2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.6　双曲线（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
4．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
2．已知曲线C的方程为eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．－15 C．k<－1 D．k≠－1或5
3．双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________．
4．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
题型一 双曲线的定义
例1 (1)(多选)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是( )
A．一个点 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线．
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±eq \f(a2,c).
典例 (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线x＝eq \f(a2,2)的距离之比为eq \f(1,2)，则椭圆方程为___________________．
(2)已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则|MA|＋eq \f(3,5)|MF2|的最小值为________．
跟踪训练1
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,8)－y2＝1 C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
(2)已知F1，F2为双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，P是C的右支上一点，则eq \f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为( )
A．16 B．18 C．8＋4eq \r(2) D．9＋eq \f(15\r(2),2)
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)与椭圆C：eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1共焦点且过点(1，eq \r(3))的双曲线的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1 C.eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1 D.eq \f(y2,3)－x2＝1
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2eq \r(3)，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－y2＝1 C.eq \f(2x2,3)－eq \f(2y2,3)＝1 D．3x2－eq \f(3y2,8)＝1
跟踪训练2 (1)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1 C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
(2)设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF1,\s\up6(→)))，|eq \(OE,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，则双曲线的方程为________．
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)若双曲线经过点(1，eq \r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
(2)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AF1F2的面积为eq \f(1,2)bc，则双曲线C的渐近线方程为________．
命题点2 离心率
例4 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为eq \f(π,3)，则此双曲线的离心率e为( )
A．2或eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \r(3) D.eq \r(3)或2
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且|DF2|＝2eq \r(2)|OD|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(5) D．3
跟踪训练3 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
(2)设双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e，直线l过点(0，b)和双曲线E的一个焦点，若直线l与圆x2＋y2＝a2相切，则e2＝________.
课时精练
一、单项选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
3．若双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．以双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(2\r(5),3)))，则C的焦距为( )
A．4 B．2eq \r(5) C．6 D．8
二、多项选择题
5．已知曲线C：x2sin α＋y2cs α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是( )
A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0
B．若曲线C表示双曲线，则eq \f(π,2)<α<π
C．若0<αD．若0<α6．已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则( )
A．b＝2＋2eq \r(2)
B．双曲线的离心率为eq \r(2)＋1
C．双曲线的焦距为2eq \r(5)
D．△ABF1的面积为12＋8eq \r(2)
三、填空题
7．已知直线l：eq \r(3)x－y－2eq \r(3)＝0过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．
8．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为______________．
四、解答题
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1有相同的渐近线，且经过点M(eq \r(2)，－eq \r(2))．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
10．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求eq \(PP1,\s\up6(—→))·eq \(PP2,\s\up6(—→))的值．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)