重难点专题03 根号型函数十二大值域问题汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题03根号型函数十二大值域问题汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144339875" 题型1单根式换元法 PAGEREF _Tc144339875 \h 1
\l "_Tc144339876" 题型2单根式分离常数+基本不等式 PAGEREF _Tc144339876 \h 3
\l "_Tc144339877" 题型3单根式三角换元法 PAGEREF _Tc144339877 \h 3
\l "_Tc144339878" 题型4单根式平方法 PAGEREF _Tc144339878 \h 5
\l "_Tc144339879" 题型5单根式平方+判别式 PAGEREF _Tc144339879 \h 6
\l "_Tc144339880" 题型6单根式单调性（求导法） PAGEREF _Tc144339880 \h 6
\l "_Tc144339881" 题型7单根式几何意义法 PAGEREF _Tc144339881 \h 8
\l "_Tc144339882" 题型8双根式平方法 PAGEREF _Tc144339882 \h 12
\l "_Tc144339883" 题型9双根式几何意义法 PAGEREF _Tc144339883 \h 15
\l "_Tc144339884" 题型10双根式单调性 PAGEREF _Tc144339884 \h 18
\l "_Tc144339885" 题型11双根式三角换元 PAGEREF _Tc144339885 \h 19
\l "_Tc144339886" 题型12双根式双换元 PAGEREF _Tc144339886 \h 19
题型1单根式换元法
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）函数y=1+x−1−2x的值域为（ ）
A．−∞,32B．−∞,32C．32,+∞D．32,+∞
【答案】A
【分析】换元设1−2x=t，可得y=−12t+12+2，再结合t≥0与二次函数的范围求解即可.
【详解】设1−2x=t，则t≥0,x=1−t22，所以y=1+1−t22−t=12−t2−2t+3=−12t+12+2，因为t≥0，所以y≤32，所以函数y=1+x−1−2x的值域为−∞,32.
故选：A．
【变式1-1】1. （2019秋·吉林·高三辉南县第一中学校考阶段练习）函数fx=x−2x的值域为（ ）
A．−12,+∞B．2,+∞
C．−12,2D．−∞,−12
【答案】A
【分析】利用换元法，转化为求y=12t−12−12在0,+∞上的值域，利用单调性法即可求解.
【详解】令2x=tt≥0，则y=12t2−tt≥0，
所以y=12t−12−12在 0,1上单减，在1,+∞上单增，所以最小值为−12.
该函数的值域为−12,+∞．
故选：A．
【变式1-1】2.（2023·全国·高三对口高考）求函数y=x−1−2x的值域
【答案】最大值为12，无最小值，值域(−∞,12]
【分析】求得定义域，设1−2x=t∈[0,+∞)，将函数转化为关于t的二次函数，即可得出值域；
【详解】因为y=x−1−2x，所以1−2x≥0，解得x≤12，
故定义域为(−∞,12]，
设1−2x=t∈[0,+∞)，则x=1−t22，
所以y=1−t22−t=−12t2−t+12∈(−∞,12]，
所以值域为(−∞,12]．
【变式1-1】3. 求函数y=−x2−6x−5的值域
【答案】 [0,2]
【分析】令t=−x2−6x−5可得y=t，结合二次函数性质求得答案；
【详解】令t=−x2−6x−5,∴t≥0，则−5≤x≤−1，
而t=−x2−6x−5=−(x+3)2+4，则0≤t≤4，
故y=−x2−6x−5=t∈[0,2]，
即y=−x2−6x−5的值域为[0,2]；
题型2单根式分离常数+基本不等式
【例题2】求函数y=x+2x+1的值域.
【解析】法1：令t=x+1≥0，所以x=t2−1,则y=t2+1t=t+1t≥2.
法2：直接分离，利用基本不等式y=x+2x+1=x+1+1x+1=x+1+1x+1≥2.
题型3单根式三角换元法
【例题3】求函数y=x+1−x2的值域
【答案】[−1,2]
【分析】利用三角换元法，结合三角函数性质可求得答案；
【详解】令1−x=u,u≥0，则y=x+41−x=−u2+4u+1=−(u−2)2+5，
当u=2时，−(u−2)2+5取到最大值5，无最小值，
故y=x+41−x的值域为(−∞,5]；
【变式3-1】1. （2023·全国·高三专题练习）求函数y=x+4+5−x2的值域.
【答案】[4−5，4+10]
【分析】由题意令x=5csβ,β∈[0,π]，代入化简可得y=10sin(β+π4)+4，再由三角函数的性质即可得出答案.
【详解】由5−x2≥0,|x|≤5 ，可令x=5csβ,β∈[0,π]
原函数可整理为：y=5csβ+4+5sinβ=10sin(β+π4)+4
因为0≤β≤π ，所以π4≤β+π4≤5π4，则−22≤sin(β+π4)≤1，
当β=π4,ymax=4+10 ；当β=π,ymin=4−5，
所以函数y=x+4+5−x2的值域为[4−5,4+10].
【变式3-1】2. （2023·全国·高三专题练习）求函数y=x1−x2+x2的值域.
【答案】1−22,1+22
【分析】由题意可设x=sinα(|α|≤π2) ，则y=sinαcsα+sin2α，由二倍角的正弦、余弦公式化简函数，再由三角函数的性质即可得出答案.
【详解】因为函数y=x1−x2+x2的定义域为1−x2≥0，即−1≤x≤1，
设x=sinα(|α|≤π2) ，
原函数转化为：y=sinαcsα+sin2α=12sin2α+12(1−cs2α)=12+22sin(2α−π4)
因为|α|≤π2，所以−π2≤α≤π2，所以−5π4≤2α−π4≤3π4，
所以−1≤sin(2α−π4)≤1，所以1−22≤y≤1+22
所以函数y=x1−x2+x2的值域为[1−22,1+22].
故答案为：1−22,1+22.
【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）函数y=x−4−x2的值域为 ．
【答案】 −22,2
【分析】函数y=x−4−x2中用三角换元x=2csθ(θ∈[0,π])，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围．
【详解】由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x=2cs θ(θ∈[0，π])，
则y=2cs θ－4−4cs2θ=2cs θ－2sin θ
=22cs(θ+π4)，
因为θ+π4∈[π4,5π4]，
所以cs(θ+π4)∈−1,22，所以y∈[－22，2]．
故答案为：2；[−22,2]．
题型4单根式平方法
【例题4】函数fx=x2−3x+2+x的值域为 .
【答案】1,32∪[2,+∞).
【解析】令y-x=x2−3x+2,两边平方,用 y将x表示出来,结合y≥x可求出y的取值范围.
【详解】解:设y=x2−3x+2+x,则y-x=x2−3x+2所以y≥xx=y2−22y−3 ,即y≥y2−22y−3 整理得y2−3y+22y−3≥0.解得1≤y1时，y=a−ax为减函数，a−ax≥0，解得x≤1，因为函数y=fx=a−ax的定义域和值域都是[0,1]，故f0=a−1=1，f1=a−a=0，解得a=2，lg22=1；
当a∈0,1，y=a−ax为增函数，a−ax≥0，解得x≥1，不符合题意，
故a=2，lg22=1.
故选：D
【变式6-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=2sinx2+2csx2，则f(x)的最小正周期为 ；当x∈π3,π时，f(x)的值域为 .
【答案】 π 2,254
【分析】先根据函数周期性的定义说明π是函数f(x)=2sinx2+2csx2的一个周期，在利用导数说明函数的单调性，从而证明π是最小正周期；
根据函数f(x)=2sinx2+2csx2的单调性可求得最大值，再比较x∈π3,π时端点处的函数值大小，即可求得答案.
【详解】因为f(x+π)=2sinx+π2+2csx+π2=2sinx2+2csx2=f(x)，
故x=π为f(x)的一个周期,
而当x∈0,π时，f(x)=2sinx2+2csx2，
由题意可知f'(x)=2csx24sinx2−sinx24csx2=12sinxcsx232−sinx232，
令f'x=0，得csx2=sinx2，故x2=π4，x=π2，
因为当x∈0,π2时，f'x>0，当x∈π2,π时，f'x2>f(π)，故当x∈π3,π时，函数fx的值域为2,254,
故答案为：π；2,254
题型7单根式几何意义法
【例题7】（2022·全国·高三专题练习）函数y=1−x2x+2的值域是 ．
【答案】0，33
【分析】将1−x2x+2看作是单位圆上半部分的点Mx，y与A−2，0所连直线MA的斜率，即可通过数形结合讨论值域范围
【详解】设函数fx=1−x2x+2，令y=1−x2，则点Mx，y位于一个单位圆x轴的上半部分，如图所示．
将函数fx=1−x2x+2改写为fx=y−0x−−2，则表示定点A−2，0与点Mx，y所连直线MA的斜率．
当直线MA与上半单位圆相切时，在直角三角形MOA中，MO=1, OA=2, ∴∠MAO=30°，所以kMA=tan30°=33．又kAO=0，所以fx∈0，33．即函数y=1−x2x+2的值域为0，33．
【变式7-1】1. （2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）函数f(x)=2x−3−−x2+6x−8的值域是 ．
【答案】[3−5,5]
【分析】将函数f(x)=2x−3−−x2+6x−8的值域转化为y=1−x−32与y=2x−3−t有交点时的t的取值范围，利用数形结合法求解.
【详解】解：f(x)=2x−3−−x2+6x−8=2x−3−1−x−32，
由−x2+6x−8≥0，解得2≤x≤4，
令t=2x−3−1−x−32，即1−x−32=2x−3−t，
将函数f(x)=2x−3−−x2+6x−8的值域转化为y=1−x−32与y=2x−3−t有交点时的t的取值范围，
在同一坐标系中作函数y=1−x−32与y=2x−3−t的图象如图所示：
由图象知：当直线y=2x−3−t与半圆x−32+y2=1相切时，t最小，
此时3−t1+4=1，解得t=3±5，由图象知t=3−5，
当直线y=2x−3−t过点A4,0时，t最大，此时t=5，
所以t∈[3−5,5]，即f(x)的值域是[3−5,5]，
故答案为：[3−5,5]
【变式7-1】2. 函数fx=1−x2−1x−2的值域为（ ）
A.[- 43, 43] B. .[- 43, 0] C. [0, 1] D. [0, 43]
【答案】C
【答案】令x=csθ，θ∈[0,π]，则f(x)=g(θ)=sinθ−1csθ−2的几何意义是单位圆（在x轴及其上方）上的动点M（csθ，sinθ）与点A（2,1）连线的斜率k，由图像，得0≤k≤1，即函数f(x)的值域为[0,1],故选C
点睛：本题考查利用三角代换，直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用1−x2的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sinθ−1csθ−2的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析结合间的有机结合.
【变式7-1】3. 函数y=−x2+4x−3+3x+1的值域为 .
【答案】[34，9+178]
【分析】先根据条件求出x的范围，再令x﹣2=csθ，利用三角换元法结合三角函数的值域即可求出结论.
【详解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0⇒1≤x≤3.
令x﹣2=csθ 且θ∈[0，π]
∴y=−x2+4x−3+3x+1=sinθ+3csθ+3，表示两点（﹣3，﹣3）和（csθ，sinθ）的斜率，cs2θ+sin2θ=1,θ∈[0,π]，故点（csθ，sinθ）在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为−3−0−3−1=34，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率，sinθ−（−3）csθ−（−3）sinθcsθ=−1，化简得sinθ+csθ=−13，由sinθ+csθ=−13cs2θ+sin2θ=1,θ∈[0,π]−10，则x>3或x0,因为（7-x）+（9+x）=16,即7−x16+9+x16=1,令sinα=7−x16, csα=9+x16, α∈[0,π2],y4=sinα+csα=2sin⁡(α+π4),因为α∈0,π2，α+π4∈π4,3π4，1≤2sin⁡(α+π4)≤2，4≤y≤42所以值域为[4, 42]
【变式11-1】求函数y=x−1+4−2x的值域.
【解析】由题意得x∈[1,2],y>0，y=x−1+4−2x=x−1+22−x
,因为（x-1）+（2-x）=1 ,令sinα=x−1, csα=2−x, α∈[0,π2],y=csα+2sinα=3sin⁡(α+β),其中tan β=22,，1=3sin⁡(π2+β)≤3sin⁡(α+β)≤3，故1≤y≤3. 所以值域为[1,3]
题型12双根式双换元
【例题12】函数fx=2x−1+2−x的值域为______．
【答案】[62,322]
【解析】法1：构造一个与原函数定义域一致，在定义域上单调，且与原函数平方和为定常数的函数ℎx=−4−2x+x−12，即可利用所构造函数的值域求出fx的值域.
解：由己知得，fx=2x−1+2−x，x∈[12,2]，
构造函数ℎx=−4−2x+x−12，x∈[12,2]，则ℎx在[12,2]上单调递增，
即可得ℎx∈[−3,32]因为f2x+ℎ2x=92，所以f2x=92−ℎ2x∈[32,92]，所以fx∈[62,322]
故答案为：[62,322]
法2：令2x−1=a≥0, 2−x=b≥0,问题转化为a23+b232=1（a≥0，b≥0），求y= a+b的取值范围。如图，y= a+b过（0，62）时，y取得最小值62，b=−a+y,与椭圆相切时，y取得最大值322，故答案为：[62,322]
【变式12-1】求函数y=x−1+4−2x的值域
【解析】令x−1=a≥0, 4−2x=b≥0,问题转化为a2+b22=1（a≥0，b≥0），求y= a+b的取值范围。如图，y= a+b过（-1，0）时，y取得最小值1，b=−a+y,与椭圆相切时，y取得最大值3，故答案为：[1,3]
换元法解含有根号的函数需要注意x的范围
分式与根号结合可以分离参数，再利用基本不等式
可以写出a-x2的形式，可以使用三角换元
平方之后可以消去x2的式子，之后用y表示x，利用y与x的关系既可以求解值域
平方之后可以不能消去x2的式子，可以利用基本不等式。
判断根号函数的单调性，进而求解出值域
利用几何意义求解值域问题，擅长与解析几何的知识点进行结合
平方后可以消去未知数x即可.
双根式可以转化为两点间的距离公式，与解析几何进行结合求解.
通过直接判断函数的单调性，或者求导之后判断函数的单调性进行求解，需要注意求出函数的定义域。
三角换元，构造sin2θ+cs2θ=1，进行三角换元。
平方之后可以不能消去x2的式子，可以利用基本不等式。