沪教版九年级上册数学专题训练九年级数学期中模拟卷(三)(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练九年级数学期中模拟卷(三)(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共18分)
1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=+xB．y=ax2+bx+cC．y=x2-(x+7)2D．y=(x+1)(2x-1)
2．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
3．若是锐角，，那么锐角等于（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，如果点是边的中点，且，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(共36分)
7．如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．
8．如果函数y＝(m﹣1)x2+x(m是常数)是二次函数，那么m的取值范围是_____．
9．某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为_______米．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于_____．
11．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．
12．如果，方向向西，，方向向东，那么_______．
13．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
14．如图，若，则，这是一个______命题（填“真”“假”）．
15．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____.
16．如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．
17．在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
18．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
三、解答题(共66分)
19．(本题6分)计算：
20．(本题6分)如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
21．(本题6分)如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
22．(本题12分)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．
23．(本题12分)（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
24．(本题12分)如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）
25．(本题12分)如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）求sin∠BAC的值．
（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．
（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
2021-2022学年第一学期沪教版九年级期中模拟卷三
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=+xB．y=ax2+bx+cC．y=x2-(x+7)2D．y=(x+1)(2x-1)
答案:D
【详解】
解：A．未知数的最高次数不是2，故本选项错误；
B．二次项系数时，不是二次函数，故本选项错误；
C．∵，即，没有二次项，故本选项错误；
D．由原方程得：，符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选D．
2．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【详解】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC−BE＝67−40＝27cm．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
3．若是锐角，，那么锐角等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
由sin45°=可得=45°即可确定．
【详解】
解：∵sin45°=，，是锐角
∴=45°，即=30°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
利用三角形法则求出，再根据三角形中心的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，
∴＝，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平面向量计算的三角形法则及三角形重心的知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识．
5．如图，在中，如果点是边的中点，且，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:C
分析：
根据平行四边形的性质与等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，逐个判断即可．
【详解】
解：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，
∴AB＝CE，
∴CE＝CD，故A正确；
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝BC＝2AE＝2DE，
∵AD∥BC，
∴△BFC∽△DFE，
∴
∴BF＝2DF，故B正确；
∵AB＝CE，
∴FC＝2EF，
∴CE＝3EF，
∴AB＝CE＝3EF，故C不正确；
∵，△BFC∽△DFE，
∴S△BFC＝4S△DEF，
∴S△DFC＝2S△DEF，
∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，
∴S四边形ABFE＝5S△DEF，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
首先由a：c=4：9，易得9a=4c，可以将a用c表示出了；再根据比例中项的概念，可得a：b=b:c，即b2=ac，那么，进而求解即可
【详解】
解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，即a=
又∵b是a，c的比例中项
∴a：b=b：c，即
∴b=
∴a：b=：=2：3，b:c=2:3，
.故选：B.
【点睛】
本题考查了比例线段和比例的基本性质.，比例中项的概念，将a用c表示是解题的关键.
二、填空题(共36分)
7．如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．
答案:
解析：
解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是，∴函数的“亚旋转函数”为．故答案为．
8．如果函数y＝(m﹣1)x2+x(m是常数)是二次函数，那么m的取值范围是_____．
答案:m≠1
分析：
依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．
【详解】
∵函数y=（m-1）x2+x（m为常数）是二次函数，
∴m-1≠0，解得：m≠1，
故答案为m≠1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键．
9．某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为_______米．
答案:15.6
分析：
根据坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：如图，过A作AB⊥CB于B，
由题意得，AB＝6米，
∵斜坡的坡度i＝1∶2.4，
∴＝，
即，
解得：BC＝14.4（米），
由勾股定理得，AC＝＝15.6（米），
故答案为：15.6．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，坡比的计算，勾股定理，根据坡度熟练把问题转化为解直角三角形模型问题求解是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于_____．
答案:．
分析：
作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝DC＝BC＝3，利用勾股定理求出AD，再根据旋转的性质可知，根据勾股定理可得，进而可得的余弦值．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
根据勾股定理，得
，
∴的余弦值等于,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握旋转的性质是解题的关键．
11．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．
答案:
分析：
先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式．
【详解】
解：中，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键．
12．如果，方向向西，，方向向东，那么_______．
答案:3
分析：
结合题意，根据向量的性质，得和符号相反，结合绝对值的性质，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵，方向向西，，方向向东
∴和符号相反
∴或
∴
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了向量的知识；解题的关键是熟练掌握向量、绝对值的性质，从而完成求解．
13．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
答案:
分析：
过点B作BH∥AC交EF于点H，先证明△BDH≌△CDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解．
【详解】
解：过点B作BH∥AC交EF于点H，
∴，∠C=∠DBH,
∵点是边的中点，
∴BD=CD，
∵∠BDH=∠CDF，
∴△BDH≌△CDF，
∴BH=CF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线．
14．如图，若，则，这是一个______命题（填“真”“假”）．
答案:假
分析：
当B是AC的中点，E是DF的中点时，，但AD不平行BE，也不平行CF，从而得出是假命题．
【详解】
解：是假命题，理由如下：
当B是AC的中点，E是DF的中点时，，但AD不平行BE，也不平行CF，所以这是个假命题；
如图，
故答案为：假．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案
15．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____.
答案:
分析：
设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：，解方程可得.
【详解】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：
，
解得：x= ，
则这个黄金矩形较短的边长是cm．
故答案为
【点睛】
考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键.
16．如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．
答案:
分析：
由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．
【详解】
由题意知，是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，正方形的边长为1，
则，
∴，
∴．
∴，
∴可知抛物线的顶点为开口向下，
∴时，函数有最大值，最大值为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质，解题关键是通过相似三角形的性质列出二次函数解析式．
17．在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
答案:或
分析：
当直线经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD´∽△ABE´，利用相似三角形对应边成比例求解.
【详解】
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=2，BC=4，
由勾股定理得，AB=，
∵分别是边、的中点，
∴DE是△ACB的中位线，BD=2，BE= ，
∴DE∥AC，DE=
∴∠EDB=90°，
由旋转可得，BD´=2，D´E´=1，BE´=，∠BD´E´=90°，
第一种情况，如图1，

∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´+D´E´=5
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
第一种情况，如图2，

∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´-D´E´=3
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
∴CD´长为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，分类讨论并能正确画出图形很关键．
18．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
答案:或．
分析：
先画草图借草图分析．如图
重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值．
【详解】
由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：
第一种情况
如图1
当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．
∵∠BCA=90°
∴∠MNC=∠BCA
又由对折知：∠MCN=∠A
∴△MCN∽△ABC
由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得
（㎝）；
第二种情况
如图2
当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．
∵∠C=90°
∴∠C=∠NMB
又由对折知∠A=∠NBM
∴△ABC∽△BNM
∴
又由对折知
∴（㎝）．
综上分析得MN=㎝或㎝．
故答案为：或．
【点睛】
本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．
三、解答题(共66分)
19．(本题6分)计算：
答案:.
分析：
牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，然后根据实数运算法则计算出结果即可．
【详解】
原式=．
20．(本题6分)如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
答案:14.0千米
分析：
首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，
∵AC+BC＝2x+x＝68，
∴x＝，
在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝，
在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，
AB＝20+20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键．
21．(本题6分)如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
答案:（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；
（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．
【详解】
证明：（1）如图1，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
在和中，∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）如图2，
∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
【点睛】
本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．
22．(本题12分)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．
答案:（1）y＝﹣（x﹣1）2＋4，（1，4）；（2）（﹣2，﹣5）；（3）
分析：
（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；
（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；
（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．
【详解】
解：（1）根据题意，得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（2）如图1，
由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1，
∴y＝x＋3；
当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，
设直线PB的解析式为y＝x＋m，则3＋m＝0，解得m＝﹣3，
∴y＝x﹣3．
由，得，，
∴P（﹣2，﹣5）．
（3）如图2，
作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．
由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），
∴OB＝OG＝3．
∵PH∥OG，
∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，
∴∠HPF＝45°＋∠FPB；
∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝，
∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB，
∴∠PEO＝∠FPB，
又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），
∴△PBE∽△FBP，
∴，BE•BF＝PB2，
∵HF＝PH＝×5＝，
∴BF＝﹣2﹣3＝，
又∵PH＝BH＝5，
∴PB2＝52＋52＝50，
∴BE＝50，
解得BE＝，
∴OE＝3＋＝．
【点睛】
本题考查二次函数解析式、一次函数、锐角三角函数、相似三角形的判定．利用同角锐角三角函数转换角的关系是解题的关键，
23．(本题12分)（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
答案:（1）见解析；（2）；见解析；（3）
分析：
（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【详解】
（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵，
∴．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵，，
∴AE＝，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，
∴
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴，
∴，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝=．
【点睛】
本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
24．(本题12分)如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）
答案:（1）GE＝4；（2）；（3）即为所求，作图见解析
分析：
（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题，即可得到答案．
（2）根据向量的性质，即可求出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．则即为所求．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，

∵DE＝2AE，
∴
∵CE＝8，
∴
∴GE＝4．
经检验：符合题意．
（2）∵ ，DE∥BC，DE＝2AE，

∴
∴
∴；
（3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．
∵AE∥BC，

∴
∴
∴
∴
∴即为所求．
【点睛】
此题考查的是平行线分线段成比例、平面向量的性质及运算、分式方程；掌握平面向量的性质及运算是解决此题的关键．
25．(本题12分)如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）求sin∠BAC的值．
（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．
（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
答案:（1）；（2）点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；（3）点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）
分析：
（1）由两点距离公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（3）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB＝∠NBA，分两种情况讨论：
①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）．
【详解】
（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0），
∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，
∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，
如图1，过点B作BH⊥AC于H，
∴∠BCA＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BC＝BH＝6，
∴BH＝3＝HC，
∴sin∠BAC＝＝＝；
（2）∵点P在y轴上，
∴∠POC＝∠AOB＝90°，
当时，则△AOB∽△COP，
∴，
∴PO＝2，
∴点P（0，2）或（0，﹣2）；
当时，则△AOB∽△POC，
∴，
∴OP＝8，
∴点P（0，8）或（0，﹣8），
综上所述：当点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；
（3）如图2：取OA的中点，记为点N，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON＝2，
又∵OB＝2，
∴OB＝ON，
又∵∠BON＝90°，
∴∠ONB＝45°，
∴∠ACB＝∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，
∠NBA+∠OAB＝∠ONB，
∴∠OMB＝∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M1，
∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，
∴△ABN∽△AM1B
∴，
又∵AN＝2，AB＝2，
∴AM1＝10，
又∵A（0，﹣4）
∴M1（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M2，
点M1与点M2关于x轴对称，
∴M2（0，﹣6），
综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
【点睛】
考查了两点距离公式、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形．