2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.5　椭　圆（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
2．椭圆的简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大， SKIPIF 1 < 0 最大．
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
2．若椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上一点P与焦点F1的距离为4，则点P与另一个焦点F2的距离为( )
A．6 B．3 C．4 D．2
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
4．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3) C．2 D.eq \r(3)＋1
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝25，圆C2：(x－1)2＋y2＝1，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,9)＋y2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
(2)已知P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若eq \f(\(PF1,\s\up6(—→))·\(PF2,\s\up6(—→)),|\(PF1,\s\up6(—→))||\(PF2,\s\up6(—→))|)＝eq \f(1,2)，则△F1PF2的面积为________．
跟踪训练1 (1)若F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为( )
A．4 B．8 C．10 D．20
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 C.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1
(2)已知过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
跟踪训练2 (1)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,60)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,60)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1
(2)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且 SKIPIF 1 < 0 ＝4，|PF2|＋|F2Q|＝6，则椭圆E的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例3 (1)设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为eq \f(\r(3),3)的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为( )
A．2－eq \r(3) B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例4 (多选)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为4eq \r(3)
B．|PF1|的取值范围是[4－2eq \r(3)，4＋2eq \r(3)]
C．不存在点P使PF1⊥PF2
D．|PB|的最大值为2eq \r(5)
跟踪训练3 (1)已知M，N是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值是eq \f(1,4)a2，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
(2)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MF,\s\up6(→))的取值范围为( )
A．[－16,0] B．[－8,0] C．[0,8] D．[0,16]
课时精练
一、单项选择题
1．“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为( )
A．2eq \r(2) B.eq \f(2\r(6),3)或2eq \r(6)
C．2eq \r(6) D．2eq \r(2)或2eq \r(6)
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(BA2,\s\up6(—→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
4．已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于( )
A．18 B．10 C．9 D．6
二、多项选择题
5．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有( )
A．△PF1F2的周长为4＋2eq \r(2)
B．当∠PF1F2＝90°时，|PF1|＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为eq \f(4\r(3),3)
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
三、填空题
6．已知F1(－2,0)，F2(2,0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，则椭圆C的方程为________________．
7．椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝________.
8．已知一个离心率为eq \f(1,2)，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，设△PF1F2的内切圆半径为r，则r的值为________．
四、解答题
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，且满足|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2