实数x成立，
因此，
，
，当即时，，
所以的值为0，函数的最小值为.
【题型3 分离常数法求函数值域或最值】
【例3】（2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，
可得，，
，故.故选：B.
【变式3-1】（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为________．
【答案】
【解析】由，可得且，函数的定义域为且，
，
所以且，
所以函数的值域为．
【变式3-2】（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知，则的最小值___________，此时___________.
【答案】 ##
【解析】，
由，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
【变式3-3】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
，
令，
由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以.
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若在是增函数，求实数的取值范围；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），令，则，由可得，
由条件可知在是增函数.
当时，结论显然成立；当时，则，∴.
综上，的取值范围为.
（2）由可得，
因为，所以，所以，
令，则，，
因为，所以，∴，
所以的范围是.
【题型4 判别式法求函数值域或最值】
【例4】（2022秋·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）函数的值域是______．
【答案】
【解析】由题知函数的定义域为，
所以，将整理得，
所以，当时，；
当时，，解得，
所以，，即函数的值域是
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【解析】由题可得，，令，则，
即，当，即时，；
当，即时，要使方程有解，
则需，得.
综上，
【变式4-4】（2021·全国·高三专题练习）求函数的最小值.
【答案】.
【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..①
又，即，
对①式两边平方，得.
整理，得.②
对②式两边平方，得，
再整理，得.③
，x为实数，，
化简并整理，得，
即，
又，，，
当时，方程③为，即，
解得，故函数的最小值为.
解法二：
令，，，则
点A关于x轴的对称点为.
则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当、P、B三点共线时取“等号”）.
【题型5 逐层法求函数值域或最值】
【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，
所以，．
因为，所以，故．
因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，
即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
【变式5-1】（2022春·江苏南京·高三统考开学考试）已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】记，则，
所以，且，所以最大为.故选：B.
【变式5-2】（2021秋·安徽六安·金寨县青山中学高三开学考）函数的最小值是_______.
【答案】
【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]．
原函数化为g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，
当t=1时，g（t）有最小值，即f（x）有最小值为-4．
【变式5-3】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知函数，，则函数的值域为_________.
【答案】
【解析】由题得，
设，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以.
所以函数的值域为，
所以
所以.
【题型6 导数法求函数值域或最值】
【例6】（2022·陕西宝鸡·统考一模）函数，的值域是______.
【答案】
【解析】由题意，在中，
，
∴函数在单调递增
∵，
∴函数，的值域是
【变式6-1】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）函数的最小值为_________．
【答案】2
【解析】令，则，令，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
故，则.
因为，所以
当且仅当时等号成立，因此的最小值为2．
【变式6-2】（2022秋·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数,则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知,定义域为,
,
∴在定义域上为偶函数,
则当时,,
,
,
,∴在单调递减,
在定义域上为偶函数,
∴在单调递增,
∴在单调递增,在单调递减,
,
故在上的值域为.故选:D
【变式6-3】（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考三模）已知函数，则函数的最大值与最小值的差是______.
【答案】
【解析】令，则，且，
则，
∵在时恒成立，
故在上为增函数，
故函数的最大值与最小值的差.
【题型7 已知函数的最值求参数】
【例7】（2022·浙江杭州·模拟预测）的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，令，得，
则在上单调递减，上单调递增，
即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，
令，则在上恒成立
当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，所以，故选：A.
【变式7-1】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若时，，；
若时，当时，单调递增，
当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，
当时，，
若函数有最小值，需或，解得.故选：B
【变式7-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
【答案】3
【解析】∵函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数.
【变式7-3】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知函数，，且的最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，即，且，∴，，
即.
∴，（当时也成立），
令，，，，则，
∵，且
∴由，可得，即，
又在上单调递增，
∴，∴.故选：A．
【变式7-4】（2022·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为是定义域为的奇函数，且当时，．
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，
当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；
，，函数单调递增，
时，函数取得最小值，解得，
综上，．故选：D．
【变式7-5】（2022秋·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知，函数的最大值为，则实数的值为_____.
【答案】1
【解析】，，
两边平方得：，
即，
再平方得：，
化简得：，
当，即时，，
此时最大值为，不符题意.
所以.
因为方程有解，所以，
即，
化简得：，因为，所以，
又因为的最大值为，所以，所以.
故答案为：.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
从而可知函数的值域为.故选：C
2．（2019秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，
所以函数的值域为.故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，
所以，所以
所以，即，综合得，，
故最小值为：.故选：B.
4．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，定义域为，且
令，，
利用对勾函数的性质知，当时，函数单减；当时，函数单增；
，即，
又，所以函数的值域为，故选：C
5．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为
，
所以函数的值域为.故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以，，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的值域是，故选：D
8．（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在定义域内单调递减，
所以在定义域内单调递增，
故当时，，得.故选：B
9．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校阶段练习）函数在上的值域为____．
【答案】
【解析】在上为增函数，
则在上的最小值为，最大值为，即．
10．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）函数的值域为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
因为所以，所以
所以函数值域为．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．
【答案】
【解析】因为，令，则，则，
所以，，
所以在上单调递增，所以，即的值域为.
12．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是_________.
【答案】
【解析】由函数可知
所以，整理得：
当时，，符合；
当时，则关于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且，解得：，
综上得：.
13．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）函数的值域是__________．
【答案】
【解析】，
由，解得，
令，即，
将函数的值域转化为
与有交点时的t的取值范围，
在同一坐标系中作函数与的图象如图所示：
由图象知：当直线与半圆相切时，t最小，
此时，解得，由图象知，
当直线过点时，t最大，此时，
所以，即的值域是，
14．（2022秋·江西萍乡·高三芦溪中学校考开学考试）函数的值域为________.
【答案】
【解析】由题得且.
因为, 且.
所以原函数的值域为.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为_____.
【答案】.
【解析】因为，
令，则，，
令，解得，
当时，在上是减函数；
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
又，，
由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线对称，则的最大值为______．
【答案】16
【解析】由可得或，即,是函数的零点，
的图象关于直线对称,
故关于对称的点和也是函数的零点，
故0,4是的根，
故由韦达定理可得,
所以,
所以,
令可得或或，
当或,此时函数单调递减，
当或时,,此时函数单调递增,
故函数最大值为.
17．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】
【解析】由，且，解得，故该函数的定义域为，
又该函数在定义域内单调递减，
所以当时，函数取得最小值，.
18．（2022·全国·高三专题练习）求值域(用区间表示)：
（1），①；②；
（2）；
（3）.
【答案】（1）①[7，28]；②[3，12]；（2）；（3）(∞，1)∪(1，+∞)
【解析】（1），
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
（2）令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（3），
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
19．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）已知是奇函数.
（1）求a的值；
（2）求的值域.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）因为，
所以
又是奇函数，所以，
即，则
（2）由（1）可知，，，
当时，，当且仅当时，等号成立.
又是奇函数，所以的值域为
20．（2022·河南开封·统考一模）已知函数，.
（1）若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得：恒成立，
即恒成立，又的最小值为-2，所以，
则有.
（2）当时，，
所以，
令，在上单调递减，
又因为，，
所以存在使得，即，从而
则有
则最大值为：，
所以，
则在上单调递减，所以最小值为.x
正
负
递增
递减
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
重难2-1 函数值域的求法8大题型
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法
1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；
2、逐层法：求型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；
3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“”或“”的函数均可用配方法求值域；
4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
（1）或的结构，可用“”换元；
（2）（均为常数，），可用“”换元；
（3）型的函数，可用“”或“”换元；
5、分离常数法：形如的函数，应用分离常数法求值域，即，然后求值域；
6、基本不等式法：形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②（或）为定值； = 3 \* GB3 ③取等号的条件为，三个条件缺一不可；
7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）
（1）形如的函数可用函数单调性求值域；
（2）形如的函数，当时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；
当时，在和上为单调函数，可直接利用单调性求解。
8、函数的有界性法：形如（或）（其中不为0）的函数求值域或最值，可用表示出（或），再根据且（或且），列出关于的取值范围.
类似地，有： = 1 \* GB3 ①，则； = 2 \* GB3 ②，则； = 3 \* GB3 ③，则
9、判别式法：形如或的函数求值域，可将函数转化为关于的方程，利用二次项系数不为0，判别式或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。
10、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
二、根据最值条件求解参数范围解题思路
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的求法，得到函数的最值（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。
【题型1 单调性法求函数值域或最值】
【例1】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）函数在区间上的最小值是（ ）
A．- B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】在区间单调递减， 在区间也单调递减，
所以在区间单调递减，因此，故选：A
【变式1-1】（2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知函数，则的值域是_____.
【答案】
【解析】由已知，可得，即函数为偶函数.
又时，为增函数，为增函数，
所以，为上的增函数，则
所以，的值域是.
【变式1-2】（2022春·浙江舟山·高三校考开学考试）已知，则函数（ ）
A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值
【答案】C
【解析】时，，
因为在上递减，在上单调递减，
函数是定义域上的单调增函数，
且，其值域是；
所以函数无最大、最小值．故选：C
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为______.
【答案】0
【解析】由，且，
∴令，，
即在为单调递增，为单调递减，而为增函数，
∴在上单调递增，上单调递减，.
【变式1-4】（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知函数是上的偶函数
（1）求实数的值，判断函数在,上的单调性；
（2）求函数在,上的最大值和最小值．
【答案】（1），单调递增；（2）最小值，最大值
【解析】（1）若函数是上的偶函数，则，
即，解得，
所以，函数在上单调递减．
（2）由（1）知函数在上单调递减，
又函数是上的偶函数，
所以函数在,上为增函数，
所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．
又
所以
【变式1-5】（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）已知函数（，且）的图象经过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数的值域
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，，而，解得，即有，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，
因函数和在上都单调递增，
因此函数在上单调递增，，
所以函数的值域为.
【题型2 配方法求函数值域或最值】
【例2】（2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习）函数的值域是_____.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
化简得：，解得：，
所以函数的值域为.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.故选：D
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为_______．
【答案】2
【解析】设，则，
所以原函数可化为：，
由二次函数性质，当时，函数取最大值2.
【变式2-3】（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，
即，
由，则.故选：A.
【变式2-4】（2022秋·北京·高三校考阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为-2 B．偶函数，且最小值为-2
C．非奇非偶函数，且最小值为 D．非奇非偶函数，且最大值为
【答案】C
【解析】，其定义域为，
，故函数为非奇非偶函数，
令，则，则，
易知，故选：C.
【变式2-5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________.
【答案】 0
【解析】函数，因对任意非零实数x，均满足，
则，有，
即，
由等式两边展开式最高次项系数得：，即，
当时，，解得，经检验得，，，
对任意非零实数x成立，
因此，
，
，当即时，，
所以的值为0，函数的最小值为.
【题型3 分离常数法求函数值域或最值】
【例3】（2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，
可得，，
，故.故选：B.
【变式3-1】（2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为________．
【答案】
【解析】由，可得且，函数的定义域为且，
，
所以且，
所以函数的值域为．
【变式3-2】（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知，则的最小值___________，此时___________.
【答案】 ##
【解析】，
由，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
【变式3-3】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
，
令，
由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以.
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若在是增函数，求实数的取值范围；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），令，则，由可得，
由条件可知在是增函数.
当时，结论显然成立；当时，则，∴.
综上，的取值范围为.
（2）由可得，
因为，所以，所以，
令，则，，
因为，所以，∴，
所以的范围是.
【题型4 判别式法求函数值域或最值】
【例4】（2022秋·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）函数的值域是______．
【答案】
【解析】由题知函数的定义域为，
所以，将整理得，
所以，当时，；
当时，，解得，
所以，，即函数的值域是
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【解析】由题可得，，令，则，
即，当，即时，；
当，即时，要使方程有解，
则需，得.
综上，
【变式4-4】（2021·全国·高三专题练习）求函数的最小值.
【答案】.
【解析】解法一：函数的定义域为一切实数..①
又，即，
对①式两边平方，得.
整理，得.②
对②式两边平方，得，
再整理，得.③
，x为实数，，
化简并整理，得，
即，
又，，，
当时，方程③为，即，
解得，故函数的最小值为.
解法二：
令，，，则
点A关于x轴的对称点为.
则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当、P、B三点共线时取“等号”）.
【题型5 逐层法求函数值域或最值】
【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，
所以，．
因为，所以，故．
因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，
即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．
【变式5-1】（2022春·江苏南京·高三统考开学考试）已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】记，则，
所以，且，所以最大为.故选：B.
【变式5-2】（2021秋·安徽六安·金寨县青山中学高三开学考）函数的最小值是_______.
【答案】
【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]．
原函数化为g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，
当t=1时，g（t）有最小值，即f（x）有最小值为-4．
【变式5-3】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知函数，，则函数的值域为_________.
【答案】
【解析】由题得，
设，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以.
所以函数的值域为，
所以
所以.
【题型6 导数法求函数值域或最值】
【例6】（2022·陕西宝鸡·统考一模）函数，的值域是______.
【答案】
【解析】由题意，在中，
，
∴函数在单调递增
∵，
∴函数，的值域是
【变式6-1】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）函数的最小值为_________．
【答案】2
【解析】令，则，令，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
故，则.
因为，所以
当且仅当时等号成立，因此的最小值为2．
【变式6-2】（2022秋·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数,则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知,定义域为,
,
∴在定义域上为偶函数,
则当时,,
,
,
,∴在单调递减,
在定义域上为偶函数,
∴在单调递增,
∴在单调递增,在单调递减,
,
故在上的值域为.故选:D
【变式6-3】（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考三模）已知函数，则函数的最大值与最小值的差是______.
【答案】
【解析】令，则，且，
则，
∵在时恒成立，
故在上为增函数，
故函数的最大值与最小值的差.
【题型7 已知函数的最值求参数】
【例7】（2022·浙江杭州·模拟预测）的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，令，得，
则在上单调递减，上单调递增，
即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，
令，则在上恒成立
当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，所以，故选：A.
【变式7-1】（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若时，，；
若时，当时，单调递增，
当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，
当时，，
若函数有最小值，需或，解得.故选：B
【变式7-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
【答案】3
【解析】∵函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数.
【变式7-3】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知函数，，且的最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，即，且，∴，，
即.
∴，（当时也成立），
令，，，，则，
∵，且
∴由，可得，即，
又在上单调递增，
∴，∴.故选：A．
【变式7-4】（2022·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为是定义域为的奇函数，且当时，．
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，
当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；
，，函数单调递增，
时，函数取得最小值，解得，
综上，．故选：D．
【变式7-5】（2022秋·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知，函数的最大值为，则实数的值为_____.
【答案】1
【解析】，，
两边平方得：，
即，
再平方得：，
化简得：，
当，即时，，
此时最大值为，不符题意.
所以.
因为方程有解，所以，
即，
化简得：，因为，所以，
又因为的最大值为，所以，所以.
故答案为：.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
从而可知函数的值域为.故选：C
2．（2019秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，
所以函数的值域为.故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，
所以，所以
所以，即，综合得，，
故最小值为：.故选：B.
4．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，定义域为，且
令，，
利用对勾函数的性质知，当时，函数单减；当时，函数单增；
，即，
又，所以函数的值域为，故选：C
5．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，又函数的值域为R，
则，解得．故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为
，
所以函数的值域为.故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以，，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的值域是，故选：D
8．（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在定义域内单调递减，
所以在定义域内单调递增，
故当时，，得.故选：B
9．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校阶段练习）函数在上的值域为____．
【答案】
【解析】在上为增函数，
则在上的最小值为，最大值为，即．
10．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）函数的值域为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
因为所以，所以
所以函数值域为．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为___________．
【答案】
【解析】因为，令，则，则，
所以，，
所以在上单调递增，所以，即的值域为.
12．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是_________.
【答案】
【解析】由函数可知
所以，整理得：
当时，，符合；
当时，则关于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且，解得：，
综上得：.
13．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）函数的值域是__________．
【答案】
【解析】，
由，解得，
令，即，
将函数的值域转化为
与有交点时的t的取值范围，
在同一坐标系中作函数与的图象如图所示：
由图象知：当直线与半圆相切时，t最小，
此时，解得，由图象知，
当直线过点时，t最大，此时，
所以，即的值域是，
14．（2022秋·江西萍乡·高三芦溪中学校考开学考试）函数的值域为________.
【答案】
【解析】由题得且.
因为, 且.
所以原函数的值域为.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为_____.
【答案】.
【解析】因为，
令，则，，
令，解得，
当时，在上是减函数；
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
又，，
由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线对称，则的最大值为______．
【答案】16
【解析】由可得或，即,是函数的零点，
的图象关于直线对称,
故关于对称的点和也是函数的零点，
故0,4是的根，
故由韦达定理可得,
所以,
所以,
令可得或或，
当或,此时函数单调递减，
当或时,,此时函数单调递增,
故函数最大值为.
17．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】
【解析】由，且，解得，故该函数的定义域为，
又该函数在定义域内单调递减，
所以当时，函数取得最小值，.
18．（2022·全国·高三专题练习）求值域(用区间表示)：
（1），①；②；
（2）；
（3）.
【答案】（1）①[7，28]；②[3，12]；（2）；（3）(∞，1)∪(1，+∞)
【解析】（1），
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
（2）令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（3），
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
19．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）已知是奇函数.
（1）求a的值；
（2）求的值域.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）因为，
所以
又是奇函数，所以，
即，则
（2）由（1）可知，，，
当时，，当且仅当时，等号成立.
又是奇函数，所以的值域为
20．（2022·河南开封·统考一模）已知函数，.
（1）若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知可得：恒成立，
即恒成立，又的最小值为-2，所以，
则有.
（2）当时，，
所以，
令，在上单调递减，
又因为，，
所以存在使得，即，从而
则有
则最大值为：，
所以，
则在上单调递减，所以最小值为.x
正
负
递增
递减
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