沪教版九年级上册数学专题训练专题20旋转相似解题方法专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题20旋转相似解题方法专练(原卷版+解析)，共178页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
第II卷（非选择题）
二、解答题
2．在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．
（观察猜想）
（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．
（探究证明）
（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（拓展应用）
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．
3．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．
4．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．
（1）如图1摆放，当点在上，点在上，得知，，求的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的面积．
（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点旋转，连结、，当时，求的值．
（4）不变，当的三边长扩大一倍后，绕点旋转一周，直线与交于点，请你直接写出点所经过的运动路径．
5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
6．如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．
7．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
8．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
9．如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
10．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．绕点C顺时针旋转，设旋转角为（，记直线与直线的交点为点P．
（1）如图1，当时，与的数量关系为_________，与的位置关系为_______；
（2）当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
（3）绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线距离的最大值．
11．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．
12．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．
（1）①求证：；
②若，求的长；
（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
13．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．
14．（1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．
15．在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且．
（1）求的值．
（2）求证：．
（3）作射线与射线交于点，若，，求的长．
16．如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

17．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
18．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．
①的值为_________；
②直线与直线的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．
19．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E．

（1）如图1，求证：CO⊥AB；
（2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE；
（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．
20．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．
（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：
①________；②与的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
21．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）
22．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
23．如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过作交于，连接．

（1）求证：；
（2）如图2，，为中点，，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积．
24．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．
（1）如图1，若∠B＝45°，则＝ ；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝ ；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？
26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．
27．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．
（1）问题发现
在图（1）中，_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
28．如图1，若点P是△ABC内一点，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，则称点P是△ABC的“等角点”
（1）如图1，∠ABC=70°，则∠APB=
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC的“等角点”， 若∠BAC=45°
①求的值；
②求tan∠PBC的值；
29．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
30．发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值
31．在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．
（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．
（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
（3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由．
32．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

33．如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．
34．将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
35．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
(2)求当点E在线段AF上时CD的长；
(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
36．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．
（1）当点E与点C重合时．
①如图1，若AD＝BD，求BF的长．
②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．
（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．
37．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
38．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长 ；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长
39．几何探究：
（问题发现）
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

（类比探究）
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
（拓展延伸）
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
40．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．
（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；
（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．
41．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
42．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．
43．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．
（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．

44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．
(1)求证：△AED∽△DGB；
(2)求证：EF是⊙O的切线；
(3)若，OA＝4，求劣弧的长度(结果保留π)．
45．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．
（1）若△ACD的面积为16．
①求抛物线解析式；
②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；
（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．
三、填空题
46．如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．
47．如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．
48．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．
49．已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________．
50．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为______ ．
专题20 旋转相似解题方法专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
第II卷（非选择题）
二、解答题
2．在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．
（观察猜想）
（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．
（探究证明）
（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（拓展应用）
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．
3．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．
4．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．
（1）如图1摆放，当点在上，点在上，得知，，求的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的面积．
（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点旋转，连结、，当时，求的值．
（4）不变，当的三边长扩大一倍后，绕点旋转一周，直线与交于点，请你直接写出点所经过的运动路径．
5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
6．如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．
7．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
8．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
9．如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
10．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．绕点C顺时针旋转，设旋转角为（，记直线与直线的交点为点P．
（1）如图1，当时，与的数量关系为_________，与的位置关系为_______；
（2）当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
（3）绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线距离的最大值．
11．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．
12．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．
（1）①求证：；
②若，求的长；
（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
13．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．
14．（1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．
15．在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且．
（1）求的值．
（2）求证：．
（3）作射线与射线交于点，若，，求的长．
16．如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

17．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
18．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．
①的值为_________；
②直线与直线的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．
19．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E．

（1）如图1，求证：CO⊥AB；
（2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE；
（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．
20．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．
（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：
①________；②与的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
21．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）
22．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
23．如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过作交于，连接．

（1）求证：；
（2）如图2，，为中点，，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积．
24．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．
（1）如图1，若∠B＝45°，则＝ ；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝ ；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？
26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 ．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．
27．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．
（1）问题发现
在图（1）中，_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
28．如图1，若点P是△ABC内一点，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，则称点P是△ABC的“等角点”
（1）如图1，∠ABC=70°，则∠APB=
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC的“等角点”， 若∠BAC=45°
①求的值；
②求tan∠PBC的值；
29．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
30．发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值
31．在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．
（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则 ．
（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．
（3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由．
32．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

33．如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．
34．将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
35．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
(2)求当点E在线段AF上时CD的长；
(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
36．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．
（1）当点E与点C重合时．
①如图1，若AD＝BD，求BF的长．
②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．
（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．
37．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
38．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长 ；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长
39．几何探究：
（问题发现）
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

（类比探究）
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
（拓展延伸）
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
40．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n为正整数) ．
（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；
（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．
41．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
42．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．
43．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．
（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．

44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．
(1)求证：△AED∽△DGB；
(2)求证：EF是⊙O的切线；
(3)若，OA＝4，求劣弧的长度(结果保留π)．
45．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．
（1）若△ACD的面积为16．
①求抛物线解析式；
②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；
（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．
三、填空题
46．如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．
47．如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．
48．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．
49．已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________．
50．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为______ ．
参考答案
1．D
分析：
①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【详解】
解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
2．（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2
分析：
（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；
（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题；
【详解】
（1）如图①中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．
理由：如图②中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，
∵∠AED=45°，D，E，C共线，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，
∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（负根已经舍弃），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）．
分析：
（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论；
（3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案．
【详解】
（1）∵四边形为正方形，
∴，，
又∵四边形为正方形，
∴，，
∴
∴，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（2）当时，，
理由如下：
∵，
∴
∴，
又∵四边形和四边形均为菱形，
∴，，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（3）设与交于Q，与交于点P，
由题意知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，，
∴
，
∵，，，
∴，，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，
∴
．
【点睛】
本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．
4．（1）；（2）；（3）或；（4）．
分析：
（1）根据题意算出的长，利用直角三角形心中对应的边等于斜边的一半求出，同理求出，再作差即可；
（2）过点作于点，求出、AC即可求出；
（3）延长AM，BC交于点D，作延长BN使得，利用旋转相似证明，得，再三角形中通过角之间的关系来证明，得四边形是矩形，再根据条件及勾股定理求解；
（4）确定的轨迹是以为直径的圆弧，，求出最大值为，由此得出路径所对圆心角为120°，从而求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）过点作于点，
∵，，，
∴，.
，
即的面积．
（3）I．若点M在外，延长BN交AM于点H，交AC于点G，
由（1）得中， ，， ，
在中，，， ，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
又∵，，
，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴
∴；
II．若点M在内部，则如图3-2：
同理可求：
∴，，
∴
∴；
（4）不变，当的三边长扩大一倍后，
∴在中，，， ，
同（3）理可证明，
∴直线与交点所经过的运动路径是以为直径的圆弧，
当M点在AC右侧时，如图4-1：
当CM⊥AM时最大，此时，
∴当CM⊥AM时，此时AM与AB重合，B点与H点重合；
当M点在AC左侧时，如图4-2：
当CM⊥AM时，最大，此时，
∴当CM⊥AM时，此时；
故如图所示：直线与交点所经过的运动路径为，弧长．
【点睛】
本题考查了含的直角三角形性质、旋转相似、点的远动路径等知识点，综合性强，题目较难，解题的关键是：能利用勾股定理及锐角三角函数知识解直角三角形；针对旋转问题，要添加适当地辅助线．
5．（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝．
分析：
（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与 AP所成的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与 AP所成的度数；
（3）延长CA，BD相交于点K， 根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长．
【详解】
（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB
∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，
∴△BDP是等边三角形，
∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC
∴△PBA≌△DBC，
∴AP=CD
∴=1
如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角，
∵△PBA≌△DBC
∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC
∴∠AHC＝∠ABC＝60°
故答案为：1，60；
（2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°.
在Rt△ABC中，＝cs∠ABC＝cs45°＝.
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt△PBD中，＝cs∠PBD＝cs45°＝.
∴＝，∠ABC＝∠PBD.
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.
∴△PBA∽△DBC.
∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.
即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°.
(3)延长CA，BD相交于点K，如图.
∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵点E，F为AB，AC的中点，
∴PFBC.
∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.
∵∠BGP＝∠FGK，
∴∠BPE＝∠K.
∴∠K＝∠EBP，
∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，
∴∠K＝∠CBD.
∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD.
由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.
∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，
∴∠DBA＝∠DCA.
∴∠DBA＝∠PAB.
∴AD＝BD.
由(2)知DC＝AP，
∴AP＝.
在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.
∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.
∴x＝1.
∴BD＝．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法．
6．（1）；（2）证明见解析；（3）．
分析：
（1）由旋转性质易证，从而可得， ，再求的CE边高即可；
（2）通过倍长中线构造，得，由即可证明；
（3）利用费马点模型构造图形，过点G作，且，过点G作，且，可得，，将问题由转化为两点之间距离最短即可解答．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，，
∴，
∵若三点共线，
∴，
如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，
∴，
∴，
即：点B到直线的距离为；
（2）延长CF到N，使FN=CF，连接BN，
∵FD=FB，，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
（3）的最小值为；
过程如下：如解图3，过点G作，且，过点G作，且，连接OC、、，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，仅当C、O、、在同一条直线上等号成立；
如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为：，
∴的最小值为．
【点睛】
本题是三角形综合题，涉及了三角形旋转全等和旋转相似的综合、解三角形等知识点，解（2）关键是倍长中线构造三角形全等证明；解（3）关键是掌握费马点求最值模型，利用旋转转化线段关系．
7．（1）；（2）；理由见解析；（3）4．
分析：
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】
解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．
分析：
（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；
（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．
【详解】
解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，
∴，
∴NP=BM，
∴DN+BM=BC；
（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM−DN=BC．
故答案为：BM−DN=BC；
（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，
∴QM=3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
设EF=a，则FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的长为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）；（3），或，．
分析：
（1）由题意：，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得，由此即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，平分的，
，，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
又∵，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，，
，
，
，
，
如图，过B点作BH⊥AE，
∵，AD平分∠BAC，
∴∠BAH=45°，
∴AH=BH，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②当时，即时，，
，
，
如解图（3）-2；过B点作BH⊥AE，
，分别是的内角的平分线，
∴，
∴BD=AD，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∴
综上所述，，或，．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．（1）；（2）依然成立，证明见解析；（3）．
分析：
（1）分别求出AD，BE的长，即可求解；
（2）通过证明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得结论；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值．
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE，AD⊥BE；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，
∴，，
∴，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CBO=∠CAD，
∴AD=BE，
∵∠CBO+∠BOC=90°，
∴∠CAD+∠AOP=90°，
∴∠APO=90°，
∴BE⊥AD；
（3）∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，
∴CE⊥BE，
∵sin∠EBC=，
∴∠EBC=30°，
∴∠GBP=30°，
∵GB=GP，
∴∠GBP=∠GPB=30°，
∴∠BGP=120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度=，
∵∠ABP=30°，BP⊥AP，
∴AP=AB=1，BP=AP=，
∵∠CBP=30°，PH⊥BH，
∴PH=BP=．
∴P点到直线BC距离的最大值．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
11．（1）见解析；（2）60°，12；（3）
分析：
（1）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可证明△ADC≌△ABE；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADP=∠ABP，设AB，PD交于O，根据三角形的内角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取点F，使∠PCF=60°，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；
（3）过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，根据等边三角形的性质得到AQ=2x，AG=x，AB=x，证明△ABE∽△AQR，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ADC与△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=x，AB=x，
∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
∴∠QAR=∠BAE，
∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．
分析：
（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论；
②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；
（3）同（2）的方法得出，即可得出结论；
【详解】
解：（1）①∵DE∥BC，
∴，
由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt△ABC中，AC=BC，
∴，
由①知，△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴，
∵
∴
在Rt△CDE中，
根据勾股定理得，DE=2，
在Rt△ADE中，AE=DE，
∴
（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9k2=16-16k2，
∴或（舍），
（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=p，BD=n，
∴，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△CDE中，，
∵，
，
∴4p2=9m2+4n2．
【点睛】
此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用．
13．（1）BE＝DF；（2）不成立，结论：DF＝nBE；理由见解析（3）或
分析：
（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE=AB，AF=AD，
∴AE=AF，
∵∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
故答案为：BE=DF；
（2）结论不成立，结论：DF=nBE，
∵AE=AB，AF=AD，AD=nAB，
∴AF=nAE，
∴AF∶AE=AD∶AB，
∴AF∶AE=AD∶AB，
∵∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，
∴DF=nBE；
（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，
在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=AB=4，
∴BE==，
∵△ABE∽△ADF，
∴=，
∴=，
∴DF=，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE=PF=4，
∴PD=DF-PF=；
如图4-2中，当点P在线段BE上时，
同法可得DF=，PF=AE=4，
∴PD=DF＋PF=，
综上所述，满足条件的PD的值为或．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题．
14．（1），45°；（2），30°；（3）2
分析：
（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°；
（2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD=
DM=2．
【详解】
（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，
∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=45°，
故答案是：，45°；
（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，
∴，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∆BAD~∆CAE，
∴，∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB=∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=30°；
（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∆ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAM=45°，，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，
∴∆BAD~∆CAM，
∴∠ABD=∠ACM，，
又∵BD=6，
∴CM==3，
∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABD+∠BCD=180°，
∴∠ACM+∠BCD=180°，
∴∠DCM=90°，
∴DM=，
∴AD=DM=2，
即A，D两点之间的距离是2．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
15．（1）；（2）证明过程见解析；（3）
分析：
（1）取AB的中点N，连接PN，PM．只要证明△PMF∽△PNE，可得；
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）延长CD交EG与H．由BE：AF=3：4，EN=2MF，设BE=3x，AF=4x，FM=a，EN=2a，由AM=2BN，可得4x-a=2（3x-2a），推出a=x，可得AM=AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，，在Rt△AEF中，根据勾股定理可得（x）2+（4x）2=29，解得x=，推出，根据DH//AE，，可得，设DG=y，根据DH∥BE，可得，由此构建方程即可．
【详解】
解：（1）解：取AB的中点N，连接PN，PM．
∵AM=MD，PB=PD，AN=NB，
∴PM=AB，PN=AD，PM∥AB，PN∥AD，
∴四边形ANPM是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠EPN=∠EPM，∵∠PMF=∠PNE=90°，
∴△PMF∽△PNE，
∴
故答案为：；
（2）∵为的中位线，∴为中点，
∴，
又∵∽（已证），
∴，∴，
∴．
（3）延长交于点，
∵BE：AF=3：4，EN=2MF，
设BE=3x，AF=4x，FM=a，EN=2a，
∵AM=2BN，
∴4x-a=2（3x-2a），
∴a=x，
∴AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，
在Rt△AEF中，∵（x）2+（4x）2=29，
解得x=，
∴，
∵DH//AE，
∴，可得，设DQ=y，
∵DH//BE，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK；
分析：
（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC =90°即可；
（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.
（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.
【详解】
（1）等腰直角三角形；
理由：如图1中，
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∴CA=CB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵DK=KB，
∴EK=KB=DK= BD，
∴∠KEB=∠KBE，
∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，
∵∠DCB=90°，DK=KB，
∴CK=KB=KD= BD，
∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，
∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，
∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，
∴△ECK是等腰直角三角形．
（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．
∵∠α=45°，DE⊥AE，
∴∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BG，
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AC=BC，
∴△AEC≌△BGC（SAS），
∴CE=CG，∠5=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴CK=EK=KG，
∴BE－AE= BE－BG=EG=EK＋KG =2CK．
（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．
理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．
∵DE⊥AE，∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°
∵∠EQA=∠CQB，
∴∠CAE=∠CBG，
在Rt△ACB中，tanα=，
在Rt△ADE中，tanα= ，
∴， DE=AE·tanα
∴△CAE∽△CBG，
∴∠ACE=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴EG=2CK，
∵BE－BG=EG=2CK，
∴BE－DE=2CK，
∴BE－AE•tanα=2CK．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.
17．（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为．
分析：
（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三角形全等的性质可求解；
（2）连接BD，由题意易得∠BAD=∠CAE，进而可证△BAD≌△CAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；
（3）如图，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根据相似三角形的性质及题意易证△BAE∽△CAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴，即，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝AC•BD＝BC•AC，
∴AC＝AE＝，AD＝，
∴AF=，CE＝2CF＝2×，
∴BE＝．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
18．（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或
分析：
（1）①由锐角三角函数可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC−CF＝（BC−CE），BE＝BC−CE，即可求；
②由垂直的定义可得AF⊥BE；
（2）由题意可证△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性质可证AF⊥BE；
（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴ ，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），
如图，连接，延长交于，交于点，
∵旋转，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）①如图，过点作交的延长线于点，
∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，且三点在同一直线上，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，且，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，
∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵旋转，∴，且，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O半径的长是．
分析：
（1）连接CE、OA，根据圆周角定理可得∠CEB=COB，根据∠COB＝∠AEB可得∠COA=∠COB，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；
（2）过点O作OF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得OD=OF，根据垂径定理可得BD=AB，BF=BE，根据勾股定理可得BD=BF，进而可得结论；
（3）根据等腰三角形的性质可得∠AEB=∠EAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠DBO=∠AET，根据∠P＝2∠AET可得∠P=∠ABE，进而可得∠POB=∠PBO，即可证明OP=PB，由∠ETB=∠PDB=90°可证明△BET∽△PBD，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得OD的长，利用勾股定理求出OB的长即可得答案．
【详解】
（1）如图，连接CE、OA，
∵∠COB和∠CEB分别是所对的圆心角和圆周角，
∴∠CEB=COB，
∵∠COB＝∠AEB，
∴∠CEB=∠AEB，
∴∠COA=∠COB，
∵OA=OB，
∴OC⊥AB．
（2）如图，过点O作OF⊥BE于F，
∵OB平分∠ABE，OD⊥AB，OF⊥BE，
∴OD=OF，BD=AB，BF=BE，
∵BD=，BF=，
∴BD=BF，
∴AB=BE．
（3）∵AB=BE，
∴∠AEB=∠EAB，
∵∠COB=∠AEB，
∴∠COB=∠BAE，
∵ET⊥AB，OC⊥AB，
∴∠BAE+∠AET=∠COB+∠DBO，
∴∠DBO=∠AET，
∵OB平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠DBO=2∠AET，
∵∠P=2∠AET，
∴∠P=∠ABE，
∴∠AEB=∠OBO，
∵∠AEB=∠EAB，
∴∠POB=∠PBO，
∴OP=PB，
∵∠ETB=∠PDB=90°，
∴△BET∽△PBD，
∴，
∵ET=18，OP=25，
∴2BD2=18×25，
解得：BD=15，（负值舍去）
∴PD==20，
∴OD=OP-PD=5，
∴OB==，即⊙O半径的长是．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键．
20．（1）①4； ②；（2）与能够相等，理由详见解析；（3）（3）能够相等，
分析：
（1）①根据，利用对应边成比例列式求出ED长；
②过点Q作，交AB于点H，交DC于点G，设，利用，对应边成比例列式求出x，得到这两个三角形其实是全等的，所以；
（2）过点作，交的延长线于点，延长交于点，构造“k”字型全等三角形，设，再利用相似三角形的性质列式求解；
（3）过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，同（2）构造“k”字型全等三角形，，再利用相似三角形的性质列式求解．
【详解】
（1）①∵，∴，∴，
，，
，解得，
故答案是：4；
②如图，过点Q作，交AB于点H，交DC于点G，
可得，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
设，，
∵，∴，
∴，，得，
∴，
根据，得，解得，
∴，
∴，∴，
故答案是：；
（2）与能够相等，，
如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，
，
又，
设，则，
，解得，
经检验，是该分式方程的根，
；
（3）能够相等，，
如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，根据“k”字型全等得，
设，则，
，解得，故的长为．
【点睛】
本题考查“k”字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造“k”字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解．
21．（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 ＝sinα
分析：
（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论．
（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得结论．
（3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，易得∠ACE＝∠BCF，＝，证明△ACE∽△BCF，得出sinα＝的最小值 ，则得出的最小值＝sinα．
【详解】
（1）连接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，
∴EC＝EF，∠CEF＝60°，
∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴＝1．
（2）不成立，结论：＝．
证明：连接BF，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴＝＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE＝α，
∴＝＝．
（3）结论：当点E为AD的中点时，的值最小，最小值为sinα．
连接BF，取AC的中点M，连接EM，
∵AB=AC，EC＝EF，∠BAC＝∠FEC＝2α，
∴∠ACB＝∠ECF，
∴△BAC∽△FEC，
＝，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∵D为BC的中点，M为AC的中点，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵当E为AD中点时，
又∵M为AC的中点，
∴EM∥CD,
∵CD⊥AD，
∴EM⊥AD,
此时，最小=sinα，
∴的最小值＝sinα．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
22．（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．
分析：
（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；
（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；
（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；
②当t+1=1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t=1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】
（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，
解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，
∴，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题．
23．（1）证明见解析；（2）正方形的面积可以为：，，1，．
分析：
（1）连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，证明△AGH≌△EGI可得AG=GE即△AGE为等腰直角三角形，再证明△ABE∽△AOG，可得，再结合正方形的性质可得，从而可证明结论．
（2）分正方形的一边恰好落在AE上，正方形的一边恰好落在AB上和正方形的一边恰好落在BE上三种情况讨论，画出对应图形，利用三角函数解直角三角形即可．
【详解】
解：(1)连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，
∴∠AHG=∠BIG=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=90°，∠BAC=∠ABD=∠CBD=45°，∠AOG=90°,,BD=2OD，
∴HG=GI（角平分线上的点到角两端距离相等），
∠HGI=360°-∠BHG-∠BIG-∠ABE=90°，
∵∠AGH=∠AGE-∠HGE=90°-∠HGE，∠IGE=∠IGH-∠HGE=90°-∠HGE,
∴∠AGH=∠IGE，
在△AGH和△EGI中，
∵
∴△AGH≌△EGI（ASA）
∴AG=GE,
∴△AGE为等腰直角三角形，∠EAG=45°，
∴∠BAE=45°-∠EAC=∠CAG,
∵∠ABC=∠AOG,
∴△ABE∽△AOG，
∴,
∴，
∴，
∴
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=4,
∵为中点，
∴BE=2,,
∴,
设AP=x，则
①若正方形的一边恰好落在AE上，分两种情况
如下图，若为正方形，
则 ，，
∴，
解得：，；
若为正方形，
则，
∴
解得：，；
②若正方形的一边恰好落在AB上，分两种情况
如下图，若为正方形，
则,
∴,，，
，
解得，；
若为正方形，
则，
∴，,
则，
解得，．
③若正方形的一边恰好落在BE上，
由可知，Q点和E点不可能重合，若P点和B点重合，如下：
此时AP=4，又，
∴，，
,故舍去．
综上所述：正方形的面积可以为：，，1，．
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形．（1）中能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键；（2）中能分类讨论，画出对应图形是解题关键．
24．（1）见解析；（2）；（3）．
分析：
（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果；
（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM=45°，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AC=AB，
同理可得AF=，
∴，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴；
（3）∵DM=1，CM=2，
∴AD=CD=1+2=3，
∴AM=，
∵△MFC∽△MCA，
∴，即，
∴FM=，
∴AF=AM﹣FM=，
∴AF=，
即正方形AEFG的边长为．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．
25．（1）；（2）；（3）当时，线段AM与DM的长度之和取得最小值．
分析：
（1）如图1，根据△ABC是等腰直角三角形，得BC=AC，由点D是BC边上的中点，可知2CD=AC，得AC与CD的比，证明△DCG∽△ACE，列比例式可得结论；
（2）如图2，连接AD，同理得△DCG∽△ACE，可得 ，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；
（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．想办法证明∠GDM=∠GDC=45°，设CH=a，则PC=2a，PH=DH=a，推出AC=2CD=2（a+a），由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1，
∵AB＝AC．∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝AC，
又∵点D是BC边上的中点，
∴BC＝2CD，
∴2CD＝AC，
∴＝＝，
∵∠CAE＝∠CDE，∠DCG＝∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图2．连接AD，
∵∠CAE＝∠CDE．∠ECA＝∠GCD，
∴△DCG∽△ACE，
∴＝，
又∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，AD⊥BC，
设AB＝AC＝5k．BD＝DC＝4k，
由勾股定理可得AD＝3k，
∵∠ECA＝∠GCD，
∴∠ACD＝∠ECG
∵
∴
∴△ADC∽△EGC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
可得EG⊥GC，
又∵D，G，E三点共线，
∴∠DGC＝90°，
又∵∠DCG＝30°，
可得DG＝2k，GC＝2k，
∴S△DGC＝×2k×k＝2k2，
S△ABC＝×8k×3k＝12k2，
∴＝＝；
故答案为：；
（3）如图3，当A，M．D三点共线时，AM+DM的值最小，
连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD．作PH⊥CD于点H，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵BC＝AC．∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝∠HPC＝30°，
∵BD＝CD，AC＝BC，
∴AC＝2CD，
∵∠CAE＝∠CDE，∠ECA＝∠GCD，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∴EC＝2CG，
又∵CG＝MG，
∴MC＝CE，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠MCE＝60°，
∴△MCE是等边三角形，
又∵O是中点，
∴DC＝CO，∠ECO＝∠MCD，MC＝CE，
∴△MDC≌△EOC（SAS），
∴OE＝DM，
又∵∠CDE＝∠CAE，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AO＝OC，
∴EO＝OC＝CD＝MD，
又∵CG＝GM，CD＝DM，
∴∠GDM＝∠GDC＝45°，∠PDH＝∠DPH＝45°，
∴PH＝DH，
设CH＝a，则PC＝2a，PH＝DH＝，
∴AC＝2CD＝2（a+），
∴．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
26．（1）BE＝DF，BE⊥DF
（2）不成立；结论：DF＝nBE，BE⊥DF；理由见解析
（3）4﹣3或4＋3
分析：
（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案为：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如图3中，结论不成立，结论：DF＝nBE，BE⊥DF，
∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AF＝nAE，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE＝AF∶AE＝n，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF；
（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝＝3，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝4，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝3，
∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；
如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，
∴PD＝DF＋PF＝4＋3，
综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4＋3.
【点睛】
此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题.
27．（1）；（2）的大小无变化，证明见解析；（3）或
分析：
（1延长FG交BC于点H，可根据题意分别求出，的长，即可求的值；
（2）连接，先由勾股定理计算的值，再计算，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可；
（3）采用分类讨论法解题，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，据此分别求解即可.
【详解】
（1）解：延长FG交BC于点H，
则
，
，
故答案为：
（2）的大小无变化.
证明：如图（1），连接，
由题意可知：，
∴，
即，
在矩形中，，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
如图（2），图（3）：
如图（2），当点在线段上，由（2）知，，，在中，
；
当点在的延长线上时，由（2）知，，，在中，
综上所述，或
【点睛】
本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.
28．（1）；（2）①；②．
分析：
（1）结合题意，可得，结合∠ABC=70°，即可计算得；
（2）①由∠BAC=45°，∠ACB=90°，可得 ,；结合点P是△ABC的“等角点”，得，从而得到，通过相似比即可得到答案；
②由（2）①可知，相似比可得CP和AP的关系，通过证明，得；将CP、AP关系式代入到三角函数，从而完成求解．
【详解】
（1） ∵∠PBC=∠PCA=∠PAB
∴
∵∠ABC=70°
∴
∴
（2）①∵∠BAC=45°，∠ACB=90°
∴∠ABC=45°
∴ ,
∵点P是△ABC的“等角点”
∴∠PBC =∠PAB
∴
∴
∴
②由（2）①得
∴
∵∠ACB=90°
∴
∵∠PBC=∠PCA
∴
∴，即
∴
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、直角三角形、三角函数的性质，从而完成求解．
29．（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
分析：
（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】
（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
30．（1）的度数为；（2）的度数为；（3）线段长度的最小值为
分析：
（1）通过证明可得，再由三角形内角和定理进行求解即可；
（2）通过证明可得，，可证，可得，由外角性质可得，再有三角形内角和定理进行求解即可；
（3）由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，如图③将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ，可得，OK=NQ，MO=MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵与是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MK
∴，
∴是等边三角形
∴，
如下图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ
∴，
∴OK=NQ，MO=MQ
∴是等边三角形
∴
∴
∵OK=NQ
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值
∵点的坐标为
∴
∵轴，
∴
∴线段OK长度的最小值为．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．
31．（1）2；（2）；（3）的值最大，此时.
分析：
(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而AC=2即可求解.
(2)过点B作BH⊥CD于H，求得△CBH三边之比为，进而求出CH和BH的长，再求得△DBH为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.
(3)证明，再取的中点，以为圆心，为半径作，连接，得出D点的运动轨迹为以H为圆心，HA为半径的圆，当CD是该圆的直径时CD最大，即可求解.
【详解】
解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’
又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形
∴.
故答案为.
(2)如图2中，作于，如下图所示：
是等边三角形，
，
，
，且△DBH为等腰直角三角形，
.
.
故答案为：.
的长有最大值为，理由如下，如下图3中，
取的中点，以为圆心，为半径作，连接．
，
∴
点的运动轨迹是以H为圆心，HA为半径的圆，当CD是该圆的直径时CD最大,
故时，
的值最大，此时.
故答案为.
【点睛】
本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.
32．问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
分析：
问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】
问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
33．（1） （2）①，2 ②（1，3）或（，）
分析：
（1）将，的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；
（2）①将等腰三角形分两种情况进行讨论，即可分别求出的值；②当点落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点落在轴上，一种是点落在轴上，分情况即可求出点的坐标．
【详解】
解：（1）抛物线经过，，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）直线BC经过，，设直线BC的解析式为：
由题意得
解得：
直线BC的解析式为
点在抛物线在第一象限内的图象上，点的横坐标为，
，，
①轴，交直线于点，
，
，
，
，
，
当时，，
解得，（舍去）；
当时，，
即，
，
解得，（舍去）；
综上，当是等腰三角形时，的值为，2；
②存在，理由如下：
当点落在坐标轴上时，存在两种情形：
如图1，当点落在轴上时，点在直线上，
，
解得，（舍去），
；
如图2，当点落在轴上时，△，
，
，
，
，
，
在中，，
，
则，，
综上所述，当点落在坐标轴上时，点的坐标为或，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，等腰三角形的存在性等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
34．（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
分析：
（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
（2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】
（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴为等腰直角三角形
连接BD，如图所示
∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：
此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：
此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
【点睛】
本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键．
35．(1)证明见详解；(2)； (3)．
分析：
（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可以判断△ABE∽△CBD．
（2）根据相似三角形的性质得到AB=BC=，根据勾股定理得AF===，如图1，E在线段AF上，AE=AF－EF=，从而求出CD的长．
（3）如图2，延长EF到G，使FG=EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=BF=，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线定理得到AG=2FM，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】
解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴ ，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝ ，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝ ，
∵当点E在线段AF上时CD的长，
∵∠AFB＝90°，
∴AF===，
如图1，AE＝AF﹣EF＝﹣2，
∴CD＝﹣；
所以CD的长为﹣．
（3）如图2，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴≤AG≤，
∴≤FM≤．
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合内容，这涉及到相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形中位线定理，能正确做出相关的辅助线是解决本体的关键．
36．（1）①；②
（2）或或或
分析：
（1）①利用等腰直角三角形的性质，易证AC＝BC，∠A＝45°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，利用旋转的性质，可证得△DCF是等腰直角三角形，从而可求出DF的长，再证明DF∥BC，可得到四边形DFCB是平行四边形，利用平行四边形的对角线的性质，可证得BF＝2GF，DC＝2CG，继而可求出CG的长，然后利用勾股定理求出GF的长，从而可求出BF的长；②如图，连接AF，取AB的中点T，连接GT，利用等腰直角三角形的性质，可证得CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，利用SAS证明△ACF≌△BCD，利用全等三角形的性质可得到∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，从而可证AF⊥AB，即可得到TG∥AF，就可推出TG⊥AB，由此可得点G的运动轨迹是Rt△ABC斜边的中线，即可求出点G的运动路径长．
（2）分情况讨论：当点G在直线EF上时，过点D作DJ⊥AC于点J，设AJ＝DJ＝x，则EJ＝3－x，易证△DEJ∽△EBC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AJ，DJ的长，在等腰直角△ADJ中，利用解直角三角形求出AD的长；当点G在直线DF上时，利用解直角三角形求出AD的长；当点G在直线DE上时，过点F作FT⊥CA交CA的延长线于点T，过点G作GK⊥AC于点K，过点D作DJ⊥AC于点J，设FT＝AT＝y，用含y的代数式表示出KG，EK的长，再证明△FET∽△EGK，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于y的方程，解方程求出y的值，就可得到TF，TE的长，然后求出DJ的长，利用解直角三角形求出AD的长；当点G在直线DF上时，点D与点B重合，求出AD的长即可．
【详解】
（1）解：如图，
①当点E与点C重合时．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠A＝45°，
∴AC＝BC＝ABsin∠A＝sin45°＝；
∵将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，
∴∠DCE＝90°，DE＝CF
∴△DCF是等腰直角三角形，
∵AD＝CD＝CF＝BD＝，∠DFC＝∠CDF＝45°
∴
∴BC＝DF，
∴∠A＝∠DCA＝45°，
∴∠ADC＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠ADF＝90°－45°＝45°＝∠ABC
∴DF∥BC
∴四边形DFCB是平行四边形，
∴BF＝2GF，DC＝2CG
∴CG＝
在Rt△EFG中
∴BF＝；
②如图，连接AF，取AB的中点T，连接GT
∵△ACB和△CDF是等腰直角三角形，
CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，
∴∠ACF＝∠BCD，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，
∴∠BAF＝∠CAF＋∠CAB＝90°，
∴AF⊥AB，
∵AT＝TB，BG＝GF，
∴TG∥AF，
∴TG⊥AB，
∴点G的运动轨迹是Rt△ABC斜边的中线，运动的路径的长为；
（2）解：如图，当点G在直线EF上时，过点D作DJ⊥AC于点J，
设AJ＝DJ＝x，则EJ＝3－x，
∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，
∴∠DEJ＋∠CEB＝90°，∠CEB＋∠CBE＝90°，
∴∠DEJ＝∠CEB
∴△DEJ∽△EBC
∴
∴
解之：
∴
∴；
当点G在直线DF上时，
由题意得：
当点G在直线DE上时，过点F作FT⊥CA交CA的延长线于点T，过点G作GK⊥AC于点K，过点D作DJ⊥AC于点J，
设FT＝AT＝y，
∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，
∴TK＝KC，
∴
∴
∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，
易证∠FET＝∠EGK
∴△FET∽△EGK
∴
∴
整理得：2y2＋9y－6＝0
解之：（取正值），
∴
易证△FET≌△EDJ，
∴
当点G在直线DF上时，点D与点B重合，此时
∴AD的长为或或或．
【点晴】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题，
37．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
分析：
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论；
（2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE•CF；
（3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵，，CD是中线，
∴，，
∴．
在与中，，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴．
∴．
∴，即．
（3）如图，过D作于点G，
则，．
当，时，
由，得．
在中，
．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
38．（1）BE＝DG，BE⊥DG，见解析；（2）5﹣5；（3）6或8
分析：
（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；
（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．
【详解】
解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，
理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，

∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
∴∠GAD＝∠EAB，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠ABE+∠ANB＝90°，
∴∠ADG+∠DNH＝90°，
∴∠DHN＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，
∴∠GAD＝∠EAB，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，
∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，
∴∠DEB＝90°，
∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，
∴GE＝5﹣5，
∴AE＝＝5﹣5，
当点E在线段DG上时，

同理可求AE＝5﹣5，
故答案为：5﹣5；
（3）如图，若点G在线段DE上时，

∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，
∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE，
又∵，
∴△AGD∽△AEB，
∴，∠DGA＝∠AEB，
∴BE＝DG，
∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，
∴∠GAE＝∠DEB＝90°，
∵DB2＝DE2+BE2，
∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，
∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），
∴BE＝12，
∵点M，N分别是BD，DE的中点，
∴MN＝BE＝6；
如图，当点E在线段DG上时，

同理可求：BE＝16，
∵点M，N分别是BD，DE的中点，
∴MN＝BE＝8，
综上所述：MN为6或8，
故答案为：6或8．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
39．（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）或．
分析：
（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出；
（2）当在Rt△ADE和Rt△ABC中，，证明△ABD∽△ACE，求出BD与CE的比例；
（3）分两种情况求出BD的长即可．
【详解】
（1）相等;
提示：如图4所示．
∵△ADE和△ABC均为等边三角形，
∴
∴
∴
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴．
（2）不成立；
理由如下：如图5所示．
在Rt△ADE和Rt△ABC中，
∵
∴
∴
∵
∴△ABD∽△ACE
∴
∴
故（1）中的结论不成立；
（3）或．
提示:分为两种情况：
①如图6所示．
易证：△ABD≌△ACE（SAS）
∴
∴
∴
由题意可知：
设,则
在Rt△BCE中,由勾股定理得：
∴
解之得:（舍去）
∴；
②如图7所示．
易证：△ABD≌△ACE（SAS），
设，则
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴
解之得：（舍去）
∴.
综上所述，或．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题．
40．（1）证明见解析；（2）①补全图形见解析；，证明见解析；②
分析：
（1）先计算AB的长，再根据勾股定理的逆定理判定，然后根据直角三角形的性质和圆周角定理的推论即可证得结论；
（2）①根据题意即可补全图形，如图3，由旋转的性质得：，然后根据（1）的结论、四边形的内角和和周角的定义即可推出，再根据勾股定理和等量代换即可得出结论；
②如图4，过点作于，先根据△ABC的面积求出CH的长，再根据勾股定理和线段的和差关系求出AH和HE的长，进而可求出CE的长，由可得其正弦相等，进而可求出CD的长，然后由①的结论可求出DF的长，又易证，然后根据相似三角形的性质即可求出AD的长．
【详解】
（1）证明：，
，
，，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：①补全图形如图3所示；
CD、DE、DF之间的数量关系是：，理由如下：
如图 3，由旋转的性质得：，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
如图4，过点作，垂足为，
则由△ABC的面积可得：，
，
，
∵CD是直径，∴∠CED=90°，
，，
，
，即：，解得，
∴，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理、圆周角定理的推论、旋转的性质、按要求画图、三角形的面积和相似三角形的判定与性质等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握勾股定理及其逆定理以及相似三角形的判定和性质、灵活应用所学知识是解题的关键．
41．（1），；（2）或；（3）（3）．
分析：
（1）证明△CBD∽△ABE，相似比为，△ABE可以看做△CBD绕点B逆时针旋转45°后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是45°；
（2）证明，得到，分点在线段上和点在线段延长线上两类讨论，分别求出AE长，即可求出CD；
（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，则△BFG为等腰直角三角形，求出BG，证明MF=，根据三角形三边关系求出AG取值范围，问题得解．
【详解】
解：（1）由题意得，△ABC, △EBD都是等腰直角三角形，
∴,
∴
∴△CBD∽△ABE
∴,△ABE可以看做△CBD绕点B逆时针旋转45°后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是45°；
（2）∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，∴．
∴，∴．
∵，∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，∴．
如图2，当点在线段上时，，∴；
如图3，当点在线段延长线上时，，∴．
综上所述，当时，线段的长为或；
（3）延长EF到G使得FG=EF，连接AG，BG，
则△BFG为等腰直角三角形，
∴BG=BF=，
∵M为AE中点，F为EG中点，
∴MF为△EAG中位线，
∴MF=，
在△ABG中，∵AB-BG≤AG≤AB+BG，
∴≤AG≤，
∴≤MF≤ ．
分析：
本题为相似的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，解题关键是找到图形中的旋转相似，注意运用好分类讨论的数学思想，问题3中要善于构造中位线解决问题．
42．（1）①AE=BF；证明见解析；②DF=；（2）DF=．
分析：
（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，
②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，
（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．
【详解】
（1）①AE=BF，理由如下：
证明：∵ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF
∵∠BOD=∠AOC=180°
∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE
即∠BOF=∠AOE
∴△BOF≌△AOE（SAS），
∴BF=AE
②∵OB=OD=OF，
∴∠BFD=90°
∴△BFD为直角三角形，
∴，
∵BF=AE
∴
∵BD=7，AE=
∴DF=
（2））∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，
∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD
∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB
∴ ，且∠EOA=∠FOB
∴△AOE∽△BOF，
∴


∵OB=OF=OD
∴△BDF是直角三角形，
∴

【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOE∽△BOF是解本题的关键．
43．（1）①1；②；（2），．理由见解析；（3）2或4．
分析：
（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；
（2）根据锐角三角比可得，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，根据相似撒尿性的性质求解即可；
（3）当点与点在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD的长．
【详解】
（1）①∵，
∴∠BOD=∠AOC，
又∵，，
∴△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，
∴=1；
②∵，
∴∠OAB+∠OBA=140°，
∵△BOD≌△AOC，
∴∠CAO=∠DBO，
∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，
∴∠AMB=；
（2）如图2，
，．理由如下：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，∠CAO=∠DBO，
∵∠BEO+∠DBO=90°，
∴∠CAE+∠AEM=90°，
∴∠AMB=90°；
（3） ∵∠A=30°，，
∴OA==3．
如图3，当点D和点A在点O的同侧时，
∵，
∴AD=3-2=2；
如图4，当点D和点A在点O的两侧时，
∵，，OA=3
∴AD=3+1=4．
综上可知，AD的长是2或4．
【点睛】
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
44．（1）见解析；（2）见解析；（3）
分析：
（1）先证∠ACB=∠ADB=90°，再由平行得，由垂直得，再根据角度转换得，即可证明△AED∽△DGB；
（2）连接，证明，即可证明，从而解决本题；
（3）先证∽，得到，再根据OA=4，然后求出，从而求出弧长.
【详解】
（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵，
∴，
∵DG⊥AB，
∴，
∴
∵，
∴
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAG，
∴
∴∽
（2）连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF是⊙O的切线；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴∽，
∴，
∵OA=4，
∴AB=8，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质定理是解决本题的关键.
45．（1）①，②t＝0时，最大值为2；（2）
分析：
（1）①由题意，令y=0，解得C（-2，0），D（6，0）得CD=8，令x=0，解得y=-12a，且a>0，A（0，-12a），即OA=12a，由S△ACD==48a=16，解得：a＝，所求抛物线的解析式为y＝(x+2)(x−6)= x2−x−4；
②由于∠SP1P-∠SC1C=∠SCC1，且∠MSC=∠NSP1∴△MSC∽△NSP1得，设S（t，0）（0≤t≤6），则SP=(t+2)(t−6)，SC=t+2，可得t=0时，最大值为2；
（2）分两种情况讨论，①由直线y=x-12a与x轴交于点B得B（12a，0），OA=OB=12a，∠OAB=∠OBA=45°，当点N在y轴的左侧时，此时∠MAO=30°得直线AM的解析式为：得点M的横坐标为得
②当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F，易证：△EBA≌△FBA，得∠BAF=75°，BF=BE=，∠FBO=90°，得直线AF的解析式为：，点G横坐标为，点A关于抛物线对称轴x=2的对称点的坐标为：（4，-12a），则，得，因此满足∠MAB=75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：．
【详解】
解：（1）①由题意，令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6
∴C（﹣2，0），D（6，0）
∴CD＝8．
令x＝0，解得y＝﹣12a，且a＞0
∴A（0，﹣12a），即OA＝12a
∴S△ACD＝＝48a＝16，
解得：
所求抛物线的解析式为＝
②由题意知，∠SP1P﹣∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1
∴△MSC∽△NSP1
∴
设S（t，0）（0≤t≤6），则SP＝，SC＝t+2
∴
∵0≤t≤6
∴t＝0时，最大值为2；
（2）由题意，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B得B（12a，0），OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°
如图2
当点M在y轴的左侧时，此时∠MAO＝30°
设直线AM与x轴交于点E，则OE＝
∴
又∵A（0，﹣12a），
∴直线AM的解析式为：
由得：
解得：
∴点M的横坐标为
∵
②当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F，
易证：△EBA≌△FBA，
得∠BAF＝75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°
∴
∴直线AF的解析式为：
由，解得：
∴点G横坐标为，
点A关于抛物线对称轴x＝2的对称点的坐标为：（4，﹣12a），
则，得，
故要使满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与其他函数图象相结合的问题，解题过程中利用相似三角形的判定与性质、方程组、全等三角形的判定及性质的知识，关键是结合图形找出相应的关系，贯穿了数形结合思想的应用．
46． 4
分析：
根据仅当C在OB上时等号成立，由折叠性质可知OA=OC，从而求出BC的最小值；再证明，而且相似比为：1，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，由此画出图形即可得出格点的个数．
【详解】
解：如图，连接OB，AD．
∵，
∴，
又∵仅当C在OB上时等号成立，
∴BC的最小值，
又∵，
∴BC的最小值，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴如图：点D在以为半径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点D在处，当点P与点B重合时，点D在处，
∴线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个．
故答案为：，4．
【点睛】
本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，再根据画图得出结论．
47．
分析：
连接BD，BF，FD，证明△EBC∽△FBD，根据题意，知道M，F，D三点一线时，FM最小，然后过点M作MG⊥BD，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG和DG的长，再根据正切的定义计算即可．
【详解】
解：连接BD，BF，FD，如图，
∵，
∴，
∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，
∴∠FBD=∠EBC，
∴△EBC∽△FBD，
∴∠FDB=∠ECB，，
∴DF=，
由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，
∴当M，F，D三点一线时，FM最小，
过点M作MN⊥BD，垂足为G，
∵∠MBN=45°，BM=AB=4，
∴MN=BN=2，
∵MD==4，
∴DG==6，
∴=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键．
48．5
分析：
如图，构造等腰Rt△CBG，∠CBG=90°，则由△CGE∽△CBD，得GE=BD，即可求得点E运动的路径长．
【详解】
如图：作GB⊥BC于B，取GB=BC，
当点D与点B重合时，则点E与点G重合，
∴∠CBG=90°，
∴CG=BC，∠GCB=45，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CE=DC，∠ECD=45，
∴∠BCD+∠DCG =∠GCE+∠DCG =45，
∴∠BCD =∠GCE，且，
∴△CGE∽△CBD，
∴，即GE=BD，
∵BD=5，
∴点E运动的路径长为GE=BD=5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
49．或
分析：
根据得到点是的中点，再分两种情况讨论，①如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形；利用相似三角形的性质即可求出EF；②答案如图2．当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，得到，，同①即可求出EF．
【详解】
解：∵，
∴点是的中点，
又∵点在正方形的对称轴上，
∴分以下两种情况讨论：
①如答案图l，当点在对角线上时，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形为矩形，
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，由折叠可知，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴；
②如答案图2．当点在的中垂线上时，为的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点，
则，，
∴，同理①可得，
综上所述，折痕的长为或．
【点睛】
本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
50．
分析：
延长GE交AB于点M，作于首先求出AG、AH，由ADN∽，得，求出DN、AN，HN，在中利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
延长GE交AB于点M，作于N．
四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，
四边形BFGM是矩形，
，
，
，
，
点H为AG的中点，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
在中，．
故答案为．
【点睛】
本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．