2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第1章　§1.2　常用逻辑用语（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( √ )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2eq \f(x,2)＋cs2eq \f(x,2)＝eq \f(1,2)”是真命题．( × )
2．(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是( )
A．p是真命题
B．¬p：∀x∈R，x＋2>0
C．¬p是真命题
D．¬p：∃x∈R，x＋2>0
答案为：CD
解析：当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为¬p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；¬p是真命题，故C正确．
3．设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案为：(－∞，3)
解析：由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C
解析：当m∥n时，l⊥α，当l⊥α时，m∥n，综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件．
(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：A
解析：当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝cs(2x＋φ)，则“φ＝eq \f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：A
解析：f(x)是奇函数等价于cs(－2x＋φ)＝－cs(2x＋φ)，即cs(－2x＋φ)＝cs(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.则“φ＝eq \f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件．
题型二 充分、必要条件的应用
例2 在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1充分不必要条件的等价形式
p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．
典例 已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若¬q是¬p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_____________．
答案为：(1，＋∞)
解析：由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.
思维升华
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝{x|eq \f(1,4)≤2x≤32}，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．
(1)若m＝3，求A∪B；
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，
当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，
所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．
(2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A⫋B，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m<－2，,2＋m≥5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m≤－2，,2＋m>5，))解得m>4或m≥4，即有m≥4，
所以正实数m的取值范围是m≥4.
选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B⫋A，
于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0所以正实数m的取值范围是0题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．“正方形是菱形”是全称量词命题
B．∃x∈R，exC．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”
D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”
答案为：ABC
解析：对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；
对于B，当x＝1时，e对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确；
对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________.
答案为：至少有一个实数是无理数
命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中的真命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
答案为：ACD
解析：指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；
当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；
当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确；
函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确．
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5]
答案为：B
解析：由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1]．
(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案为：ABC
解析：若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项．
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
跟踪训练3 (1)下列命题为真命题的是( )
A．任意两个等腰三角形都相似
B．所有的梯形都是等腰梯形
C．∀x∈R，x＋|x|≥0
D．∃x∈R，x2－x＋1＝0
答案为：C
解析：对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，故D错误．
(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是( )
A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C．当命题p为真命题时，1≤m≤2
D．当命题q为假命题时，a<4
答案为：ACD
解析：命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－20”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a课时精练
一、单项选择题
1．命题“∃x>0，sin x－x≤0”的否定为( )
A．∀x≤0，sin x－x>0 B．∃x>0，sin x－x≤0
C．∀x>0，sin x－x>0 D．∃x≤0，sin x－x>0
答案为：C
解析：由题意知命题“∃x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x>0，sin x－x>0.
2．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：eq \r(a)>eq \r(b)
答案为：A
解析：对于A，ab≠0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0，,b≠0))⇒a≠0，故p是q的充分条件；对于B，a2＋b2≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a∈R，,b∈R))⇏a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件；对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；对于D，当a>b时，若beq \r(b)，故p不是q的充分条件．
3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：A
解析：若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行．即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件．
4．已知p：eq \f(1,x)>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案为：C
解析：由eq \f(1,x)>1可得x(x－1)<0，解得0m}，若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．
5．下列说法正确的是( )
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”
D．若“1答案为：D
解析：eq \r(2)是无理数，x2＝2是有理数，A错误；当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；“16．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝lg(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：C
解析：若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－27．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．－4答案为：C
解析：命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题¬p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－48．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{eq \f(Sn,n)}为等差数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案为：C
解析：方法一 甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)，因此{eq \f(Sn,n)}为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{eq \f(Sn,n)}为等差数列，即eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝eq \f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq \f(nan＋1－Sn,nn＋1)为常数，设为t，即eq \f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．
方法二 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，则eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，因此{eq \f(Sn,n)}为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{eq \f(Sn,n)}为等差数列，设数列{eq \f(Sn,n)}的公差为D，则eq \f(Sn＋1,n＋1)－eq \f(Sn,n)＝D，eq \f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1时，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cs x＋eq \r(2)的值恒为正数
C．∃x∈R,2x＜x2
D．∀x∈(0，＋∞)，(eq \f(1,3))x＞ SKIPIF 1 < 0
答案为：AC
解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cs x＋eq \r(2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋eq \r(2)，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝eq \f(1,3)时， SKIPIF 1 < 0 ∈(0,1)， SKIPIF 1 < 0 ＝1，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D为假命题．
10．下列命题中正确的是( )
A．“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件
B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”
C．“幂函数y＝ SKIPIF 1 < 0 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”
D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”
答案为：BCD
解析：对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误；
对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－32－4m>0，,x1x2＝m<0，))解得m<0，满足必要性，
当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；
对于C，若幂函数y＝ SKIPIF 1 < 0 为反比例函数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1＝1，,m2＋m－1＝－1，))解得m＝0，满足必要性，
当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝ SKIPIF 1 < 0 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1所以“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，故D正确．
三、填空题
11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案为：充要
解析：在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sin A＝sin B，故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件．
12．设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案为：(0，＋∞)
解析：由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，记A＝{x|x<1}；由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，即q: x<2a＋1，记B＝{x|x<2a＋1}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即2a＋1>1，解得a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈[eq \f(1,2)，1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案为：[eq \f(1,2)，＋∞).
解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[eq \f(1,2)，1]上单调递减，∴f(x)max＝f (eq \f(1,2))＝eq \f(17,2).
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，∴g(x)max＝8＋a，因此eq \f(17,2)≤8＋a，则a≥eq \f(1,2).若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，¬p(x)
∀x∈M，¬p(x)