第十四章 《整式的乘法与因式分解》单元检测卷（解析版）

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第十四章 《整式的乘法与因式分解》单元检测卷（解析版）一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分.）1．下列计算正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次计算判断．【详解】A、原式=2a4，正确；B、原式=a5，错误；C、原式=a12，错误；D、原式=a4，错误，故选A．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（   ）A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6【答案】D【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．【详解】解：0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而．故选D．3．下列多项式分解因式正确的是（   ）A．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）C．m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1） D．x2＋2xy﹣y2＝（x﹣y）2【答案】C【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案．【详解】A、a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；C、m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1），正确；D、x2＋2xy﹣y2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；故选：C．4 .计算等于（   ）A．1 B． C． D．4【答案】B【分析】逆用积的乘方，进行计算即可．掌握积的乘方法则，是解题的关键．【详解】解：；故选B．5．如图，边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，则 的值为（   ） A．48 B．64 C．80 D．96【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长公式和面积公式得到，再根据，代值计算即可．【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，∴，∴，故选D．6．如果a-b=3,ab=1,那么a2+b2的值等于（   ）A．11 B．9 C．7 D．8【答案】A【分析】先把a-b=3利用完全平方公式展开，然后再把ab=1代入计算即可求解．【详解】解：∵a-b=3，∴（a-b）2=9，∴a2-2ab+b2=9，∵ab=1，∴a2+b2=9+2×1=11．故选A．7．若，则的值为（   ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】把变形为，代入a+b=2后，再变形为2（a+b）即可求得最后结果．【详解】解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，=2（a-b）+4b，=2a-2b+4b，=2（a+b），=2×2，=4．故选：C．8．下图是老师出示的计算题，下列序号处的填写不正确的是（   ） A．①处填 B．②处填C．③处填 D．④处填【答案】D【分析】本题主要考查了整式混合运算，将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．【详解】解：，故选：．9 . 如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（   ）A．36 B．27 C．18 D．9【答案】B【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可．【详解】解：∵a+b=ab=9，∴S=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）=[（a+b）2-3ab]= ×（81-27）=27．故选B．10 . 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c，根据乙分解的结果求出b，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∵，∴，∵∴， ∴，，，故选：B．二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分。）11 .计算 ．【答案】【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，熟知零指数幂和负整数指数幂的计算法则是解题的关键，注意任何非零底数的零指数幂结果都为1．【详解】解；，故答案为：．12．因式分解： ．【答案】【分析】此题考查了多项式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：．13．若＝3，＝6，则＝__________．【答案】【分析】先逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方，再把已知等式代入计算即可求出值．【解析】= ，将＝3，＝6代入，原式=．故答案为：．14．若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝ ．【答案】﹣7【详解】∵x+y=1，xy=﹣7，∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7.15．已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ．【答案】2【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为2．16．已知，则____________．【答案】【分析】利用完全平方公式求出，再进行开方计算即可．【解析】解：=5-4=1∴．故答案为：．17．的结果是____________．【答案】【分析】将原式变形为，再利用平方差公式逐步计算即可．【解析】解：======故答案为：．18.材料：因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是 ．【答案】【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案．【详解】解：令，则原式，再将还原，原式，故答案为：．三．解答题（共8小题，满分58分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。）19 .计算：．【答案】6【分析】本题考查了实数的有关运算，涉及了零指数幂，负整指数幂以及乘方，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，求解即可．【详解】解：．20.计算（1）（﹣3xy）•（﹣4yz）（2）（2x﹣1）（3x+2）（3）﹣（a2b）3+2a2b•（﹣3a2b）2（4）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）【答案】（1）12xy2z（2）6x2+x﹣2（3）17a6b3（4）a2﹣4b2+4bc﹣c2【分析】（1）直接利用单项式乘单项式的运算法则计算即可；（2）直接利用多项式乘多项式的运算法则计算即可；（3）先算乘法再合并同类项即可；（4）利用平方差公式与完全平方公式计算合并即可.【详解】（1）（﹣3xy）•（﹣4yz）=12xy2z；（2）（2x﹣1）（3x+2）=6x2+4x﹣3x﹣2=6x2+x﹣2；（3）原式=﹣a6b3+2a2b•9a4b2=﹣a6b3+18a6b3=17a6b3（4）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]=a2﹣（2b﹣c）2=a2﹣（4b2﹣4bc+c2）=a2﹣4b2+4bc﹣c221．因式分解：(1)           (2)(3)    (4)【答案】(1)； (2) (b-1)(x+y)(x-y)；(3) (3x+y+2)(3x-y-2)；(4) y(y-2)2.【分析】(1)先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可.(2)变形之后，先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可.(3)先分组，然后用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可.(4) 先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可.【详解】(1)原式=； (2) 原式=，=，=； (3) 原式===(4) 原式=，=22．阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式：.解：原式== = == 上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式： .【答案】（y-1）(y-3)【详解】试题分析：根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．试题解析：= ==== 数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S阴影＝　 　；方法2：S阴影＝　 ． 由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？（3） ①已知（m+n）2＝16，mn＝3，请利用（2）中的等式，求m﹣n的值．②已知（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，请利用（2）中的等式，求mn的值． 解：（1）阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，故答案为：4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）① 由（2）得：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，∵（m+n）2＝16，mn＝3，∴16﹣（m﹣n）2＝12，解得：（m﹣n）2＝4，m﹣n＝±2；② 由（2）得：（2m+n）2﹣（2m﹣n）2＝8mn，∵（2m+n）2＝13，（2m﹣n）2＝5，∴13﹣5＝8mn，解得：mn＝1．一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为S1，将长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为S2．（1）请说明：S1与S2的差一定是7的倍数．（2）如果S1比S2大196cm2，求原长方形的周长．（3）如果一个面积为S1的长方形和原长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请找出x与y的关系，并说明理由．解：（1）证明：由题意得：S1＝（x+5）（y+5）＝xy+5（x+y）+25S2＝（x﹣2）（y﹣2）＝xy﹣2（x+y）+4∴S1﹣S2＝xy+5（x+y）+25﹣xy+2（x+y）﹣4＝7（x+y）+21＝7（x+y+3）∴S1与S2的差一定是7的倍数．（2）由题意得S1﹣S2＝196，即7（x+y+3）＝196∴x+y+3＝28∴x+y＝25∴2（x+y）＝50∴原长方形的周长为50cm．（3）由题意可知，两个长方形必须有一条边相等，则只能面积为S1的长方形的宽和原长方形的长相等，则有y+5＝x，即x﹣y＝5．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.    （1）图2的阴影部分的正方形的边长是______.（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.【方法1】=____________；【方法2】=____________；（3）观察图2，写出(a+b)2,(a-b)2,ab这三个代数式之间的等量关系；（4）根据题中的等量关系，解决问题：若m+n=10,m-n=6，求mn的值.【答案】（1）a-b；（2）（a-b）2；（a+b）2-4ab（3）（a-b）2=（a+b）2-4ab（4）mn=16【详解】分析：（1）观察图形的特征可得结果；（2）可分别利用边长的平方和大正方形的面积减去小正方形的面积两种方法得到中间小正方形的面积；（3）根据两幅图的空白处面积相等即可得到它们之间的关系.（4）根据（3）中的结论直接整体代入即可求出mn的值.详解：的1）式或地次因式人方相等，数写厉线的定底色（1）a-b；（2）方法1：S阴影=（a-b）2，方法2：S阴影=（a+b）2-4ab；（3）(a+b)2,(a-b)2,ab这三个代数式之间的等量关系为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；根据题中的结论得（m-n）2=（m+n）2-4mn,∵m+n=10，m-n=6，∴36=100-4mn，∴mn=16.26．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a＝ ，b＝ ．(2)已知，求xy的值．(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．【答案】(1)3；1(2)(3)【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；（2）由得，然后由非负数性质求得结果；（3）把方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得c，便可求得三角形的周长．【解析】（1）解：由得，，∵≥0，，∴a-3=0，b-1=0，∴a=3，b=1．故答案为：3；1；（2）由，得，，，∴，∴；（3）由得，∴，∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，∴，∴，∴，∴△ABC的周长为．