沪教版九年级上册数学专题训练专题23相似三角形压轴题(50题)填空题专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题23相似三角形压轴题(50题)填空题专练(原卷版+解析)，共87页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．如图，直线y=﹣x+2与x轴y轴分别交于A、C两点，以AC为对角线作第一个矩形ABCO，对角线交点为A1，再以CA1为对角线作第二个矩形A1B1CO1，对角线交点为A2，同法作第三个矩形A2B2CO2对角线交点为A3，…以此类推，则第2020个矩形对角线交点A2020的坐标为_____．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为______．
3．在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，是线段上的一个动点（点、除外），在轴上方存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，则的长度为____________．
4．如图，已知 ，将⊿以点为位似中心，相似比为2:1，放大到⊿，则顶点的对应点的坐标为 ______ ．
5．如图，已知点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DFBC，交AB于点F，若△ABC的面积为18，则□BEDF的面积为_______.
6．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点，，均为格点，点，分别为线段，上的动点，且满足．
(1)线段的长度等于__________；
(2)当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段和，并简要说明你是怎么画出点Q，P的：_______________________．
7．如图，，则________．
8．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．当△CGF是直角三角形时，线段AE的长为______．
9．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）位似图形．
10．（2016广西桂林市）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=_______．
11．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△折叠至△，点在⊙O上，延长交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=____，⊙O半径=________．
12．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，2∠BAC+∠ACB＝90°，且∠BCD＝∠BAC，若AB＝5，CD＝5，则AC的长为___________．
13．如图，在四边形中，于点，，且，当，时，线段的长度为______．
14．如图，在矩形中，，点分别是上的两点，连接，将矩形沿折叠，使点恰好落在边上的中点处，连接则折痕的长为_____．
15．如图，在中，，P为边上一动点，连接将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为_______．
16．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝70°，点 M，N 分别在 AB，AC 上，且＝，＝，点 P1、P2…Pn﹣1 是边 BC 的 n 等分点，则∠MP1N+∠MP2N+∠MP3N+…+∠MPn﹣1N＝_____．
17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，
（I）△ABC是_____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）：
（Ⅱ）若P，Q分别为边AB，BC上的动点，当PC+PQ取得最小值时，在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC，PQ，并简要说明点2的位置是如何找到的（不要求证明）.
________________________________________________________________________________
18．在正方形ABCD中，AD＝2，点E是线段AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使B点落在点F处，对角线BD与CF、CE分别相交于点M、N，则MN的长为_____
19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_____．
20．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
21．如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、…；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、…，则________．
22．如图，边长为3的等边三角形ABC中，点M在直线BC上，点在直线上，且∠BAM＝∠CBN，当BM＝1时，___．
23．如图，在中，，，，．点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，则的长为__________．
24．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为__________．
25．如图，个全等的等腰三角形的底边在同一条直线上，底角顶点依次重合．连接第一个三角形的底角顶点和第个三角形的顶角顶点交于点，则_________．
26．在中，，点、分别在边、上，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么__________．
27．若===0.5，则 =_____.
28．如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为_____
29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn－1Nn－1，BNn－1，BPn－1上，且四边形MnNn－1NnPn是正方形，则线段BN2020的长度是__________．
30．如图，，，……在直线上，，，……在直线上，，四边形为正方形，则四边形的面积是__________．
31．如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4， M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N 作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=________．
32．如图， ，,若与相似，则的长度为____．
33．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝____________.
34．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点C作CH⊥DF，交DF的延长线于点H．若AB＝4，BE＝BC，则CH＝_____．
35．如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则=________．
36．如图，在直角三角形中，是的平分线，且，则____．
37．中，，，，将此三角形绕点旋转，当点落在直线上的点处时，点落在点处，此时点到直线的距离为_____．
38．如图，已知△ABC为等边三角形，点E为△ABC内部一点，△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，且A、D、E三点在同一直线上，AD与BC交于点F，则以下结论中：①△BED为等边三角形；②△BED与△ABC的相似比始终不变；③△BDE∽△ADB；④当∠BAE＝45°时， 其中正确的有_____（填写序号即可）．
39．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BCD=90°, ∠CAD=45°,CD=6,BC=8,则AC的长为_______．
40．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到BC边时，小球P所经过的路程为_______；当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为_______；当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为_________．
41．如图在正方形ABCD中，点M为BC边上一点，，以M为直角顶点作等腰直角三角形MEF，点E在对角线BD上，点F在正方形外EF交BC于点N，连CF，若，，则______．
42．高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是_________m.
43．如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．
44．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为_____．
45．如图，已知在△ABC中，点D在AB上，BD＝CD＝3，AD＝2，∠ACB＝60°，那么AC的长等于_____．
46．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值为_____．
47．如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AD上任意一点，过点C作CF//AB，交BE的延长线于点F，BF交AC于点G，连CB，下列结论正确的序号为_____________．
①AD平分∠BAC、②BE=CE、③BE=EG、④若BE=3，GE=2，则GF=．
48．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是______．
49．如图，在中，.动点以每秒个单位的速度从点开始向点移动，直线从与重合的位置开始，以相同的速度沿方向平行移动，且分别与边交于两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点移动到与点重合时，点和直线同时停止运动.在移动过程中，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，连接，当时，的值为___________.
50．在中，，，，点G是的重心，GH垂直于AB，垂足为H，则________.
专题23 相似三角形压轴题（50题）填空题专练
一、填空题
1．如图，直线y=﹣x+2与x轴y轴分别交于A、C两点，以AC为对角线作第一个矩形ABCO，对角线交点为A1，再以CA1为对角线作第二个矩形A1B1CO1，对角线交点为A2，同法作第三个矩形A2B2CO2对角线交点为A3，…以此类推，则第2020个矩形对角线交点A2020的坐标为_____．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为______．
3．在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，是线段上的一个动点（点、除外），在轴上方存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，则的长度为____________．
4．如图，已知 ，将⊿以点为位似中心，相似比为2:1，放大到⊿，则顶点的对应点的坐标为 ______ ．
5．如图，已知点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DFBC，交AB于点F，若△ABC的面积为18，则□BEDF的面积为_______.
6．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点，，均为格点，点，分别为线段，上的动点，且满足．
(1)线段的长度等于__________；
(2)当线段取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段和，并简要说明你是怎么画出点Q，P的：_______________________．
7．如图，，则________．
8．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．当△CGF是直角三角形时，线段AE的长为______．
9．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）位似图形．
10．（2016广西桂林市）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=_______．
11．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△折叠至△，点在⊙O上，延长交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=____，⊙O半径=________．
12．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，2∠BAC+∠ACB＝90°，且∠BCD＝∠BAC，若AB＝5，CD＝5，则AC的长为___________．
13．如图，在四边形中，于点，，且，当，时，线段的长度为______．
14．如图，在矩形中，，点分别是上的两点，连接，将矩形沿折叠，使点恰好落在边上的中点处，连接则折痕的长为_____．
15．如图，在中，，P为边上一动点，连接将线段绕点A顺时针旋转至，则线段的最小值为_______．
16．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝70°，点 M，N 分别在 AB，AC 上，且＝，＝，点 P1、P2…Pn﹣1 是边 BC 的 n 等分点，则∠MP1N+∠MP2N+∠MP3N+…+∠MPn﹣1N＝_____．
17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，
（I）△ABC是_____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）：
（Ⅱ）若P，Q分别为边AB，BC上的动点，当PC+PQ取得最小值时，在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC，PQ，并简要说明点2的位置是如何找到的（不要求证明）.
________________________________________________________________________________
18．在正方形ABCD中，AD＝2，点E是线段AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE翻折，使B点落在点F处，对角线BD与CF、CE分别相交于点M、N，则MN的长为_____
19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=_____．
20．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
21．如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、…；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、…，则________．
22．如图，边长为3的等边三角形ABC中，点M在直线BC上，点在直线上，且∠BAM＝∠CBN，当BM＝1时，___．
23．如图，在中，，，，．点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，则的长为__________．
24．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为__________．
25．如图，个全等的等腰三角形的底边在同一条直线上，底角顶点依次重合．连接第一个三角形的底角顶点和第个三角形的顶角顶点交于点，则_________．
26．在中，，点、分别在边、上，，（如图），沿直线翻折，翻折后的点落在内部的点，直线与边相交于点，如果，那么__________．
27．若===0.5，则 =_____.
28．如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为_____
29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1，N1，P1分别在AC，BC，AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1，BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn－1Nn－1，BNn－1，BPn－1上，且四边形MnNn－1NnPn是正方形，则线段BN2020的长度是__________．
30．如图，，，……在直线上，，，……在直线上，，四边形为正方形，则四边形的面积是__________．
31．如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4， M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N 作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=________．
32．如图， ，,若与相似，则的长度为____．
33．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝____________.
34．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点C作CH⊥DF，交DF的延长线于点H．若AB＝4，BE＝BC，则CH＝_____．
35．如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则=________．
36．如图，在直角三角形中，是的平分线，且，则____．
37．中，，，，将此三角形绕点旋转，当点落在直线上的点处时，点落在点处，此时点到直线的距离为_____．
38．如图，已知△ABC为等边三角形，点E为△ABC内部一点，△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，且A、D、E三点在同一直线上，AD与BC交于点F，则以下结论中：①△BED为等边三角形；②△BED与△ABC的相似比始终不变；③△BDE∽△ADB；④当∠BAE＝45°时， 其中正确的有_____（填写序号即可）．
39．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BCD=90°, ∠CAD=45°,CD=6,BC=8,则AC的长为_______．
40．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到BC边时，小球P所经过的路程为_______；当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为_______；当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为_________．
41．如图在正方形ABCD中，点M为BC边上一点，，以M为直角顶点作等腰直角三角形MEF，点E在对角线BD上，点F在正方形外EF交BC于点N，连CF，若，，则______．
42．高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是_________m.
43．如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．
44．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为_____．
45．如图，已知在△ABC中，点D在AB上，BD＝CD＝3，AD＝2，∠ACB＝60°，那么AC的长等于_____．
46．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值为_____．
47．如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AD上任意一点，过点C作CF//AB，交BE的延长线于点F，BF交AC于点G，连CB，下列结论正确的序号为_____________．
①AD平分∠BAC、②BE=CE、③BE=EG、④若BE=3，GE=2，则GF=．
48．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是______．
49．如图，在中，.动点以每秒个单位的速度从点开始向点移动，直线从与重合的位置开始，以相同的速度沿方向平行移动，且分别与边交于两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点移动到与点重合时，点和直线同时停止运动.在移动过程中，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，连接，当时，的值为___________.
50．在中，，，，点G是的重心，GH垂直于AB，垂足为H，则________.
参考答案
1．(2﹣，)
分析：
先根据矩形的性质以及相似三角形的判定定理证得：，且相似比是（）n，即可求得AnOn，OOn的长，进而确定An的坐标，即可求得A2020的坐标．
【详解】
解：在y=﹣x+2中
令x=0，解得：y=2；令y=0，解得：x=2.
∴则OC=2,OA=2.
∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，O1A1//OA，
∴，相似比为，
同理：，相似比是（ ）n；
∴
∴
∴An的坐标为
∴A2020的坐标为(2﹣，)
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，证得且确定相似比（ ）n是解答本题的关键．
2．32
分析：
设CD为x，过A作AZ⊥BC于Z，过B作BN⊥CA的延长线于N，过E作EM⊥CA的延长线于M，由△AZC∽△BNC，得到BN=8，进而AN=6，CN=16，由△MED≌△NDB，得到ME为关于x的代数值，所以SCDE=CD×ME，为关于x的一元二次函数，最大值即为最后结果.
【详解】
设CD=x，过A作AZ⊥BC于Z，过B作BN⊥CA的延长线于N，过E作EM⊥CA的延长线于M，如图，
∵AB=AC，∴ZC=BC=4√5，
∵AC=10，∴AZ=2√5，△AZC∽△BNC，
∴=，∴BN=8，根据勾股定理，
∴AN=6，CN=16，易知△MED≌△NDB，
∴ME=DN=CN-CD=16-x，
∵CD=x，∴SCDE=CD×ME=x(16-x)=x²+8x，
∴面积最大时，x取-=8，Smax=32，
故答案为32.
【点睛】
本题主要考查相似三角形，等腰三角形的判定及定理，以及勾股定理的灵活运用，作出辅助线是解题的关键.
3．5或9.6
分析：
分两种情形讨论①OB为边，②OB为对角线，分别求出点N坐标即可求出的长度．
【详解】
如图，当OB为边时，四边形OBNM是菱形，连接ON交AB于H，延长NM交OA于E,
由 得到
∴点N坐标 则
如图当OB为对角线时，易知点N坐标（-4，3）．
∴
综上所述以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，的长度为9.6或4.
【点睛】
本题考查一次函数图象上的点坐标特征，菱形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
4．(-4,-6)或(4,6)
分析：
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或- k进行解答．
【详解】
解：∵以原点0为位似中心，相似比为2: 1，将△OAB放大为⊿, B (2, 3),
则顶点的对应点B的坐标为(-4, -6)或(4, 6)．
故答案为:(-4, -6)或(4, 6)．
【点睛】
本题考查了位似变换:位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5．8
分析：
连接CP并延长交AB于G．由CP：PG=2：1，推出CE：BC=2：3，AD：AC=1：3，由△CED∽△CBA，△AFD∽△ABC，推出S△CED=×S△ABC=8，S△AFD=×S△ABC=2，由此即可解决问题．
【详解】
如图，连接CP并延长交AB于G．
∵点P是△ABC的重心，∴CP：PG=2：1．
∵DE∥AB，∴CE：BE=2：1，AD：CD=1：2，∴CE：CB=2：3，AD：AC=1：3．
∵ED∥AB，DF∥BC，∴△CED∽△CBA，△AFD∽△ABC，∴S△CED=×S△ABC=8，S△AFD=×S△ABC=2，∴S平行四边形BEDF=S△ABC﹣S△CED﹣S△AFD=18﹣8﹣2=8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
6．5 取格点．连接，它们相交于点，连接，分别交于点，则线段和即为所求．
分析：
（1）利用勾股定理求出AB的长即可；（2）要使AQ+PC有最小值，则应把AQ与PC转换到一条直线，利用全等三角形可确定∠QBT的位置，连接EF，利用相似三角形可确定T点位置，连接AT交BC于Q，则QT=PC，根据全等三角形确定∠ACP，据此即可得出点P、Q的位置.
【详解】
(1)AB==5.
(2)∵要使AQ+PC有最小值，
∴应把AQ与PC转换到一条直线，即使QT=PC，得AQ+PC=AT，
∴作△BQT≌△APC即可，
∴应作∠CBT=∠BAC，BT=AC=3，
∴连接BD，则∠CBT=∠BAC，
∵BD=5，
∴要使BT=3，则=，
∴连接EF，则==，即BT=3，
∴连接AT，交BC于Q，则Q点即为所求，
∵△BQT≌△APC，
∴∠BTA=∠ACP，
∴只要作△ABT的全等三角形即可，
∵AC=BT，∠ABT=90°，AB=5，
∴作GA⊥AC，AG=5，则△ABT≌△GAC，
∴连接CG，交AB于P，则∠ACP=∠ATB，则P点即为所求.
故答案为5；取格点．连接，它们相交于点，连接，分别交于点，则线段和即为所求．
【点睛】
本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键.
7．
解析：
分析：
根据相似三角形的性质进行计算即可．
【详解】
解：
∵△ADE∽△ACB，
∴.
故答案为1:3.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角
形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分
线、对应边上的高）的比也等于相似比.
8．2或6或或
解析：
分析：
由题意得，分∠FGC和∠FCG和∠GFC为直角讨论，①当∠GFC为90时，E、F、C三点在同一直线上，所以△AEH∽△BCE,根据相似三角形的对应线段成比例可求出解;
②当∠GCF=90,此时F点正好落在BC上, △AEH≌△CGF, △AEH∽△GDH,可求得AE的值；
③当∠CGF=90时，C,G,H共线，所以不可能.
【详解】
解：①由题意得，∠FGC和∠FCG都不能为直角，当∠GFC为90时，E、F、C三点在同一直线上，所以△AEH∽△BCE，,
设AE=x，有，可得x=2或者x=6，
②当∠GCF=90,此时F点正好落在BC上，则△AEH≌△CGF, △AEH∽△GDH,则
,解得x=4+2或x=4-2，
③当∠CGF=90时，C,G,H共线，所以不可能；
故答案：2或6或或.
【点睛】
本题主要考查三角形相似，综合性大，注意分类讨论思想的应用.
9．是
解析：
由已知易得：AF:AD=AP:AC=AE:AB，
∴PF∥CD，PE∥BC，
∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，
∴四边形AEPF∽四边形ABCD，
∴根据位似图形的定义：“两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，则这两个图形叫位似图形”可知：四边形AEPF和四边形ABCD是位似图形.
即答案为：“是”.
10．．
分析：
在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°性质得到OE=OH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，
∠ACB=90°，CHBD,AC=BC=3,CD=1
BD=
△CDH∽△BDC
CH=
△ABC是等腰直角三角形，点O是AB中点，
AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°
∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°
∠DCH=∠CBD,
∠OCH=∠ABD
在△CHO与△BEO中，
△CHO≌△BEO
OE=OH, ∠BOE=∠HOC
OCBO
∠EOH=90°
即△HOE是等腰直角三角形，
EH=BD-DH-CH=--=
OH=EH=
故答案为．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键.
11．2，
【详解】
设DG切圆O于点M，连接OM，先证明△A′OD≌△COF，再解Rt△FCO得再证明△DMO∽△DCG，然后利用相似三角形的性质列出方程，最后由勾股定理可得AD=2，从而得解．
设DG切圆O于点M，连接OM，设AD=x,则DC=AB=2x,
由折叠的性质可得AD=A′D=x,
DA′BC分别切圆O于点A′，C，
所以∠OA′D=∠∠OCF=90°，
∠1=∠2，OA′=OC，
所以△A′OD≌△COF，
所以CF=A′D=x,DO=OF=DC-OC=2x-r,
在Rt△FCO中，，即，
解得
M为切点，所以∠DMO=∠DCG，
∠ODM为公共角，
所以△DMO∽△DCG，，即，
所以
在Rt△DCG中，
即
解得x=2,
即AD=2，
考点：1．翻折的性质；2．全等三角形的性质和判定；3．相似三角形的性质和判定；4．切线的性质5．圆的性质；6．勾股定理；7．解一元二次方程．
12．
分析：
延长到，使，连接，作与关于对称，证明，进而证明、、三点共线，再证明△可得，构造方程求解可得，，再根据勾股定理可得结论．
【详解】
解：延长到，使，连接，
作与关于对称，如图，
设，
与关于对称，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
，，
△，
，
设，则，
，
化简得，，
解得或（舍去），
经检验，是方程的解，
，，
在△中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
13．
分析：
在AB上截取AM=AD=3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，证明△ABD∽△ACE和△AMN∽△ABC，求出相关边长，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，在上截取，过作交于点，把绕逆时针旋转得，连接，
则，，，
∴，
又∵于点，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】
考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形边角关系等，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
14．
分析：
过点G作，根据折叠性质证明，利用对应边成比例求出FG的长度．
【详解】
解：如图，过点G作，垂足为点H，则四边形BCGH是矩形，可得，
在中，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查折叠的性质，矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．
15．
分析：
根据题目已知可得，本题考查特殊等腰三角形性质、旋转问题、线段最值问题，可运用相似三角形、构造辅助线、线段转化等方式解答本题
【详解】
如下图，过点A作于点D
∵，
∴，，
∵以及旋转性质
∴
∴，即，
当最小时，取得最小值，的最小值为1
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查几何线段最值问题，其难点主要在于所求问题的转化以及辅助线的构造，并要求善于发现潜藏考点，此类型题目需多做类似题目，积累题感。
16．80°
分析：
连接,根据，,可以得到,所以
,可以得到,而，，所以 ,那么
四边形是平行四边形，，同理可以证得四边形,
…..都是平行四边形，所以：

由于四边形是平行四边形，所以,而由于，所以，即可求解；
【详解】
连接
，，


，


四边形是平行四边形

同理可得：四边形,….. 都是平行四边形


是平行四边形
原式
故答案是：.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定以及平行四边形的判定和性质综合，根据图形得到角度之间的关系是求解本题的关键.
17．直角; 取格点，连接并延长交BC于点Q
解析：
分析：
（I）根据勾股定理得到三边的长度，再根据三边的关系判断三角形的形状；
（Ⅱ）要求PC+PQ的最小值，只需作点C关于AB的对称点C’，并从C’向BC作垂线则与AB,BC分别交于点P,Q为所求.
【详解】
（I）∵AC= ,BC= ,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
（Ⅱ）
要求PC+PQ的最小值，只需作点C关于AB的对称点C’，并从C’向BC作垂线则与AB,BC分别交于点P,Q为所求.
作法：取格点C’，则C’为点C关于AB的对称点，由①可知，AC⊥BC，则只需过C’作AC的平行线，只需取格点P则AC∥C’P，延长C’P交AB,BC于点P,Q.
取格点，连接并延长交BC于点Q

【点睛】
本题主要考查线段和的最值，只需通过作对称点及垂线，是常见的方法，较为简单.
18．
分析：
连接EG，由E为边AB上的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长CF交AD于G，连接EG，
为边AB上的中点，
∴，
∵将翻折，使点B落在点F处，
，，
在与中，
，
∴≌（HL）
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
同理，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．5.5.
解析：
试题分析：∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，又∵DE⊥AC，∴∠DPA=90°，∴∠DPA=∠C，又∵∠A=∠A，∴△AOP∽△ABC，∴=，∴=，∴OP=1.5．∴DP=OP+OD=5.5.
考点：1圆；2相似三角形的性质和判定.
20．
分析：
如图，过点作于，过点作，交的延长线于，由面积和差关系可求，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求，，的长，通过证明，可得，可求，，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
等腰，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，且
，且，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH的长是本题的关键．
21．40420
分析：
结合题意，根据平行线的性质，得；根据相似三角形的性质，推导得；同理，得到；再结合整式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
过点作、的平行线分别交、于点、，即，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
同理，证得
∴

故答案为：40420．
【点睛】
本题考查了平行线、相似三角形、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解．
22．2或4或或
分析：
先根据等边三角形的性质可得，再分①点在边上，点在边上，②点在边上，点在边延长线上，③点在边延长线上，点在边上，④点在边延长线上，点在边延长线上四种情况，然后根据三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
解：是边长为3的等边三角形，
，
由题意，分以下四种情况：
①如图，当点在边上，点在边上时，
在和中，，
，
，
；
②当点在边上，点在边延长线上时，
如图，过点作，交延长线于点，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
；
③当点在边延长线上，点在边上时，
如图，过点作，交于点，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
；
④如图，当点在边延长线上，点在边延长线上时，
，
，
在和中，，
，
，
；
综上，的值为2或4或或，
故答案为：2或4或或．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确分四种情况讨论是解题关键．
23．6或．
分析：
由已知根据直角三角形的性质得出，，，再分两种情形：①当时由折叠的性质得：，，证明，证出，得出，解得：，设，在中，，得出方程，解方程即可；②当时，作交的延长线于．设．证明，得出，在中，，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：①如图1中，当时．
在中，，，
，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
设，
在中，，
，
解得：，
．
②如图2中，当时，
作交的延长线于．设．
，，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，
，
解得：，
综上所述，满足条件的的值为6或．
故答案为：6或．
【点睛】
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
24．
分析：
先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．
【详解】
解：如图：在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，
∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，
∴PC=DE=2，
∵，
∴
又∵∠PCF=∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴
∴PA+PB=PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF=
∴PA+PB ≥.
∴PA+PB的最小值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．
25．n
分析：
连接A1An,根据全等三角形的性质得到∠AB1B2=∠A2B2B3，根据平行线的判定得到A1B1∥A2B2，又根据A1B1=A2B2，得到四边形A1B1B2A2是平行四边形，从而得到A1A2∥B1B2，从而得出A1An∥B1B2，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接A1An,根据全等三角形的性质得到∠AB1B2=∠A2B2B3，
∴A1B1∥A2B2，
又A1B1=A2B2，
∴四边形A1B1B2A2是平行四边形.
∴A1A2∥B1B2，A1A2=B1B2=A2A3,
同理可得，A2A3=A3A4 =A4A5=…= An-1An.
根据全等易知A1，A2，A3，…,An共线，
∴A1An∥B1B2，
∴PnB1B2∽△PnAnA1，
,
又A1Pn+PnB2=A1B2，
∴.
故答案为：n.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
26．
分析：
设 ， ，可得 ，由折叠的性质可得 ， ，根据相似三角形的性质可得 ,即 ，即可求的值 ．
【详解】
根据题意，标记下图
∵ ，
∴
∵
∴设 ，
∴
∵ 由 折叠得到
∴ ，
∴ ，且
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了三角形的折叠问题，理解折叠后的等量关系，利用代数式求出 的值即可．
27．0.5
解析：
试题解析：由，得a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，
所以==0.5
28．秒或4秒
分析：
此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可
【详解】
解：（1）当△APQ∽△ABC时，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是=，
解得，t=
（2）当△APQ∽△ACB时，，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是，
解得t=4．
故答案为t=或t=4．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．
29．
分析：
设AM1的长为x，由题易得，△AM1P1∽△ACB，根据相似求得M1P1的长度，同理求得M2P2和MnPn，根据正方形的性质得P2020N2020=，再由△P2020N2020B∽△ACB，对应边成比例求得BN2020．
【详解】
设AM1的长为x，
由题易得，△AM1P1∽△ACB
∴
∵AC＝2，BC＝4
∴M1P1=2x，
∴AC= AM1+ M1P1=3x
∴x=，AM1=，M1P1=，
同理可得，M2P2=，
MnPn=
∴M2020P2020=P2020N2020=
∵△P2020N2020B∽△ACB
∴
∴
∴BN2020=
故答案为
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到规律，正确表示MnPn．
30．
分析：
设，根据正方形性质可表示出，在中利用勾股定理建立方程求出a，从而得到，再利用相似可求出、，从而求出面积，以此类推即可归纳出四边形的面积．
【详解】
如图，连接，
由题可得，且在直线上，
∴轴，
∴设，则，
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，，
解得，（舍去，此时、横坐标相等，不符合题意），
∴，
∴四边形的面积=，
∵，，
∴∽，
∴，即，解得，
∴四边形的面积=，
同理可证得：∽，
∴，即，解得，
∴四边形的面积=，
以此类推，四边形的面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，正方形的性质，勾股定理及三角形的相似等知识，熟练应用知识是解题的关键．
31．6
分析：
过作于点，在正方形中，根据角平分线的性质和已知条件，可得及其值；在中，结合已知条件，利用勾股定理，求得的值；设，可得，；通过证明，列出比例式，代入已知值和未知数，解得，继而可求得的面积的值．
【详解】
如图所示，过作于点，
∵为正方形的对角线，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∵，，∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴，，
∴的面积为：，
故答案为：6．
【点睛】
本题综合考查正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质等知识内容．解答本题的关键方法是设出未知数，利用三角形相似列出比例式，代入已知值和未知数，通过解方程，求得未知数的值，据此即可得解．
32．或
分析：
由∠ABD=∠BCD=90°，AD=10，BD=6，若△ABD与△BCD相似，可分别从△ABD∽△BCD与△ABD∽△DCB去分析求解即可求得答案．
【详解】
∵∠ABD=∠BCD=90°，AD=10，BD=6，△ABD与△BCD相似，
∴AB==8，
∴若△ABD∽△BCD，则，
则CD=；
若△ABD∽△DCB，则，
则CD=；
∴CD的长度为：3.6或4.8．
故答案为：3.6或4.8．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形的对应边成比例，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
33．1：3：9：11或4：6：9：11
分析：
分或两种情况解答，根据平行得出，由面积比等于相似比是平方，得出△BEF与△DAF的面积比，再根据面积公式得出△BEF与△ABF的面积比，根据图形得出四边形CDFE与△BEF的面积关系，最后求面积比即可.
【详解】
解：E为三等分点，则或
①时，
设，则，，
②时，
同理可得
设，则，，
【点睛】
本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方及面积公式，得出图形之间的关系是解答此题的关键.
34．
分析：
在上截取，连接；过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N；根据全等三角形性质，通过证明，得AE＝EF；再通过证明△ABE△EMF，得BE＝FM，AB＝EM＝4，然后根据勾股定理得到；根据相似三角形的性质得，通过计算即可得到答案．
【详解】
在上截取，连接；过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N，
∴∠FNC＝∠FMC＝90°，
∵CF是∠NCM的角平分线，
∴FM＝FN，
∴四边形CMFN是正方形，
∴CN＝CM＝FM＝NF，
∵四边形ABCD是正方形
∴，
∴ ，,
∴
∵∠AEF＝90°
∴
∵
∴
∴
∴
∴AE＝EF，
在△ABE和△EMF中，

∴△ABE≌△EMF
∴BE＝FM，AB＝EM＝4，
∵BE＝BC＝AB＝
∴FM＝FN＝
∴DN＝DC-NC＝BC-BE＝CE＝
∴
∵CH⊥DF，
∴∠DNF＝∠H＝90°，
∵∠FDN＝∠CDH，
∴△DNF∽△DHC，
∴
∴CH＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形、角平分线、全等三角形、直角三角形两锐角互余、勾股定理、相似三角形、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、相似三角形的性质，从而完成求解．
35．1
分析：
过点B，C作BE//AD，CF//AD，交直线PQ于点E，F，得四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得AG=2DG，点D是BC的中点，再利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理，，即可求出的值．
【详解】
解：过点B，C作BE//AD，CF//AD，交直线PQ于点E，F，如图：

∴四边形BEFC是梯形，
∵G是重心，
∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，
∴DG是梯形BEFC的中位线，
∴BE+CF=2DG，
∵BE//AD，CF//AD，
∴，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了三角形重心的性质、中位线的判定和性质和平行线分线段成比例定理；利用平行得成比例线段进行转化是解题关键．
36．5
分析：
过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
过作于，
是的平分线
故答案为：
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
37．．
分析：
过作于，利用旋转的性质及勾股定理求得，再利用，得，过作交的延长线于，利用∽，得，故，即可求出EH.
【详解】
解：如图，过作于，
∵将绕点旋转得到，
∴，，，
∵中，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过作交的延长线于，
∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.
38．①
解析：
分析：
根据旋转的性质得到∠DBE＝60°，BE＝BD，推出△BED是等边三角形；故①正确；根据等边三角形的性质得到AB＝BC，BE＝BD，推出△BED与△ABC的相似比随着BE的变化而变化，故②错误；根据相似三角形的判定定理得到△BDE与△ADB不相似；故③错误；解直角三角形得到，故④错误．
【详解】
解：∵△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，
∴∠DBE＝60°，BE＝BD，
∴△BED是等边三角形；故①正确；
∴△ABC与△EBD是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，
∵△BED∽△ABC，
∴，
∴△BED与△ABC的相似比随着BE的变化而变化，故②错误；
∵△BDE是等边三角形，而△ADB不是等边三角形，
∴△BDE与△ADB不相似；故③错误；
∵∠BAE＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣15°﹣105°＝60°，
过F作FH⊥CD与H，
∴CH＝HF，
设CH＝HF＝x，
∴DH＝x，DF＝x，
∴CD＝CH+DH＝x+x，
∴，故④错误.
故答案是：①．
【点睛】
考查了相似三角形的判定性质、等边三角形的性质、解直角三角形和旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
39．
解析：
分析：
过点D作DE⊥AC于点E．构建相似三角形：△BAC∽△CED，由相似三角形的对应边成比例来求AC的长度．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AC于点E．
∵∠CAD=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=AC-CE．
又∵∠BCD=90°，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ECD=90°-∠BCA，
∴△BAC∽△CED，
∴，则，
整理，得ED=3EC．
又由勾股定理得：DE2+CE2=36，
解得EC=，
∴AC=ED+EC=4EC=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键是根据题意作出辅助线，构建相似三角形．
40．， ， .
【详解】
试题分析：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=DA=，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=DC=1，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=BC=1，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=AD=，第六次回到E点，AE=AB=1.
由勾股定理可以得出EF=，FG=，GH=，HM=，MN=，NE=，
∴当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为：.
∴当小球P第2次碰到点F时，小球P所经过的路程为：；
当小球P第3次碰到点F时，小球P所经过的路程为：；
当小球P第4次碰到点F时，小球P所经过的路程为：；
……
当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为：.
考点：1.探索规律题（图形的变化类――循环问题）；2.跨学科问题3.正方形的性质；4.轴对称的性质；5．相似三角形的判定和性质；6.勾股定理.
41．
解析：
分别过点E、F作EP⊥BC，FQ⊥BC，垂足分别为P、Q，
∴∠BPE=∠EPM=∠FQM=∠FQN=90°，∴EP//FQ，
∴∠PEM+∠EMP=90°，
∵∠EMP+∠QMF=∠EMF=90°，
∴∠PEM=∠QMF，
又∵ME=MF，∴△PEM≌△QMF，∴PE=MQ，PM=FQ，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵∠BPE =90°，∴∠BEP=45°=∠EBP，
∴BP=PE=BE=，
∴BM=+PM=+FQ，
∵BM=4CM，S△CMF＝=3，
∴FQ=3，
∴PQ=PM=MQ=3-=2，
∵EP//FQ，∴△EPN∽△FQN，∴EP：FQ=PN：NQ，
即：：3=（2-NQ）：NQ，
∴NQ=，
∴MN=NQ+MQ=+=，
故答案为.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.
42．16
【详解】
试题解析：∵，
即，
∴设建筑物的高是x米．则
解得：x=16．
故该建筑物的高为16米．
43．7
分析：
过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.
【详解】
解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，
∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，
∴PA+PE=PD+PE，
当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，
观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，
∵点E是AB中点，
∴BE+BD=3BE=，
∴BE=，AB=BD=，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DE⊥AB，∠BDE=30°，
∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，
即点H的纵坐标为a=3，
当点P为DE和BC交点时，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△PCD，
∴，
∵菱形ABCD中，AD⊥BC，
∴BC=2×=6，
∴，
解得：PC=4，
即点H的横坐标为b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7.
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
44．5或
分析：
分两种情况画图说明，①根据△ABD是准互余三角形，可以证明AD是∠BAC的平分线，根据勾股定理即可求出BD的长；②可以根据△ABD是准互余三角形，证明△CAD∽△CBA，对应边成比例即可求出CD的长，进而求出BD的长．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
①如图1，
∵△ABD是准互余三角形，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
作DE⊥AB于点E，
则DC=DE，AE=AC=6，
设DC=DE=x，则BD=8﹣x，
BE=AB﹣AE=4，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BD2=DE2+BE2，
(8﹣x)2=x2+42，
解得x=3，
∴BD=BC﹣CD=8﹣3=5；
②如图2，
∵△ABD是准互余三角形，
∴2∠B+∠BAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
∴CD=，
∴BD=BC﹣CD=8﹣=．
综上所述：BD的长为5或．
故答案为：5或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、余角和补角，解决本题的关键熟练掌握所学的知识，和新定义的掌握，注意分两种情况进行讨论分析．
45．．
分析：
如图，过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，则DF∥AE，设EC＝x，BF＝y，分别用x和y表示出AC、AE、BF、CF和BE，再由DF∥AE，判定△BDF∽△BAE，然后利用相似三角形的性质得出比例式，解得用x表示的BE，在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝x，BE＝5x，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，则可求得AC的值．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，则DF∥AE，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝30°，
设EC＝x，则AC＝2x，AE＝x，
设BF＝y，
∵BD＝CD，DF⊥BC，
∴BF＝CF＝y，
∴BE＝2y﹣x，
∵DF∥AE，
∴△BDF∽△BAE，
∴＝，
∵BD＝CD＝3，AD＝2，
∴＝＝，
∴＝
∴y＝3x，
∴BE＝2×3x﹣x＝5x，
∴在Rt△AEB中，AB＝5，AE＝x，BE＝5x，
∴由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2，
∴25x2+3x2＝25，
∴x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴AC＝2x＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理在几何问题中的应用，根据题意正确构造相似三角形及利用勾股定理建立方程是解题的关键．
46．5
分析：
连接DE．首先证明△BCN是等腰直角三角形，再求出BC．作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值＝线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J，利用面积法求出EH，TE，EH即可解决问题．
【详解】
解：连接DE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE＝AB，DC＝AC，
∴BE＝CD，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB＝∠DBC，EC＝BD，
∴BN＝CN，
∴EN＝DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDM，△BCN都是等腰直角三角形，
∵AE＝EB，AD＝DC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴，
∴CN＝2EN，
∴BN＝2EN，
∵AE＝BE＝5，
∴EN＝5，BN＝10，
∴BN＝CN＝10，
∴BC＝10，
作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值＝线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J．
∵AJ∥EN，AE＝EB，
∴BN＝NJ＝10，
∴AJ＝JH＝2EN＝10，BJ＝2BN＝20，AH＝2AJ＝20
∵S△ABH＝•AB•HT＝•AH•BJ，
∴HT＝，
∴AT＝，
∴ET＝，
∴EH＝，
∴AM+EM的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
47．①②④
分析：
根据等腰三角形性质推出AD是AB的垂直平分线，即可判断①②；根据图形和已知不能推出BE=EG，即可判断③；证∠F=∠ACE，证△CGE和△FCE相似，得出比例式，求出EF的值，求出GF即可判断④．
【详解】
AB=AC,D为BC的中点，
所以AD是AB的垂直平分线，
:所以AD平分∠BAC,BE=CE,
故①正确；②正确；
根据已知和图形可以看出BE和EG不相等，故③错误；
AB=AC,BE=CE,
∠ABD=∠ACD,∠EBD=∠ECD,
∠ABE=∠ACE
所以CF//AB
所以．∠F=∠ABE=∠ACE,
所以∠GEC=∠GEC,
所以△CEG
即
3
故④正确
故答案为①②④.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
48．
分析：
取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，先证出四边形ABNM是正方形，利用SAS证出ABG≌AMH，再利用SAS证出AEG≌AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行证出AHM∽AFD，列出比例式即可求出结论．
【详解】
解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点，
∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AB＝AM＝4，
∴四边形ABNM是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，
∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，
∴ABG≌AMH（SAS），
∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，
又∵AG＝AH，AE＝AE
∴AEG≌AEH（SAS）
∴EH＝GE，
∴EH＝2+MH，
在Rt HEN中，EH2＝NH2+NE2，
∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，
∴MH＝
∵MN∥CD，
∴AHM∽AFD，
∴
∴DF＝×＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质，此题难度较大，掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质是解决此题的关键．
49．
分析：
由题意得CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t，又EF//AC可得△ABC∽△FEB，进而求得EF的长；如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，由EF//AC∠C=90°可以得出∠PEC=∠NEG，又由，就有∠CBN=∠CEP.可以得出∠CEP=∠NEP=∠B,过N做NG⊥BC,可得EN=BN,最后利用三角函数的关系建立方程求解即可；
【详解】
解：设运动的时间为秒时；
由题意得：CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t
∵EF//AC
∴△ABC∽△FEB
∴
∴
∴EF=
在Rt△PCE中，PE=
如图：过N做NG⊥BC,垂足为G
∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，
∴∠PEF=∠MEN，EF=EN,
又∵EF//AC
∴∠C=∠CEF=∠MEB=90°
∴∠PEC=∠NEG
又∵
∴∠CBN=∠CEP.
∴∠CBN=∠NEG
∵NG⊥BC
∴NB=EN,BG=
∴NB=EN=EF=
∵∠CBN=∠NEG，∠C=NGB=90°
∴△PCE∽△NGB
∴
∴=，解得t=或-（舍）
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用、三角函数值的运用、勾股定理的运用，灵活利用相似三角形的性质和勾股定理是解答本题的关键.
50．
分析：
作出图形，过C作CE⊥AB于E，则CE//GH，通过面积法求出CE，再运用三角形重心的性质，得到CG=2DG，最后运用相似三角形的性质解答即可.
【详解】
解：如图：，过C作CE⊥AB于E，则CE//GH，
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4
由勾股定理可得AB=5
∵всAC=AB×CE
∴CE=2.4
由∵点G是△ABC的重心
∴CG=2DG
∵CE//GH
∴△DGH∽△DCE，
所以，即
∴GH=
故答案为：.
【点睛】
本题题考查了直角三角形的性质和重心的性质，理解三角形的重心的概念和性质是解答本题的关键.