沪教版九年级上册数学专题训练专题17(双)A字相似解题方法专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题17(双)A字相似解题方法专练(原卷版+解析)，共103页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
3．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
4．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，取的中点，连接，点关于线段的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接、、、，已知，，，，当的值最小时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，、分别交于点、，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（ ）
A．5B．C．5或D．6
第II卷（非选择题）
二、填空题
8．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
9．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
10．如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），不难发现．已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______．
11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE的长是________．
12．如图，、是锐角的两条高线，则图中与相似三角形有______个．
13．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
14．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
15．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为______．
16．平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E，则的值为__________．
17．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．
18．如图，在中，，，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F．若，，则__________．
19．如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．
20．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________．
三、解答题
21．已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
23．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．
24．求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值．
25．如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点处，小丽站在点处，这时小军的身高形成的影子为，小丽身高形成的影子为．
（1）请画图确定灯泡的位置
（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子和分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离为10米，点，，，在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．
26．小明想测量在太阳光下一栋楼高，他设计了一种测量方案如下：如图，小明站到点E处时，刚好使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同；此时，小明测得落在墙上的影子高度（点在同一直线上），已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高（结果精确到）．
27．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
28．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．
29．如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
30．如图，已知矩形ABCD的边长，，动点M从A出发在边AB上以的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D出发在边DA上以的速度向A点匀速运动，MN与AC相交于点Q．

（1）经过多少时间，的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当时，求NQ的长．
31．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度．
32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP．
（1）直接写出OA、AB的长度；
（2）试说明；
（3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值．
33．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，．
（1）求的长度．
（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围．
（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标．
34．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____．
35．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．
36．陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cs39°≈0.8，tan39°≈0.8）
37．如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
38．如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
39．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．
40．如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在AB上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点Q．已知AB=5cm，AC=3cm，设A，P两点间的距离为xcm，A，Q两点间的距离为ycm．
某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ=2AP时，AP的长度约为______cm．
41．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．
42．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．
43．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
44．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
45．如图，AB是的直径，D为AB上一点，C为上一点，且，延长CD交于点E，连接CB．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
46．如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
47．如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
48．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
49．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，圆是的外接圆．
（1）求证：为圆的切线；
（2）若，，求圆的半径．
50．如图，BD为的直径，交BC于．
（1）求AB的长．
（2）延长DB到F，使得，求证：直线FA与相切．
x(cm)
0
1.0
2.5
3.0
3.5
4.0
5.0
y(cm)
4.0
4.7
5.0
4.8
4.1
3.7
专题17（双）A型相似解题方法专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
3．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
4．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，取的中点，连接，点关于线段的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接、、、，已知，，，，当的值最小时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，、分别交于点、，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（ ）
A．5B．C．5或D．6
第II卷（非选择题）
二、填空题
8．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
9．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
10．如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），不难发现．已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______．
11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE的长是________．
12．如图，、是锐角的两条高线，则图中与相似三角形有______个．
13．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
14．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
15．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为______．
16．平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E，则的值为__________．
17．如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．
18．如图，在中，，，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F．若，，则__________．
19．如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为________．
20．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________．
三、解答题
21．已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
23．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．
24．求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值．
25．如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点处，小丽站在点处，这时小军的身高形成的影子为，小丽身高形成的影子为．
（1）请画图确定灯泡的位置
（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子和分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离为10米，点，，，在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．
26．小明想测量在太阳光下一栋楼高，他设计了一种测量方案如下：如图，小明站到点E处时，刚好使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同；此时，小明测得落在墙上的影子高度（点在同一直线上），已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高（结果精确到）．
27．如图，中，中线，交于点，交于点．
（1）求的值．
（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
28．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．
29．如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
30．如图，已知矩形ABCD的边长，，动点M从A出发在边AB上以的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D出发在边DA上以的速度向A点匀速运动，MN与AC相交于点Q．

（1）经过多少时间，的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当时，求NQ的长．
31．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度．
32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP．
（1）直接写出OA、AB的长度；
（2）试说明；
（3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值．
33．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，．
（1）求的长度．
（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围．
（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标．
34．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____．
35．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．
36．陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录．小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度．阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，然后着DM方向走了19米到达点F处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算银杏树AB的高度．（参考数据：sin39°≈0.6，cs39°≈0.8，tan39°≈0.8）
37．如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
38．如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
39．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．
40．如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在AB上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点Q．已知AB=5cm，AC=3cm，设A，P两点间的距离为xcm，A，Q两点间的距离为ycm．
某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ=2AP时，AP的长度约为______cm．
41．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．
42．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．
43．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
44．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
45．如图，AB是的直径，D为AB上一点，C为上一点，且，延长CD交于点E，连接CB．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
46．如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
47．如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
48．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
49．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，圆是的外接圆．
（1）求证：为圆的切线；
（2）若，，求圆的半径．
50．如图，BD为的直径，交BC于．
（1）求AB的长．
（2）延长DB到F，使得，求证：直线FA与相切．
x(cm)
0
1.0
2.5
3.0
3.5
4.0
5.0
y(cm)
4.0
4.7
5.0
4.8
4.1
3.7
参考答案
1．D
分析：
分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．
【详解】
如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
∴△CBE≌△ACF（ASA）
∴CF＝BE，CE＝AF，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，
在Rt△ACF中，
∵AF＝4，CF＝3，
∴AC＝5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
，
，
，
在Rt△BCD中，
∵，BC＝5，
所以．
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
2．D
分析：
易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】
解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴，，
∴，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴，
∴S△ANQ=1，
∵，
∴S△AOB=9，
∴k=2S△AOB=18，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．
3．C
分析：
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
4．A
分析：
根据相似三角形的性质得出，代入求出即可．
【详解】
解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，
∴，
∵△ABC的面积为9，
∴，
∴S△ADE＝1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
5．C
分析：
设点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EG⊥AC于G，过点E作EN⊥BC，交BC延长线于点N，根据题意得出当EF+BF最小时点F的位置，再通过平行线的性质得到∠EAG=∠BDC，从而求出EG的长，再判定四边形EGCN为矩形，得到CN，最后利用△MFC∽MEN将转化为求值即可.
【详解】
解：当EF+BF最小时，如图，点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EG⊥AC于G，过点E作EN⊥BC，交BC延长线于点N，
此时EF+BF的最小值即为EF+FM，即EM，
∵AC=，点D为AC中点，BC=2，
∴AD=CD=，
∴tan∠BDC=，
∵AE∥BD，
∴∠EAG=∠BDC，
∴tan∠EAG==，设EG=x，
∴AG=x，而AE=，
在△AEG中，，
解之得：x=或（舍），
由题意可得：∠N=∠ACB=∠EGC=90°，
∴四边形EGCN为矩形，
∴EG=NC=，
∵AC⊥BC，EN⊥BC，
∴AC∥EN，
∴△MFC∽MEN，
∴，则，
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG的长.
6．B
分析：
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项．
【详解】
解：∵AB∥CD
∴
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△CEG∽△CDH，
∴,
∴,
∵AB∥CD，
∴,
∴,
∴,
∴ ，
∴B选项错误，符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∴D选项正确，不符合题目要求．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
7．B
分析：
分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.
【详解】
解：若△APQ∽△ABC，
∴∠APQ=∠ABC，
∴PQ∥BC，，
∴∠PDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PBD =∠PDB，
∴PB=PD，同理，DQ=CQ，
∵，，，
∴BC=，
设AP=x，根据得,
∴AQ=，
∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，
∴PQ=PD+QD=，
∴，即，
解得：x=，
∴PQ=；
若△APQ∽△ACB，
则，
由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，
可知四边形AMDN为正方形，
∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，
∴AM∥DN，AN∥DM，
∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，
∴△MPD∽△NDQ，
∴，
∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴DM=DN==2，
∴AM=AN=2，
设PM=x，则，
∴NQ=，
∵，即，
解得：x=或-2（舍），
∴AP=+2=，
∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.
综上：PQ的值为.
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.
8．．
分析：
延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【详解】
如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，
∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，

∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
9．
分析：
根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
【详解】
∵MN⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴，
∴
即,
又∵，
∴，
解得,
故填：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．
10．3
分析：
易得△PAB∽△PCD，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB与CD间的距离．
【详解】
解：如图，作PF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，
∴△PAB∽△PCD，
∴，
即：，
解得：PF=3．
故答案为：3．
【点睛】
考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比．
11． 或 或2
分析：
分三种情况进行讨论，或或，分别画出图形，利用对应边成比例的性质列式求出CE的长．
【详解】
解：∵，，，
∴，
①如图，当时，
，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴；
②如图，当时，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
③如图，当时，
，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
综上：CE的长度是 或 或2．
故答案是： 或 或2．
【点睛】
本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质，需要注意进行分类讨论．
12．3
分析：
根据∠BEO=∠CDO=90°，可证，同理可证，，从而得出答案；
【详解】
，是的高，
，
，，
，
，，
，
又∵，
，
，，
，
综上与相似的三角形有3个．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等即可；
13．108
分析：
根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．
【详解】
解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，
∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵，
∴FP：IE：PH=1：2：3，
∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方．
14．； ．
分析：
由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．
【详解】
解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
15．
分析：
根据AC为直角边可分∠CAB=90°和∠ACB=90°两种情况进行讨论．
【详解】
∵为直角三角形，为直角边，
①当时，
∵，又，
∴、、、四点共圆，且为直径，
∵为中点，则为圆心，连接，则为圆的一条弦，
∴圆心一定在的垂直平分线上，
取中点，过做直线，则的运动轨迹为直线，
∴当时，取得最小值，
∵，
∴的解析式为，
又∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的解析式可设为，
代入，得：，，
∴的解析式为，
令，得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当时，
点交于轴原点处不符合题意，故的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键．
16．．
分析：
利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】
∵平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE△ABC，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．
17．4.5
分析：
设之间的距离为x米，根据题意可得，，即，，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度．
【详解】
如图，设之间的距离为x米，
根据题意可得，，
∴
∴，，
∴，，
即，，
∴，
解得，经检验是所列方程的解，
∴，解得，
经检验是所列方程的解，
故路灯的高为4.5米．
故答案为：4.5．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键．
18．2
分析：
过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次利用△CDG∽△CBD,求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，求出BE的长，最后得出答案．
【详解】
解：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，
在直角三角形ABC中，，
∴AB==，
又，
∴AD= ，
∴在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，
∴CH=6－2=4，
在Rt△CHD中，CD==，
∵AE∥DG，
∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，
∴∠CDG=∠B，
又∠DCG=∠BCD，
∴△CDG∽△CBD，
∴，
∴ ，
即20=6CG，
∴CG= ，
∴BG=BC－CG=6－=，
又DG∥AE，
∴△BDG∽△BAE，
又，
∴，
又BG=，
∴BE=BG×=4，
∴CE=6－4=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
19．3
分析：
如图：连接P＇P交BC于O，利用等腰直角三角形的性质得；设，则，可得，CQ=9-t，然后由菱形的性质得，；然后再利用PO//AC可得，最后得到关于t的方程并求解即可．
【详解】
解：如图：连接P＇P交BC于O，
∵∠ACB=90°，AC=BC=9cm，
∴
又∵设，则
∴，CQ=9-t
∵四边形为菱形
∴
∴
∵PO//AC
∴，即，解得t=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了对称变换、菱形的性质和平行线分线段成比例定理，掌握、菱形的性质和平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．
20．5
分析：
由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可．
【详解】
解：∵∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAB，
∴△DAE∽△CAB，
∴S△DAE：S△CAB=，
∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，
∴△ABC的面积=9+16=25，
∴，
∴AC=5．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
分析：
（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．（1）CD与⊙O相切；（2）．
分析：
（1）要判断CD与⊙O的位置关系，可连接OD，判断OD与CD能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF=OF-OE，所以要求EF，只需设法分别求出OF和OE的长度即可；由于AB是⊙O的直径，可以判断出OF与BD平行的位置关系，从而利用和，即可分别求出OF和OE的长度．
【详解】
（1）CD与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADO+∠BDO=∠DAO+∠B=90°，
∵OF⊥AD，OD=OA，
∴∠AOD=2∠AOF，∠DAO=∠ODA．
∵∠AOD=2∠B，
∴∠ADC=∠B．
∴∠ADC+∠ADO=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
∴CD与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为r．
在Rt△OCD中，
∵，
∴，
∴．
∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD．
∴且．
由，得，．
∴．
由，得，．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点．熟知切线的判定方法和相似三角形的判定与性质的综合运用是解题的基础；在解决问题的过程中，善于观察和思考，努力寻找和发现解决问题的方法是关键．
23．（1）见解析；（2）
分析：
（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；
（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP
【详解】
解：（1）连接OC，
∵AC平分∠EAP，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AE∥OC，
∴∠E＝∠OCP＝90°，
∵OC是圆O的半径
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵PB：PC＝1：2，
∴设PB＝x，PC＝2x，
∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2，
∴x，
∴PC，PB，
∴AP，
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键．
24．见解析
分析：
根据题意作出图象，利用相似三角形的性质说明即可．
【详解】
解：如图所示，CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、BN为该人前后的两个影子．
∵AB∥CD，
∴△ABM∽△CDM
∴，
∴，
即 MB=．
同理BN=．
∴MB+BN==常数（定值）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正确的根据题意作出图形并利用相似三角形的判定和性质推理论证是解题关键．
25．（1）见解析；（2）路灯的高度7.2米．
分析：
（1）连接EB，FD，延长EB交FD的延长线于点P，点P即为所求作．
（2）过点P作PH⊥AC于H．设AH＝x米，则CH＝（10−x）米，利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）作图如下：
点即为所求灯泡的位置．
（2）过做于点，
设米，则米，
，，，
．
．
．
．
同理可证：．
．
即．
解得：．
．
解得：．
答：路灯的高度7.2米．
【点睛】
本题考查作图−应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．楼高约为20米．
分析：
首先过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，利用平行线的性质得出BG的长，进而得出AB的长即可．
【详解】
过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，
FH＝EF−EH＝1.7−1.2＝0.5．
因为EF∥AB，
所以△DHF∽△DGB，
所以，即，
解得BG＝18.75，
所以AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20．
答：楼高AB约为20米．
【点睛】
本题是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
27．（1）3；（2），证明见解析
分析：
（1）先证明，再证明，得到，则问题可解；
（2）根据题意分别证明，问题可证．
【详解】
解：（1）是的中点，是的中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）当，时，
由（1）可得
，，，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
28．
分析：
由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式，代入数值求解即可．
【详解】
解： ∵四边形EFGH是正方形
∴EH∥BC
∴△AEH∽△ABC
∴ ，即
解得：EH=
∴EFGH的边长为
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，根据正方形的性质得到△AEH∽△ABC是解题关键．
29．（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11
分析：
（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得；
（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出＝60°；
（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．
【详解】
（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．
∴DB＝AB．
解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．
∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△DCH为等边三角形．
∴∠ACB ＝60°．
（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，
∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH．
∴．
∴，
．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，
解得AB＝16－．
在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，
∴BO＝16－．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即．
解得（舍去）．
∴AC＝．
∴AF＝11．
【点睛】
本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．
30．（1）2秒；（2）或2（3）
分析：
（1）设时间为t，用t表示出AM和AN的长，根据三角形的面积列式求出t的值；
（2）分两种情况进行讨论，或，利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值；
（3）过点Q作于点P，求出时，AN、AM的长，设，，利用相似三角形对应边成比例列式求出x和y的值，再用勾股定理求出NQ的长．
【详解】
解：（1）设时间为t，则，，
，
，
，
，
，
经过2秒，的面积等于矩形ABCD面积的；
∵，
∴分两种情况讨论，
①，
∴，则，解得，符合题意；
②，
∴，则，解得，符合题意；
综上：t为或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似；
（3）如图，过点Q作于点P，
当时，，，，
设，，
∵，
∴，即①，
∵，
∴，即②，
根据①和②求出，，
则，，
根据勾股定理．
【点睛】
本题考查动点问题，解题的关键是掌握设时间t，列式解一元二次方程的方法，利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解的方法，再考虑三角形相似的时候要注意分类讨论．
31．AB=62米
分析：
易证△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，然后根据相似三角形的性质及等量代换可得＝，由此可得关于AC的方程，解方程即可求出AC，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵DC∥AB，HG∥AB，
∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝， ＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，解得： CA＝120（米），
∵＝，
∴＝，解得： AB＝62（米）．
答：大雁塔的高度AB为62米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意、灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
32．（1）；（2）见解析；（3），2．
分析：
（1）根据点A、B的坐标即可得；
（2）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得；
（3）先根据矩形的性质、线段的和差可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此可得的AM边上的高为，然后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，最后解一元二次方程可得的值．
【详解】
（1），
；
（2），
∴，
∴；
（3）由题意得：，且，
则，
四边形OABC是矩形，
，
，
∵，
∴，即，
解得，
，
，
的AM边上的高为，
，
即，
当时，，
解得，
故的值为2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
33．（1）10；（2）①时，；②t>10时， ；（3）当时，，；当t>10时，，．
分析：
（1）由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长；
（2）分两种情况讨论：当时或当t>10时，根据三角形面积公式解题即可；
（3）分两种情况讨论，当时，作作，交DG于N，交BC于M，由等腰三角形三线合一的性质，解得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质，设DN=m，解得AD=，OD=，当时根据勾股定理解得BH、DH的长，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当t>10时，方法同上．
【详解】
（1）在中
（2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6
①当时，CD=AC-AD=10-t，；
②当t>10时，CD=AD-AC=t-10, ；
（3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M，
．
又
设DN=m，则AD=
OD=，
当时
BH=，同理
在中，
即
解得
(舍去)或
当t>10时，如图：
作，交DG于N，交BC于M，
．
又
设DN=m，则AD=
OD=，
当时
BH=，同理
在中，
即
解得
或(舍去)
综上所述，当时，，；当t>10时，，．
【点睛】
本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
34．
分析：
过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长．
【详解】
如图，过点A作AM⊥BC于M，
∵△ABC的BC边上的高是3，
∴AM=3，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，
∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，
∴，．
∴．
∴GF=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键．
35．【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为．
分析：
定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；
定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；
（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案．
【详解】
定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，
，
在和中，，
，
，
，且；
定理应用：（1），
，
在和中，，
，
，
即；
（2）如图，过点O作于点M，作于点N，
四边形ABCD是矩形，
，即，
，
点O是AC的中点，
、是的两条中位线，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即与的面积比．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键．
36．40.8米
分析：
由题意过C作CH⊥AB于N，则四边形BDCN是矩形，根据矩形的性质得到CN＝BD，BN＝CD＝0．8，设BD＝CN＝x，则BG＝22+x，根据三角函数的定义得到AN＝CN•tan39°＝0．8x，求得AB＝0．8x+0．8，根据相似三角形的性质求出x，即可得到结果．
【详解】
解：过C作CH⊥AB于N，如图所示：
则四边形BDCN是矩形，
∴CN＝BD，BN＝CD＝0．8，
设BD＝CN＝x，
则BG＝BD+DF+FG＝x+19+3＝22+x，
∵小华站在点D处利用测倾器测得银杏树顶端A的仰角为39°，
∴∠ACN＝39°，
在Rt△ACN中，AN＝CN•tan39°＝0．8x，
∴AB＝AN+BN＝0．8x+0．8，
∵AB⊥BG，EF⊥BG，
∴EF∥AB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，即＝，
解得：x＝50，
∴AB＝＝40.8（米）．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
37．（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．
分析：
设AM＝a，AN＝b．由＝m，＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b．
（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，利用ASA证明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式＝，求解即可；
②由①的结论m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，证明△OBG∽△OCN，根据相似三角形对应边成比例得出＝，那么BG＝b．由BG∥AN列出比例式＝，整理即可得出m，n之间的关系.
【详解】
解：设AM＝a，AN＝b.
∵＝m，＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.
（1）①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN（ASA），
∴BH＝CN＝（n﹣1）b.
∵BH∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
，
∴△OBG∽△OCN，
∴＝，即＝k，
∴BG＝b.
∵BG∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝，
∴n＝k﹣km+1.
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.
38．（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．
【详解】
解：（1）在△AEF和△ABC中，
∵，，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
39．见解析
分析：
首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDA∽△CEB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．
【详解】
证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴CD：CE=CA：CB，
∴CD：CA=CE：CB，
∴△DCE∽△ACB．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE∽△CAB是解题的关键．
40．（1）表见解析；（2）图见解析；（3）2.42
分析：
（1）根据题意，要填表，首先要求出x与y的函数关系，先连接BC，过点C作CFAB于点F，用等积法求出CF长；连接BQ，记AQ于PC的垂足为点G，由把AG用x和y表示，再在用等积法表示出PC长；作PEAC于点E，在中用锐角三角函数表示出AE与PE；最后在中根据勾股定理列出方程得到x与y的函数关系式；然后把对应的x值或者y值带入求解．
（2）画出平面直角坐标系，描点画图．
（3）根据题意，画出它的图象，与上面函数的图象的交点的横坐标就是AP的长度．
【详解】
（1）连接BC，过点C作CFAB于点F，
∵AB是直径
∴
在中，AC=3，AB=5，∴BC=4，
由等积法， ，
∴，
连接BQ，记AQ于PC的垂足为点G，
∵AB是直径
∴AQBQ
又∵AQPC
∴PC//BQ
∴
∴，
在中由等积法，，
∴
作PEAC于点E，
∵PEAC，BCAC
∴PE//BC
∴
∴，，，
再由勾股定理求出，
在中，，
，，解得．
（2）建立平面直角坐标系，描点画图
（3）∵∴，画出的函数图象找到它与上题图象的交点，交点的横坐标就是AP的长，根据图象，．
【点睛】
本题考查了圆的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，等积法求三角形的高，关键在于对这些知识点的熟练运用，构造辅助线求边长，最终通过勾股定理列出方程表示函数关系．
41．
分析：
先证明，得到，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再利用全等三角形的性质，即可得到答案．
【详解】
解：如图，连接与交于点，并补全矩形为．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到，从而求出所需边的长度．
42．13.6m．
分析：
由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到，，可得，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6m，从而求解．
【详解】
解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，
∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴，，
∴，即，
解得：BD＝21m，
∴，
解得：AB＝13.6m．
即该校旗杆的高度AB为13.6m．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．
43．（1）；（2）BF＝3．
分析：
（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴，
∴．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
【点睛】
本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
44．（1）证明见解析；（2）9．
分析：
（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线；
（2）证得，求得，利用求得答案即可．
【详解】
证明： 连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【点睛】
此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
45．（1）见解析；（2）
分析：
（1）证明，利用，得到两底角相等，结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）连接OC，OE，由， 证明，再证明，结合，设，，建立关于的方程可得答案．
【详解】
解：（1）∵AB是的直径，，
∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）连接OC，OE，
∵，
∴，
∵，
∴，
又．
∴．
又，
∴，
∴，
又，∴，，
设，，则，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
即．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
46．（1）4;（2）①90°；②
分析：
（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.

【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
47．（1）4；（2）
分析：
（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；
（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵平分，，∴．
在中，，，，∴．
在中，，，，∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
（2）∵点是线段的中点，∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．
48．（1）详见解析；（2）BE＝12．
分析：
（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到，根据圆周角定理得∠ACG=∠CAE，则AF=CF=5，在Rt△ADF中利用三角函数的定义可计算出DF=3，AD=4，再证明△OAH≌△OCD得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后证明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可计算出BE．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∴PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，
∵CG⊥AB，
∴，
∴，
∴∠ACG＝∠CAE，
∴AF＝CF＝5，
∵PC∥AE，
∴∠EAB＝∠P，
在Rt△ADF中，
∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，
∴DF＝3，AD＝4，
在△OAH和△OCD中,
，
∴△OAH≌△OCD（AAS），
∴AH＝CD＝5+3＝8，
∴AE＝2AH＝16，
∵∠DAF＝∠EAB，
∴Rt△ADF∽Rt△AEB，
∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，
∴BE＝12．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
49．（1）证明见详解；（2）圆的半径为3.
分析：
（1）连接，根据半径所形成的等腰三角形和平分可以得到，从而证出，即可得证；
（2）根据角度的转化，结合得到，可以证明，结合相似三角形的性质可以得到，同时，利用角度相等则三角函数值相等可以得到，从而分别求出，即可求出半径；
【详解】
（1）连接
圆是的外接圆


平分





即
为圆的切线
（2）


由（1）证得：





在和中：


，且



，

圆是的外接圆,且
是圆的直径
圆的半径为3
【点睛】
本题主要借助平行线进行圆切线的判定，同时考查了圆和三角形的相似，综合度比较高，准确的作出辅助线并找到相似三角形是求解本题的关键.
50．（1）；（2）见解析
分析：
（1）先证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质可求得AB的长；
（2）连接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可证明△AOB为等腰三角形，结合BF=BO可证明∠OAF=90°，证得结论．
【详解】
解：，
，
∽，
，
，
，
，解得；
证明：如图，连接OA，

为直径，
为直角三角形，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
直线FA与相切．
【点睛】
本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．x(cm)
0
1.0
1.8
2.5
3.0
3.5
4.0
5.0
y(cm)
4.0
4.7
5.0
4.8
4.5
4.1
3.7
3.0