2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当α为钝角时，cs(π－α)＝cs α.( )
(2)若sin(2kπ－α)＝eq \f(3,5)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(3,5).( )
(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(4)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( )
2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(－x)＝sin x B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))＝cs x
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝－sin x D．cs(x－π)＝－cs x
3．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则tan α等于( )
A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
4．已知cs α＝eq \f(1,5)，－eq \f(π,2)<α<0，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),tanα＋πcs－αtan α)的值为 ．
题型一 同角三角函数基本关系式
例1 (1)已知tan α＝－3，则eq \f(sin3α－sin α,cs α)等于( )
A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,10) D．－eq \f(3,10)
(2)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，则( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
跟踪训练1 (1)已知sin αcs α＝eq \f(3,8)，且eq \f(π,4)<αA.eq \f(1,2) B．±eq \f(1,2) C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)
(2)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝ .
题型二 诱导公式
例2 (1)若sin(π＋α)＝－eq \f(4,5)，则cs(π－2α)等于( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))等于( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C．－eq \f(5,13) D．－eq \f(12,13)
延伸探究 若把本例(2)中条件换为“cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－eq \f(1,3)”，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))的值为 ．
跟踪训练2 (1)化简：
eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)等于( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cs θ D．－cs θ
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)－x))等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(2\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
(2)已知－π跟踪训练3 (1)已知tan(α－π)＝eq \f(1,3)，则eq \f(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＋sinα＋π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))等于( )
A.eq \f(1,3) B．3 C．－eq \f(1,3) D．－3
(2)(多选)下列结论中，正确的是( )
A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B．若cs(nπ－α)＝eq \f(1,3)(n∈Z)，则cs α＝eq \f(1,3)
C．若α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(1,tan α)
D．若sin α＋cs α＝1，则sinnα＋csnα＝1
课时精练
一、单项选择题
1．若角α的终边在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))等于( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
2．以下四个数中，与sin 2 024°的值最接近的是( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋θ))＝eq \f(1,4)，－eq \f(π,2)<θA．－eq \f(1,4) B．－eq \f(\r(15),4) C.eq \f(\r(15),4) D.eq \f(1,4)
4．已知cs α＝eq \f(3,5)，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
5．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且满足sin αcs β－2cs αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))的最小值为( )
A．2 B.eq \r(2) C．1 D．2eq \r(2)
二、多项选择题
6．在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
7．已知sin θ＋cs θ＝t，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，t∈(－1，eq \r(2)]，函数f(θ)＝sin θ＋cs θ－sin θcs θ，则下列选项正确的是( )
A．当t＝eq \f(1,2)时，sin θcs θ的值为eq \f(3,8)
B．当t＝eq \f(1,2)时，sin3θ－cs3θ的值为－eq \f(5\r(7),16)
C．函数f(θ)的值域为(－1，eq \r(2)]
D．函数f(θ)的值域为(－1,1]
三、填空题
8．若sin α＝2cs α，则cs2α＋sin αcs α－sin2α＝ .
9．已知tan α＝cs α，则eq \f(1,1－sin α)－eq \f(1,sin α)＝ .
10．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝ ，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝ .
11．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cs θ＝－eq \f(2,5)，则sin θ＋cs θ＝ .
四、解答题
12．(1)若α是第二象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(1,3)，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝eq \f(sin3π－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),csπ－αsin－π－α)，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．
13．在①4sin(2 022π＋α)＝－3cs(2 024π＋α)；②sin α＋cs α＝eq \f(1,5)；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cs β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题．
已知第四象限角α满足 ，求下列各式的值．
(1)eq \f(3sin α＋4cs α,cs α－sin α)；
(2)sin2α＋3sin αcs α.
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限