2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第4章　§4.7　正弦定理、余弦定理（2份打包，原卷版+含解析）

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1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A(4)sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C；tan(A＋B)＝－tan C；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
(6)三角形中的面积S＝eq \r(pp－ap－bp－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ .
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋(b＋λa)sin B＝csin C，则λ的取值范围为( )
A．(－2,2) B．(0,2) C．[－2,2] D．[0,2]
跟踪训练1
(1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝eq \f(\r(6),2)，A＝45°，则C等于( )
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 在△ABC中，已知eq \f(sin A＋sin C,sin B)＝eq \f(b＋c,a)且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcs A＋acs B＝csin C 中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
命题点2 三角形的面积
例3 已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＋b＝2ccs B.
(1)求角C；
(2)若CD是角C的平分线，AD＝2eq \r(7)，DB＝eq \r(7)，求CD的长．
跟踪训练2
(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2eq \r(17)，b＝5eq \r(2)，cs A＝eq \f(4,5)，则△ABC的面积为( )
A．36eq \r(2) B．18eq \r(3) C．27 D．36
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a－b＝ccs B－ccs A，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
(3)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于( )
A．2eq \r(3) B．4eq \r(3) C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
课时精练
一、单项选择题
1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于( )
A.eq \r(35) B.eq \r(31) C．6 D．5
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝eq \f(π,3)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为eq \f(1,2)b(bsin B－asin A－csin C)，则B等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.点D为BC的中点，AD＝1，B＝eq \f(π,3)，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则c等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5.如图，平面四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2eq \r(7).则角B等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,12)
6．已知△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－3，AB＝2，cs2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(3\r(3),4) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(6\r(3),7)
二、多项选择题
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，则B的值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是( )
A．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
B．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
三、填空题
9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \f(2cs A,bc)＝eq \f(cs B,ab)＋eq \f(cs C,ac)，则A＝ .
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为 平方里．
11．已知△ABC的面积为S＝eq \f(1,4)(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为 ．
四、解答题
12．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C＝csin eq \f(B,2).
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a＝2，b＝eq \r(7)，求线段BD的长．
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \r(3)，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝eq \f(π,3)，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解