沪教版九年级上册数学专题训练专题14相似三角形章节重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题14相似三角形章节重难点专练(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )
① ； ② ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )
A．B．C．D．或
3．下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ）
A．AD=6,BD=4,AE=2.4,CE=1.6
B．BD=2，AB=6，CE=1，AC=3；
C．AD=4，AB=6，DE=2，BC=3；
D．AD=4，AB=6，AE=2，AC=3．
5．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）
A．19B．17C．24D．21
6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.
（1）求证：；
（2）连接，求证：.
9．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
10．解方程：.
11．在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．
（1）求证：P是线段EF的中点；
（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；
（3） 如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE =∠C, 交BD于点E.
（1） 求证：△BCP∽△PDE；
（2）如果CP= x , BE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求 x的值 ，若不能，说明理由.
13．已知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，AC=2AB．
（1）当t=1时，求直线BC的表达式；
（2)点C落在直线：y=-3x-10上，求直线CA的表达式.
14．如图，已知AD=2，DB=1,∠ACD =∠B,∠BAC的平分线分别交CD、BC于F、E.
（1）求AC的值
（2）求的值.
15．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是 （用含a，b的代数式表示）．
16．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；
（1）求（用向量的式子表示）
（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
17．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= _________ s时，点P与点Q重合；
（2）当t= _________ s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
三、填空题
18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．
19．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm
20．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC的面积为a ，则△ABD的面积为____________
21．化简：______．
22．如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．
23．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
24．如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则=__________．
25．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为____．
26．如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是________ .
27．如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
28．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.
29．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.
30．如图，AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，则DC＝_________cm.
31．如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么 DE= _________．
32．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）．
33．若，则＝_____．
34．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm
专题14 相似三角形章节重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )
① ； ② ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )
A．B．C．D．或
3．下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ）
A．AD=6,BD=4,AE=2.4,CE=1.6
B．BD=2，AB=6，CE=1，AC=3；
C．AD=4，AB=6，DE=2，BC=3；
D．AD=4，AB=6，AE=2，AC=3．
5．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）
A．19B．17C．24D．21
6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.
（1）求证：；
（2）连接，求证：.
9．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
10．解方程：.
11．在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．
（1）求证：P是线段EF的中点；
（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；
（3） 如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE =∠C, 交BD于点E.
（1） 求证：△BCP∽△PDE；
（2）如果CP= x , BE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求 x的值 ，若不能，说明理由.
13．已知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，AC=2AB．
（1）当t=1时，求直线BC的表达式；
（2)点C落在直线：y=-3x-10上，求直线CA的表达式.
14．如图，已知AD=2，DB=1,∠ACD =∠B,∠BAC的平分线分别交CD、BC于F、E.
（1）求AC的值
（2）求的值.
15．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是 （用含a，b的代数式表示）．
16．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；
（1）求（用向量的式子表示）
（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
17．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= _________ s时，点P与点Q重合；
（2）当t= _________ s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
三、填空题
18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．
19．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm
20．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC的面积为a ，则△ABD的面积为____________
21．化简：______．
22．如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．
23．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
24．如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则=__________．
25．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为____．
26．如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是________ .
27．如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
28．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.
29．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.
30．如图，AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，则DC＝_________cm.
31．如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么 DE= _________．
32．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）．
33．若，则＝_____．
34．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm
参考答案
1．B
解析：
分析：
根据角平分线的性质，推出角相等，再得出边相等，判断出①②正确，再利用三角形不相似，排除其它选项，最后得解．
【详解】
解：如图，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠CBE．
∵CD∥BA，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∴∠BEC=∠D=∠A=90°．
则有△CED∽△BEA∽△CBE,
∴① 正确，③ 正确；
无法证明CD=DE，故②不正确；
故④CE 2=CD×BC正确；
故BE2=AE×BC不正确．
因此只有①②④正确．
故选B．
【点睛】
本题利用了平行线的性质，角的平分线的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质求解．
2．D
解析：
分析：
分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．
【详解】
解：分两种情况：
①∵△ABC∽△CDB，
∴，
即，
∴BD=；
②由勾股定理得：AB= =4，
∵△ABC∽△BDC，
∴ ，即 ，
解得：BD= ；
综上可知：BD的长为；或
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
3．B
分析：
由位似图形的定义即可判断①；位似图形不一定要经过平移，可判断②；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③；相似多变形的面积比等于相似比的平方，可判断④.
【详解】
解：位似图形不仅相似，并且对应点之间的连线均相交于同一点，对应的边相互平行，故①正确；位似图形不一定要经过平移，故②错误；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故③正确；相似多变形的面积比等于相似比的平方，面积比为4:9，则周长的比应为2:3，故④错误；正确的是①和③，
故选择B.
【点睛】
本题考察了位似的定义以及相似的性质.
4．C
解析：
根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．
如图所示，
A，由AD=6，BD=4，得，由AE=2.4，CE=1.6，得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC；
B，由DB=2，AB=6，得，由CE=1，AC=3得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC；
C，△ABC中，由AD=4，AB=6，得，由DE=2，BC=3得，但是DE与BC不一定平行，（如下图）；
D，由AD=4，AB=6，得，由AE=2，AC=3得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC，
故选C．
点睛：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．其逆命题是假命题，不一定成立．
5．C
【详解】
试题分析：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知，∴，，∴．故选C．
考点：相似三角形的性质．
6．D
【详解】
试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．
考点：中心投影．
7．B
解析：
首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．
解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=，
∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45°=2?=2＞，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，
∵sin∠CDF=，
∴CF=CD?sin∠CDF=?=1＜，
所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点，
所以P到BD的距离为的点有2个，
故选B．
此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
分析：
（1）根据已知条件先证明DG∥AC，EF∥AB，可得∠HGF=∠C，∠HFG=∠B，即可证明△HFG∽△ABC，从而可得结论；
（2）连接DF，EG，DE，证明四边形DFGE和ADHE是平行四边形，即可证得结论.
【详解】
∵AB=3AD，BF=FG=CG，
∴BD=2AD，BG=2CG，
∴,
∴DG∥AC,
同理可得，EF∥AB，
∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，
∴△HFG∽△ABC，
∴，即；
（2）连接，DE,如图所示，
∵EF∥AB，
∴,
∵GF=FB
∴=1，
∴GH=HD，
同理可证，FH=EH，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴DF∥EG，
∴∠FDG=∠EGD，
∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，
∵∠DHE=∠FHG，
∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=，
由EF∥AB，DG∥AC,得四边形ADHE是平行四边形，
∴∠A=∠DHE，
∴
【点睛】
此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.
9．（1）1；（2）
分析：
（1）设a=2k，b=3k，c=5k，代入代数式，即可求出答案；
（2）把a、b、c的值代入，求出即可．
【详解】
∵
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
（1）；
（2）∵
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
10．
解析：
分析：
先设2x2-3x=a，4=b，x2+x=c，-1=d，再根据分合比的性质列方，最后根据解一元二次方程的方法，求解即可.
【详解】
设2x2-3x=a，4=b，x2+x=c，-1=d，则原方程变为
应用分合比性质：则，即bc=ad，
即 4（x2+x）=-2x2+3x
解得
经检验 都是原方程的根.
【点睛】
本题考查分合比性质解一元二次方程，学生们需要认真分析.
11．（1）证明见解析；（2）；（3）y=-x2+5x(0