沪教版九年级上册数学专题训练专题09利用相似求坐标重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题09利用相似求坐标重难点专练(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在
A．点上B．点上C．点上D．点上
3．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（，2）
第II卷（非选择题）
二、解答题
4．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
5．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D．
（1）求直线l的解析式．
（2）是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切？如果存在，请直接写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC=2，AB=，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求∠ACB度数及点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P．问：
①连接PA，AA，则∠AAP= °；
②在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．
10．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标；
（2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；
（3） 是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、填空题
11．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．
12．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．
13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，则点坐标为____．
14．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E，连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，则点M的坐标_____．
15．已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________.
16．在平面直角坐标平面内，点光源位于A(0，5)处，线段CD⊥x轴，D为垂足，点C的坐标为(3，1)，则CD在x轴上的影长为________，点C的影子的坐标为________．
17．已知是平面直角坐标中的一点，点是轴负半轴上一动点，联结，并以为边在轴上方作矩形，且满足，设点的横坐标是，如果用含的代数式表示点的坐标，那么点的坐标是_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，若，则点的坐标是__________．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线垂直时，点P的坐标为____
专题09 利用相似求坐标重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在
A．点上B．点上C．点上D．点上
3．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（，2）
第II卷（非选择题）
二、解答题
4．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
5．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D．
（1）求直线l的解析式．
（2）是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切？如果存在，请直接写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC=2，AB=，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求∠ACB度数及点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P．问：
①连接PA，AA，则∠AAP= °；
②在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标．
10．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标；
（2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；
（3） 是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、填空题
11．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．
12．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．
13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，则点坐标为____．
14．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E，连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，则点M的坐标_____．
15．已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________.
16．在平面直角坐标平面内，点光源位于A(0，5)处，线段CD⊥x轴，D为垂足，点C的坐标为(3，1)，则CD在x轴上的影长为________，点C的影子的坐标为________．
17．已知是平面直角坐标中的一点，点是轴负半轴上一动点，联结，并以为边在轴上方作矩形，且满足，设点的横坐标是，如果用含的代数式表示点的坐标，那么点的坐标是_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，若，则点的坐标是__________．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线垂直时，点P的坐标为____
参考答案
1．D
分析：
利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】
∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
2．B
分析：
由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
【详解】
解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，
又BA=2，AC=2，
∴BA：AC=1：，
∴BP：PD=1：或BP：PD=：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故选B．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键
3．B
【详解】
根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）．
故选：B．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点．
4．（1）；（2）或．
分析：
（1）利用反比例函数（x＞0）经过点A(m，4)和点B(6，2)，可确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可得答案；
（2）根据AB解析式可得出C、D坐标，可得OD、OC得长，根据两点间距离公式可得AD得长，分PA⊥OD时，AP'⊥CD两种情况讨论，利用相似三角形得性质即可得答案．
【详解】
（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），
∴3=，，
解得：m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）如图，当PA⊥OD时，
∴PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
∵A（2，3），点P在x轴上，
∴P（2，0）．
②当AP′⊥CD时，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴当y=0时，x=8，x=0时，y=4，
∴C（0，4），D（8，0），
∴AD==，OD=8，OC=4，CD==，
∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC，
∴△P′DA∽△CDO，
∴，即，
解得：DP′=，
∴OP′=OD-DP′=
∴P′（，0），
综上所述：满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
5．（1）二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4（2）点P的坐标为（，）；（3）存在，点P的坐标为：（，）
分析：
（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可；
（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；
（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则，得出方程，解方程即可；
【详解】
（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得：，解得：；
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝，
∴点D的坐标为：（，），
将x代入y＝﹣x+4，即y4，
∴点E的坐标为：（，），∴DE；
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t，解得：（不合题意舍去），，
当t时，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由如下：如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴，
∵C（0，4）、E（，），
∴CE，
由（2）得：DE，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CFt，∴，
∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，
解得：t，
当t时，，
∴点P的坐标为：（，）；
【点睛】
本题主要考查二次函数、平行四边形、相似三角形的性质，关键在对于动点问题的分析和配方求最值；
6．（1）y=x＋；（2）存在，圆心P的坐标为（，0）或（5，0）
分析：
（1）连接CD，根据点A和点C的坐标，即可求出AC，根据相切的性质即可求出CD=OC=1，再利用锐角三角函数求出∠CAD=30°，从而求出OB的长，即可求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出结论；
（2）根据⊙P与⊙C的相对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用相似三角形的判定及性质即可分别求解．
【详解】
解：（1）连接CD
∵点C坐标为（1，0），A（-1，0）
∴AC=1－（-1）=2，OA=OC=1
∵⊙C与y轴相切，直线l与⊙C相切于点D
∴CD=OC=1，∠CDA=90°
∴sin∠CAD=
∴∠CAD=30°
在Rt△AOB中，OB=OA·tan∠OAB=
∴点B的坐标为（0，）
设直线l的解析式为y=kx＋b
将点A、B的坐标代入，得
解得：
∴直线l的解析式为y=x＋；
（2）当⊙P在⊙C左侧时，则⊙P与⊙C外切于点O，与直线l相切于点E，连接PE，设⊙P的半径为r
∴∠AEP=∠ADC=90°，OP=PE=r，AP=OA－OP=1－r，
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴
即
解得：r=
∴此时点P的坐标为（，0）；
当⊙P在⊙C右侧时，则⊙P与⊙C外切于F，与直线l相切于点E，连接PE，设⊙P的半径为r
∴∠AEP=∠ADC=90°，PF=PE=r，AP=OA＋OF＋PF=1＋2＋r=3＋r，
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴
即
解得：r=3
∴OP=OF＋PF=5
∴此时点P的坐标为（5，0）
综上：存在，圆心P的坐标为（，0）或（5，0）．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数、求一次函数解析式、相似三角形的判定及性质、直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，掌握锐角三角函数、求一次函数解析式、相似三角形的判定及性质和切线的性质是解题关键．
7．（1）；（2）点P（﹣1，3）或（﹣3，3）
分析：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、坐标与图形的性质、解二元一次方程、解绝对值方程，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用相似三角形的性质：高之比等于相似比求解是解答的关键．
8．（1）60°；（2）3（3）①30②存在；，
分析：
（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题；
（2）设OB＝a，则点A的坐标（a，2），由题意CE＝1．DE＝，可得D（3＋a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a＝（3＋a），求出a即可；
（3）①如图，设四边形ABCD向右平移m个单位，则P（3，t），AA1∥x轴，则A1（3＋m，2），D1（6＋m，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3t＝（6＋m），解得t＝m＋2，则PA＝m，再利用特殊角的三角函数值得到∠PA1A＝30°；
②分两种情形：如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．如图3中，当∠PDA1＝90°时．根据三角函数的性质及相似三角形的判定与性质分别求解；
【详解】
解：（1）如图1，作DE⊥x轴于E．
∵∠ABC=90°
∴tan∠ACB=
∴∠ACB=60°
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°﹣60°=30°，
∴CE=1，DE=，
∴OE=OB+BC+CE=5，
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），
由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a=（3+a），
∴a=3，
∴OB=3．
（3）①如图，∵OB＝3，
∴A（3，2），D（6，），
设四边形ABCD向右平移m个单位，P（3，t），AA1∥x轴，则A1（3＋m，2），D1（6＋m，），
∵点P和点D1都在反比例函数y＝的图象上，
∴3t＝（6＋m），解得t＝m＋2，
∴PA＝m，
在Rt△PAA1中，tan∠PA1A＝，
∴∠PA1A＝30°，
故答案为：30°；
②存在．如图2中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°．
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝2，
∴AA1＝，
在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°，
∴PA＝=，
∴PB＝AP+AB=+=，
由（2）可知P（3，），
∴k＝3×=10．
②如图3中，当∠PDA1＝90°时．作DM⊥AB于M，A1N⊥MD交MD的延长线于N．
∵∠PAK＝∠KDA1＝90°，∠AKP＝∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴．
∴，
∵∠AKD＝∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1＝∠KAD＝30°
∴PD＝A1D，
∵四边形AMNA1是矩形，
∴A1N＝AM＝，
∵△PDM∽△DA1N，
∴PM＝DN，设DN＝m，则PM＝m，
∴P（3，＋m），D1（9＋m，），
∵P，D1在同一反比例函数图象上，
∴3（＋m）＝（9＋m），
解得m＝3，
∴P（3，4），
∴k＝3×4=12．
综上， k=10或12．
【点睛】
本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
9．（1）；（2）点；（3）或或或
分析：
（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解；
（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标；
（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可．
【详解】
解：（1）当时，，解得，．
∴、、．
由题意得，设对应的函数表达式为，
又∵经过点，
∴，
∴．
∴对应的函数表达式为．
（2）∵、与轴交点均为、，
∴、的对称轴都是直线．
∴点在直线上．
∴．
如图1，当、、三点共线时，的值最大，
此时点为直线与直线的交点．
由、可求得，直线对应的函数表达式为．
∴点．
（3）由题意可得，，，，
因为在中，，故．
由，得顶点．
因为的顶点P在直线上，点Q在上，
∴不可能是直角．
第一种情况：当时，
①如图2，当时，则得．
设，则，
∴．
由得，解得．
∵时，点Q与点P重合，不符合题意，
∴舍去，此时．
②如图3，当时，则得．
设，则．
∴．
由得，解得（舍），此时．
第二种情况：当时，
①如图4，当时，则得．
过Q作交对称轴于点M，∴．
∴．由图2可知，
∴．
∴，又，代入得．
∵点，
∴点．
②如图5，当时，则．
过Q作交对称轴于点M，
∴，则．
由图3可知，，
∴，，
∴．
又，代入得．
∵点，
∴点，
综上所述，或或或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．
10．（1）；（2）或；（3）存在，
分析：
（1）易证点P是△MON的自相似点，过点P作PD⊥x轴于D点根据M、N坐标易知∠MNO=90°，再利用三角函数可求出P点坐标；
（2）根据坐标发现ON=MN=2，要找自相似点只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON,分别画出图形，根据图形性质，结合相似可求出自相似点的坐标；
（3）根据前两问可发现，要想有自相似点，其实质就是在大角里面做小角，当三个角都相等时，即△OMN为等边三角形时，不存在自相似点，因此可得到直线OM的解析式y=x，与的交点就是M，从而可以求得N的坐标.
【详解】
解：(1)在△ONP和△OMN中，
∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON
∴△ONP∽△OMN
∴点P是△MON的自相似点.
过点P作PD⊥x轴于D点．
∴.
∵△NOP∽△MON，M的坐标是，点N的坐标是，
∴,
∴.
在Rt△OPN中，.
.
.
∴.
（2）①如图3，过点M作MH⊥x轴于H点,
∵
∴，直线OM的表达式为,
∵是△MON的自相似点，
∴△∽△NOM，
过点作⊥x轴于Q点，
∴
∴的横坐标为1，
∴
∴．
如图4，
△∽△NOM ，
∴
∴．
∵的纵坐标为，
∴
∴,
∴．
综上所述，或．
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，．理由如下：
，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
考点：1相似三角形；2反比例函数；3解直角三角形；4一次函数；5分类思想；6等边三角形.
11．（2，0）或（，0）
分析：
设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标．
【详解】
解：∵A（4，0）和B点（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵C是AB的中点，
∴AC=2.5，
设P（x，0），
由题意可知点P在点A的左侧，
∴AP=4﹣x，
∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，
∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，
当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2，
∴P（2，0）；
当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=，
∴P（，0）；
综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）．
故答案为：（2，0）或（，0）．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论．
12．
分析：
过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
13．
分析：
过点A作AD⊥OB于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，先求出点A的坐标以及AB的长，设C(x，y)，再证∆ABD~∆BCE，CE=BE，得y=(x-6)，联立方程组，进而即可求解．
【详解】
过点A作AD⊥OB于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
∴，
∴D(3，0)，
∵，AD⊥OB，
∴OB=2OD=6，BD=OD=3，
∴B(6，0)，
∴AB==2，
设C(x，y)，
∵AD⊥OB，CE⊥x轴，
∴∠ADB=∠CEB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴∆ABD~∆BCE，
∴，即，
∴CE=BE，
∴y=(x-6)，
∵点C在反比例函数上，
联立得方程组：，解得：或（舍去），
∴点C的坐标是：．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的的判定和性质，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
14．（1，﹣1）或（﹣，）
分析：
如图，连接AC交BF于M1，延长CD、BF交于点M2，直线BM2与y轴交于点N，连接DM1，OM1．首先证明点M1，M2是满足条件的点．然后求出它们的坐标即可．
【详解】
解：如图，连接AC交BF于M1，延长CD、BF交于点M2，直线BM2与y轴交于点N，连接DM1，OM1．
∵∠DBF＝∠FBO＝∠EDO＝∠EOD＝22.5°，
∴△BDM1∽△ODE，△BDM2∽△DEO，
∵B（2，0），M2（−，），
∴直线BM2的解析式为y＝（−＋1）x＋2−2．
∴点N（0，2−2），
∵M1D＝M1B＝M1O，
∴∠M1OB＝∠M1BO，
∵∠M1OB＋∠NOM1＝90°，∠ONB＋∠OBN＝90°，
∴∠ONB＝∠NOM1，
∴OM1＝NM1＝M1B，
∴M1（1，−1），
∴满足条件的点M的坐标为（1，−1）或（−，）．
故答案为（1，−1）或（−，）．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、三角形的外接圆与外心、一次函数等知识，解题的关键是学会利用一次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
15．
解析：
分析：
根据两相似三角形的对应边成比例求得DE的长度，然后由两点间的距离公式可以求得点E的坐标．
【详解】
解：∵点A、B、C、D的坐标分别为（-5，3）、（1，3）、（1，-1）、（4，3），
∴AB=6，AD=9，BC=4，
又∵，
∴，BC∥DE，
∴DE=6，E点横坐标与D点相同，
设点E的坐标为（4，y），
∴3-y=6，
解得，y=-3，
∴点E的坐标为（4，-3）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质．解答该题的关键是根据相似三角形的对应边成比例求得线段DE的长度．
16． （3.75，0）
分析：
根据题意，结合图形，利用相似三角形△ECD∽△EAO的性质解答．
【详解】
解：如图：
∵CD⊥x轴，
∴CD//OA，
∴△ECD∽△EAO，
∴DE：OE=CD：OA，
∵A(0,5)，C点坐标为(3,1)，
∴DE：(DE+3)=1：5，
∴DE=，
OE=OD+DE=+3=
∴CD在x轴上的影长为，点C的影子的坐标为(,0)．
故答案是，(,0)．
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系的知识，还考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例．解题关键是根据相似三角形性质求出ＤＥ的长．
17．
分析：
作辅助线,证明△BCH∽△ABF,求得,进而证明△BCH≌△ADE,求出AE=BH=1,DE=CH=,即可解题.
【详解】
解：如图,过点C作CH⊥x轴于H,过A作AF⊥x轴于F,AG⊥y轴于G,过D作DE⊥AG于E,
∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°,
∴∠GAF=90°,∠DAE=∠FAB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴∠BCH=∠ABF,
∴△BCH∽△ABF
∴,
∵A(3,2),
∴AF=2,AG=3,
∵点C的横坐标是a,
∴OH=-a,
∵BC：AB= 1: 2,
∴BH=,CH=,
∵△BCH∽△ABF
∴∠HBC=∠DAE,
在△BCH与△ADE中

∴△BCH≌△ADE,
∴AE=BH=1,DE=CH=,
∴EG=3-1=2,
∴D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,坐标与图形的性质,全等三角形的图形和性质,中等难度,证明三角形相似和全等是解题关键.
18．（3，3）
分析：
求点的坐标问题，首先是作出跟坐标有关的线段，即由这点向坐标轴分别做垂线段，然后设点的坐标，再根据条件找出所设未知数满足的方程，求解即可；
【详解】
如图，
过 B 作 BN⊥x 轴于 N ，过 P 作 PM⊥x 轴于 M ， PC⊥BN 于 C ，
则 ∠PCB=∠PMA=90°，∠PCN=∠CNM=∠PMN=90° ，
∴四边形 MNCP 是矩形，
∴PC=MN，PM=CN，∠CPM=90，PC ∥ MN ，
∵∠1=∠2 ， P 在直线 y=x 上，
∴∠2+∠BPC=∠POA=45°=∠1+∠APM ，
∴∠BPC=∠MPA ，
设 P 的坐标为 (a，a) ，
∵ 点 A(2,0), 点 B(6，4) ，
∴PM=a ， AM=a−2 ， PC=6−a ， BC=4−a ，
∵∠BPC=∠MPA，∠PCB=∠PMA=90° ，
∴△MPA ∽ △CPB ，
∴ ,即 ，
解得： a =3 ，
∴ P 的坐标为 (3，3) .
故答案为 (3，3).
【点睛】
本题的两个难点，一是设点P坐标时，设为(a，a)即可，这是直线y=x上点的特征：横纵坐标相同，二是找出所设未知量的方程，本题是利用相似三角形性质得到，有时可利用勾股定理或三角函数列出.
19．(1,)
分析：
先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．
【详解】
由题意可知，OB=2，AO=8，
∵CD⊥BO，C是AB的中点，
∴BD=DO=BO==PE，CD=AO=4.
设DP=a，则CP=4﹣a，当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP，
又∵EP⊥CP，PD⊥BD，
∴∠EPC=∠PDB=90°，
∴△EPC∽△PDB.
∴，
∴a1=1，a2=3（舍去）
.∴DP=1，
∵PE=，
∴P（1，）.
考点：1相似三角形性质与判定；2平面直角坐标系.