2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第4章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)（2份打包，原卷版+含解析）

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1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( × )
(2)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).( × )
(3)把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，所得图象的函数解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12))).( × )
(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( √ )
2．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π，eq \f(π,3) B．2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3) C．2，eq \f(1,4π)，－eq \f(π,3) D．2,4π，－eq \f(π,3)
答案 C
解析 由题意知A＝2，f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)＝eq \f(1,4π)，初相为－eq \f(π,3).
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
答案 1
解析 当t＝12时，f(12)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5π－\f(π,6)))＝2sin eq \f(5π,6)＝1，即12点时潮水的高度是1 m.
4．将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
解析 将函数f(x)＝sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为eq \f(π,3)，得到函数g(x)＝Acs ωx的图象，只需将f(x)的图象( )
A．向左平移eq \f(π,12)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,18)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,18)个单位长度
答案 C
解析 因为函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为eq \f(π,3)，
故函数的最小正周期为T＝eq \f(2π,3)，所以ω＝3；故函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))，
为得到g(x)＝Acs 3x的图象，只需将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,18)个单位长度，
得到g(x)＝Asineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,18)))＋\f(π,3)))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,2)))＝Acs 3x的图象．
(2)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ωx＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)ω＋\f(π,3))))).因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得ω＝2k＋eq \f(1,3)(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin＝eq \f(1,3).
思维升华
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1
(1)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,6)个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,12)个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度
答案 C
解析 C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))).
故把y＝cs x的图象横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，得到y＝cs 2x的图象，再把y＝cs 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度即得到C2的图象．
(2)若函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(2π,3)个单位长度后与原图象重合，则正数ω不可能是( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 A
解析 依题意，eq \f(2π,3)＝kT，即eq \f(2π,3)＝k·eq \f(2π,ω)，即ω＝3k，k∈Z，∴ω不可能为2.
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A．A＝4 B．ω＝2 C．φ＝eq \f(π,3) D．k＝1
答案 BD
解析 由图象可知，A＝2，k＝eq \f(3＋－1,2)＝1，故A错误，D正确；
又由图象可得T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋\f(π,12)))＝π，∴eq \f(2π,|ω|)＝π，又ω>0，∴ω＝2，故B正确；
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝3，∴2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＋φ))＋1＝3，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋φ))＝1，又0<φ<π，∴φ＝eq \f(2π,3)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＋1，故C错误．
(2)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，\f(π,2)≤φ≤π))的部分图象，其中|AB|＝5，则此函数的解析式为________．
答案 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(5π,6)))
解析 由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，设A(x1,2)，B(x2，－2)，其中x1因为|AB|＝5，可得eq \r(x2－x12＋42)＝5，解得x2－x1＝3，即eq \f(1,2)T＝3，所以T＝6，可得ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,3)，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))，又由f(0)＝2sin φ＝1，可得sin φ＝eq \f(1,2)，因为eq \f(π,2)≤φ≤π，所以φ＝eq \f(5π,6).
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(5π,6))).
思维升华 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(π,6))) B．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x－\f(π,6))) D．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(π,6)))
答案 B
解析 由图象知π所以－eq \f(4π,9)ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝－eq \f(9,4)k－eq \f(3,4)，k∈Z.因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝eq \f(3,2)，
所以f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,6))).
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝eq \f(1,2)与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝eq \f(π,6)，则f(π)＝________.
答案 －eq \f(\r(3),2)
解析 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(1,2)))，由|AB|＝eq \f(π,6)可得x2－x1＝eq \f(π,6)，由sin x＝eq \f(1,2)可知，
x＝eq \f(π,6)＋2kπ或x＝eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)，
即ω(x2－x1)＝eq \f(2π,3)，所以ω＝4.所以f(x)＝sin(4x＋φ)，又f(x)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，
所以eq \f(8π,3)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq \f(8π,3)＋2kπ，k∈Z.
取φ＝－eq \f(2π,3)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(2π,3)))，所以f(π)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
例3 函数y＝f(x)的图象由函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))向左平移eq \f(π,6)个单位长度所得函数为y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，而直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)显然过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))与(1,0)两点，作出y＝f(x)与y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的大致图象如图所示，
考虑2x＝－eq \f(3π,2)，2x＝eq \f(3π,2)，2x＝eq \f(7π,2)，即x＝－eq \f(3π,4)，x＝eq \f(3π,4)，x＝eq \f(7π,4)处f(x)与y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的大小关系，
当x＝－eq \f(3π,4)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)))＝－1，y＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))－eq \f(1,2)＝－eq \f(3π＋4,8)<－1；
当x＝eq \f(3π,4)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝－sin eq \f(3π,2)＝1，y＝eq \f(1,2)×eq \f(3π,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(3π－4,8)<1；
当x＝eq \f(7π,4)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)))＝－sin eq \f(7π,2)＝1，y＝eq \f(1,2)×eq \f(7π,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(7π－4,8)>1.
所以由图可知，f(x)与y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为3.
思维升华
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3 (1)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．如表所示是今年前四个月的统计情况．
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位：元/斤)与相应月份之间的函数关系为__________________．
答案 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6(答案不唯一)
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，
因为T＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,2)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋φ))＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＋6，
结合表中数据得eq \f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－eq \f(π,2)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6.
(2)已知关于x的方程2sin2x－eq \r(3)sin 2x＋m－1＝0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程2sin2x－eq \r(3)sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋eq \r(3)sin 2x＝cs 2x＋eq \r(3)sin 2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).设2x＋eq \f(π,6)＝t，则t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))，
∴题目条件可转化为eq \f(m,2)＝sin t，t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))有两个不同的实数根．
即直线y＝eq \f(m,2)和函数y＝sin t，t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的图象有两个不同的交点，作出y＝eq \f(m,2)，y＝sin t的图象，如图中实线部分所示．
由图象观察知，eq \f(m,2)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))，故m的取值范围是(－2，－1)．
课时精练
一、单项选择题
1．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,12))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案 D
解析 函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，图象向右平移eq \f(1,4)个周期，即平移eq \f(π,4)个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))，即y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) B．ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) C．ω＝2，φ＝－eq \f(π,6) D．ω＝eq \f(1,2)，φ＝－eq \f(π,6)
答案 C
解析 由题图可得eq \f(T,2)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，∴T＝π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝1，且－eq \f(π,2)<φ3．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
答案 B
解析 依题意，将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象eq \(―――――――――――→,\s\up10(向左平移\f(π,3)个单位长度))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))的图象eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(所有点的横坐标伸长到原来的2倍))f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图象．
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝cs 3x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,12)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,12)个单位长度
答案 D
解析 由题图得，eq \f(T,4)＝eq \f(5π,12)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)，∴T＝eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝3，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝0，
则eq \f(3π,4)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z，又∵|φ|故把g(x)＝cs 3x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度，
可得到f(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))的图象．
5．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4ω)))))对∀x∈R恒成立，且f(x)的图象关于x＝eq \f(π,8)对称，则ω的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由已知得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4ω)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))))＝1，又0<φ<π，故eq \f(π,4)＋φ＝eq \f(π,2)，得φ＝eq \f(π,4)，∵f(x)的图象关于x＝eq \f(π,8)对称，∴eq \f(ωπ,8)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，则ω＝2＋8k>0，k∈Z，∴当k＝0时，ω的最小值为2.
二、多项选择题
6.如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x)) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
答案 BC
解析 由题图可知，函数的最小正周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴eq \f(2π,|ω|)＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))代入得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝0，∴2×eq \f(π,6)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
即φ＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，故y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))).由于y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，故B正确；
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，故C正确；对于A，当x＝eq \f(π,6)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝1≠0，故A错误；对于D，当x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(2π,3),2)＝eq \f(5π,12)时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2×\f(5π,12)))＝1≠－1，故D错误；当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))代入，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×\f(π,6)＋φ))＝0，结合函数图象，知－2×eq \f(π,6)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(4π,3)))，但当x＝0时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×0＋\f(4π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)<0，与图象不符合，舍去．
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期为π，且f(x)的图象过点(0，eq \r(2))，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的最大值为eq \r(2)
B．f(x)图象的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减
D．把f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象
答案 AC
解析 f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,4)))，∵函数f(x)的最小正周期为π，∴eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,4)))，
∵f(x)的图象过点(0，eq \r(2))，∴f(0)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1，
∴φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，解得φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，∵|φ|则f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋\f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cs 2x，则f(x)的最大值为eq \r(2)，故A正确；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)cs eq \f(π,2)＝0≠±eq \r(2)，则x＝eq \f(π,4)不是f(x)图象的一条对称轴，故B错误；
当0把f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，无法得到g(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，故D错误．
三、填空题
8．已知A∈R，实数ω>0，f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，函数y＝f(x)的部分图象如图所示，若该函数的最小正零点是eq \f(5π,12)，则ω＝________.
答案 2
解析 由图象知，A＝2，因为该函数的最小正零点是eq \f(5π,12)，所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)ω＋\f(π,6)))＝0，则eq \f(5π,12)ω＋eq \f(π,6)＝π，解得ω＝2.
10．将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝________.
答案 eq \f(π,6)
解析 将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,3)))的图象，因为函数g(x)是奇函数，所以g(0)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2φ－\f(π,3)))＝0，则2φ－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，则φ＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，因为0<φ10.已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2 024π]内有________条对称轴．
答案 eq \f(π,6) 8 096
解析 f(x)＝4sin(ωx＋φ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,2)))＝2sin(2ωx＋2φ)，由题图可知f(0)＝eq \r(3)，即sin 2φ＝eq \f(\r(3),2)，
由于点(0，eq \r(3))在单调递增的区间内，故2φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
因为|φ|令4x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,4)，k∈Z.令0≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,4)≤2 024π，k∈Z，
则－eq \f(1,6)≤k≤8 096－eq \f(1,6)，k∈Z.所以f(x)在[0,2 024π]内有8 096条对称轴．
四、解答题
11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)先将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的eq \f(1,2)，再将得到的函数图象向左平移eq \f(π,24)个单位长度，最后得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的值域．
解 (1)由图可知，A＝eq \f(2－－2,2)＝2，
函数f(x)的最小正周期为T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝2，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,3)))＝1，则φ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，∵|φ|(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的eq \f(1,2)，
可得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))的图象，再将得到的函数图象向左平移eq \f(π,24)个单位长度，最后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,24)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))，当0≤x≤eq \f(π,4)时，eq \f(π,3)≤4x＋eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，
则－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))≤1，－eq \r(3)≤g(x)≤2，所以g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的值域为[－eq \r(3)，2]．
12．把函数f(x)＝2sin x的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，记函数h(x)＝f(x)g(x)．
(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)画出函数y＝h(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的大致图象．
解 (1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，
得eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即φ＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，
又0<φ则h(x)＝f(x)g(x)＝4sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))＝2sin2x＋2eq \r(3)sin xcs x
＝1－cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1，则函数y＝h(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))(k∈Z)．
(2)列表如下：
故y＝h(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的大致图象如图所示．
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(0－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
月份x
1
2
3
4
收购价格y/(元/斤)
6
7
6
5
x
－eq \f(π,2)
－eq \f(5π,12)
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
2x－eq \f(π,6)
－eq \f(7π,6)
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
eq \f(5π,6)
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))
eq \f(1,2)
0
－1
0
1
eq \f(1,2)
h(x)
2
1
－1
1
3
2