2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第4章　§4.4　简单的三角恒等变换（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．半角公式(不要求记忆)
sin eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))；cs eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))；tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α)).符号由eq \f(α,2)所在象限决定．
常用结论
1．二倍角公式的变形公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
2．半角正切公式的有理化
tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( × )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z)．( √ )
(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( √ )
(4)sin2eq \f(π,12)－cs2eq \f(π,12)＝eq \f(\r(3),2).( × )
2．cs 15°等于( )
A.eq \r(\f(1＋cs 30°,2)) B.eq \r(\f(1－cs 30°,2))
C．±eq \r(\f(1＋cs 30°,2)) D．±eq \r(\f(1－cs 30°,2))
答案 A
解析 因为15°是第一象限角，所以cs 15°>0，由半角的余弦公式可知cs 15°＝eq \r(\f(1＋cs 30°,2)).
3．若角α满足sin α＋2cs α＝0，则tan 2α等于( )
A．－eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(4,3).
4．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝－eq \f(\r(7),4)，则cs 2θ的值为 ．
答案 eq \f(1,8)
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))＝－eq \f(\r(7),4)，所以sin θ＝eq \f(\r(7),4)，所以cs 2θ＝1－2sin2θ＝eq \f(1,8).
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)eq \r(1－sin 40°)＋eq \r(\f(1－cs 40°,2))的化简结果为( )
A．－sin 20° B．－cs 20° C．cs 20° D．sin 20°
答案 C
解析 原式＝eq \r(sin 20°－cs 20°2)＋eq \r(\f(1－1－2sin220°,2))＝|sin 20°－cs 20°|＋eq \r(sin220°)
＝cs 20°－sin 20°＋sin 20°＝cs 20°.
(2)化简：cs 20°cs 40°cs 80°＝ .
答案 eq \f(1,8)
解析 cs 20°cs 40°cs 80°＝eq \f(sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,sin 20°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°cs 40°cs 80°,sin 20°)＝eq \f(\f(1,4)sin 80°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)＝eq \f(1,8).
积化和差、和差化积公式
在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算．
典例 化简下列各式．
(1)sin 54°－sin 18°＝ ；
(2)cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°＝ .
答案 (1)eq \f(1,2) (2)－eq \f(1,2)
解析 (1)由和差化积公式可得，
sin 54°－sin 18°＝2cs 36°·sin 18°＝2×eq \f(2sin 18°cs 18°cs 36°,2cs 18°)＝eq \f(2sin 36°cs 36°,2cs 18°)＝eq \f(sin 72°,2cs 18°)＝eq \f(cs 18°,2cs 18°)＝eq \f(1,2).
(2)由和差化积和积化和差公式可得，cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°
＝2cs 120°cs 26°＋2×eq \f(1,2)(cs 120°＋cs 26°)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))cs 26°＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋cs 26°＝－eq \f(1,2).
思维升华
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，eq \f(16,3)cs2eq \f(θ,2)＝1＋cs 2θ，则tan θ等于( )
A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(\r(5),2) C．－eq \f(3\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
答案 B
解析 因为eq \f(16,3)cs2eq \f(θ,2)＝1＋cs 2θ，将cs2eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)，cs 2θ＝2cs2θ－1代入化简，
可得3cs2θ－4cs θ－4＝0，解得cs θ＝2(舍去)或cs θ＝－eq \f(2,3)，又因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin θ＝eq \f(\r(5),3)，则tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(\r(5),2).
(2)已知0