沪教版九年级上册数学专题训练专题21三等角相似解题方法专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题21三等角相似解题方法专练(原卷版+解析)，共164页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形中，，是的中点，连接，，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AD﹣DE﹣EA向终点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段QC上，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜12）．
（1）当点P在线段EA上运动时，求线段PE的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AC边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）当点N与点E不重合时，作直线NE，直接写出直线NE将△ABC分成的两部分图形的面积比为1：2时t的值．
8．（推理）
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
（运用）
（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
（拓展）
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
9．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．
（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点直线与轴交于点，与轴交于点，，的面积为2．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，线段上有一点，直线为，轴，将绕点顺时针旋转，交于点，求点的坐标．（用含的式子表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点，若，求点的坐标．
11．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．

13．抛物线经过点，，直线过点，，点是抛物线上点，间的动点（不含端点，），过作轴于点，连接，．
（1）求抛物线与直线的解析式：
（2）求证：为定值；
（3）若的面积为1，求满足条件的点的坐标．
14．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
15．如图，二次函数与轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，∠BAC的角平分线交于点D，过D点的直线与射线AB，AC分别交于E，F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，证明：当直线绕点D旋转时，为定值，并求出该定值；
（3）如图2，在第一象限的抛物线存在点P，使得，请求出点P的坐标．
16．在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接．
（1）观察猜想
如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值．
17．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
18．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
19．问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝ ．
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）
20．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长
21．已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设．
（1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；
（2）当是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由．
22．如图，正方形的边长为2，点O是坐标系的原点，点B在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，点C为的中点，直线交x轴于点F．
（1）求直线的函数关系式；
（2）过点C作且交x轴于点E，求证：；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线上的一个动点，求的最小值．
23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，顶点为．
（1）求此函数的关系式；
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作直线轴，交与点，当点坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点形成平行四边形，求出，点的坐标．
（4）在轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
24．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF•FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值．
25．如图，矩形中，，，点是边上一个动点（不与点、重合），的垂线交的延长线于点．点在线段上，满足．设．
（1）求证：；
（2）当点在的内部时，用的代数式表示的余切；
（3）当时，求线段的长．
26．如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN最大时，求运动的时间；
（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？
28．定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线．
（1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上；
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长．
29．（问题情境）如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
（探索发现）如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由．
（类比迁移）如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．
30．在中，，，．
（1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．

（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
31．将一副三角尺如图①摆放，在中，；在中，，点为的中点，交于点，经过点．
（1）求的度数；
（2）如图②，将绕点顺时针方向旋转角（），此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
32．关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成：
①BG·AE＝___________；
②求∠EOG的度数．
33．如图， AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点D， DE⊥BC于点E，连接BD．
（1） 求证： AB = BC；
（2） 求证：DE•AB = AD•BD．
34．在平面直角坐标系xOy中，直线与轴、轴分别交于点A、B，与直线相交于点C．
(1)直接写出点C的坐标；
(2)如图，现将直角∠FCE绕直角顶点C旋转，旋转时始终保持直角边CF与轴、轴分别交于点F、点D，直角边CE与轴交于点E.
①在直角∠FCE旋转过程中，的值是否会发生变化?若改变，请说明理由；若不变，请求出这个值.
②在直角∠FCE旋转过程中，是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ODE相似?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
35．已知抛物线W1与y轴交于点C，其关于x轴对称的抛物线为W2：y＝x2-mx+n，且W2经过点A（-3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线W1的解析式；
（2）将抛物线W1沿x轴向右平移得到抛物线W3，抛物线W3与x轴的交点记为点D和点E（D在E的右侧），与y轴交于点Q，如果满足△AOC与△DOQ相似，请求出平移后抛物线W3的表达式．
36．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
37．已知四边形是矩形．
（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．
①求证：；
②若，求的大小；
（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．
38．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
39．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
40．在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
（1）求PD的长；
（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的长．
41．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD=TH，过D做x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH=2，求点D的坐标．
42．如图，抛物线和直线交于，两点，点在轴上，点在直线上，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上．
①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
43．如图，的一边经过的圆心，另一边与交于点，作的平分线与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：
（2）若．
①若，则的长为______；
②的最大值为______．
44．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；
②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
三、填空题
45．有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______．
46．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．
47．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．
48．如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为______．
49．如图，ACM中，ABC、BDE和DFG是等边三角形，点E、G在ACM边CM上，设ABC，BDE和DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1=8，S3=2，S2=________．
50．图2、图3是起重机平移物体示意图．在固定机架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM＝．吊杆BCE由伸缩杆BC与6m长的直杆CE组成，在机架BAM与直杆CE间有一根9m长的支撑杆AD，且CD＝2m．假设起重机吊起物体准备平移时，点E、C、B恰好在同一水平线上（图2），在物体平移过程中始终保持EB∥AM（AM处在水平位置）．
（1）如图2，当准备平移物体时，伸缩杆BC＝_____m．
（2）在物体沿EB方向平移过程中，当∠ADE＝60°时，物体被平移的距离为_____m．
专题21 三等角相似解题方法专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形中，，是的中点，连接，，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线AD﹣DE﹣EA向终点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段QC上，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜12）．
（1）当点P在线段EA上运动时，求线段PE的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点N落在AC边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
（4）当点N与点E不重合时，作直线NE，直接写出直线NE将△ABC分成的两部分图形的面积比为1：2时t的值．
8．（推理）
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
（运用）
（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
（拓展）
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
9．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．
（1）当时，
①求证：；
②连结，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形．
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点直线与轴交于点，与轴交于点，，的面积为2．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，线段上有一点，直线为，轴，将绕点顺时针旋转，交于点，求点的坐标．（用含的式子表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点，若，求点的坐标．
11．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．

13．抛物线经过点，，直线过点，，点是抛物线上点，间的动点（不含端点，），过作轴于点，连接，．
（1）求抛物线与直线的解析式：
（2）求证：为定值；
（3）若的面积为1，求满足条件的点的坐标．
14．在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
15．如图，二次函数与轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且，∠BAC的角平分线交于点D，过D点的直线与射线AB，AC分别交于E，F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，证明：当直线绕点D旋转时，为定值，并求出该定值；
（3）如图2，在第一象限的抛物线存在点P，使得，请求出点P的坐标．
16．在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接．
（1）观察猜想
如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）类比探究
当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值．
17．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
18．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
19．问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝ ．
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）
20．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长
21．已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设．
（1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；
（2）当是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由．
22．如图，正方形的边长为2，点O是坐标系的原点，点B在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，点C为的中点，直线交x轴于点F．
（1）求直线的函数关系式；
（2）过点C作且交x轴于点E，求证：；
（3）求点E坐标；
（4）点P是直线上的一个动点，求的最小值．
23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，顶点为．
（1）求此函数的关系式；
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作直线轴，交与点，当点坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点形成平行四边形，求出，点的坐标．
（4）在轴上是否存在一点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
24．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF•FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求的值．
25．如图，矩形中，，，点是边上一个动点（不与点、重合），的垂线交的延长线于点．点在线段上，满足．设．
（1）求证：；
（2）当点在的内部时，用的代数式表示的余切；
（3）当时，求线段的长．
26．如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN最大时，求运动的时间；
（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？
28．定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为互余四边形，这两个角的夹边称为互余线．
（1）在ΔABC中，AB=AC，AD是ΔABC的角平分线，E、F分别是BD，AD上的点，求证：四边形ABEF是互余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的互余四边形ABEF，使AB是互余线，E、F在格点上；
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N，若N为AC的中点，DE=2BE，如互余线AB=10，求BQ的长．
29．（问题情境）如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
（探索发现）如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由．
（类比迁移）如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．
30．在中，，，．
（1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．

（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
31．将一副三角尺如图①摆放，在中，；在中，，点为的中点，交于点，经过点．
（1）求的度数；
（2）如图②，将绕点顺时针方向旋转角（），此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
32．关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成：
①BG·AE＝___________；
②求∠EOG的度数．
33．如图， AB是⊙O的直径， ⊙O过AC的中点D， DE⊥BC于点E，连接BD．
（1） 求证： AB = BC；
（2） 求证：DE•AB = AD•BD．
34．在平面直角坐标系xOy中，直线与轴、轴分别交于点A、B，与直线相交于点C．
(1)直接写出点C的坐标；
(2)如图，现将直角∠FCE绕直角顶点C旋转，旋转时始终保持直角边CF与轴、轴分别交于点F、点D，直角边CE与轴交于点E.
①在直角∠FCE旋转过程中，的值是否会发生变化?若改变，请说明理由；若不变，请求出这个值.
②在直角∠FCE旋转过程中，是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ODE相似?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
35．已知抛物线W1与y轴交于点C，其关于x轴对称的抛物线为W2：y＝x2-mx+n，且W2经过点A（-3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线W1的解析式；
（2）将抛物线W1沿x轴向右平移得到抛物线W3，抛物线W3与x轴的交点记为点D和点E（D在E的右侧），与y轴交于点Q，如果满足△AOC与△DOQ相似，请求出平移后抛物线W3的表达式．
36．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
37．已知四边形是矩形．
（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．
①求证：；
②若，求的大小；
（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．
38．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
39．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
40．在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
（1）求PD的长；
（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的长．
41．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD=TH，过D做x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH=2，求点D的坐标．
42．如图，抛物线和直线交于，两点，点在轴上，点在直线上，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上．
①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
43．如图，的一边经过的圆心，另一边与交于点，作的平分线与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：
（2）若．
①若，则的长为______；
②的最大值为______．
44．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；
②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
三、填空题
45．有一边是另一边的倍的三角形叫做幸运三角形，这两边中较长边称为幸运边，这两边的夹角叫做幸运角．如图，是幸运三角形，为幸运边，为幸运角，，点B，C在反比例函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形且时，则k的值为_______．
46．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．
47．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____．
48．如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为______．
49．如图，ACM中，ABC、BDE和DFG是等边三角形，点E、G在ACM边CM上，设ABC，BDE和DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1=8，S3=2，S2=________．
50．图2、图3是起重机平移物体示意图．在固定机架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM＝．吊杆BCE由伸缩杆BC与6m长的直杆CE组成，在机架BAM与直杆CE间有一根9m长的支撑杆AD，且CD＝2m．假设起重机吊起物体准备平移时，点E、C、B恰好在同一水平线上（图2），在物体平移过程中始终保持EB∥AM（AM处在水平位置）．
（1）如图2，当准备平移物体时，伸缩杆BC＝_____m．
（2）在物体沿EB方向平移过程中，当∠ADE＝60°时，物体被平移的距离为_____m．
参考答案
1．B
分析：
由余角的定义可推出，并不能说明，说明①错误；再根据，可推出，进而可证明，说明②正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明④正确；在中，，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明③正确．
【详解】
解：∵，
∴，
∴不能说明，故①错误．
∵，
∴，
又∵
∴，故②正确．
如图连接BD，
由题意可知，
∵G和F分别为CD和BC的中点，
∴，
∵
∴，即，
∴
在中，，即,
解得
∴，故③正确．
∵，
∴，即，故④正确．
综上正确的有②③④共3个．
故选B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键．
2．A
分析：
由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴ ＝＝＝60°，
∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上，
∴ ，
∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
设AF=m，BF=2m，AB=3m，
设＝x，＝DF＝，
∵BE=2，BC＝，
∴ CE＝，
∵ ＝，＝60°，
∴ ＝120°，＝120°，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ，
∴ ，
即，
解得：，使等式有意义，
∴ ＝，
故选择：A．
【点睛】
本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
3．B
分析：
根据矩形的性质得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=，设PD′=PD=x，则AP=6-x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P=90°时，②当∠APD′=90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=3，
∴AE=，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′=PD，
设PD′=PD=x，则AP=6-x，
当△APD′是直角三角形时，
①当∠AD′P=90°时，
∴∠AD′P=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD′=∠AEB，
∴△ABE∽△PD′A，
∴，
∴，
∴x=，
∴PD=；
②当∠APD′=90°时，
∴∠APD′=∠B=90°，
∵∠PAE=∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴，
∴，
∴x=，
∴PD=，
综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD=或，
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
4．B
分析：
连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】
解：连接，
四边形是矩形，
，，
为的中点，为的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
矩形是中心对称图形，过矩形的中心．
过点，且，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，或4，
或4，
当时，，则，
，
四边形的周长；
同理，当时，四边形的周长；
故选：．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．
5．B
分析：
连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．
【详解】
如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AE，OF＝2OE，
又∵AE•OE＝3，
∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12，
∴k＝±12，
∵点C在第二象限，
∴k＝−12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
6．（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．
分析：
（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）①证明△BCM∽△BAC，推出 由此即可解决问题．②证明△PFA′∽△MFC，推出，因为CM=5，推出即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM．
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，
∴；
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴AC＝．
②如图③﹣1中，
∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴，
∵CM＝5，
∴，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，
∴≤PA′≤，
∴≤≤．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．（1）PE＝t﹣7（7＜t＜12）；（2）t的值是秒或4秒；（3）当≤t≤3时，S＝t2﹣12t+36；当3＜t≤4时，S＝9；当7≤t＜12时，S＝；（4）t的值为或．
分析：
（1）根据P点的运动路径和速度可得：当点P在线段EA上运动时，PE＝t﹣AD﹣DE，可得PE的长；
（2）分两种情况：①当0＜t≤3时，如图2，根据AP+PB＝AB，列方程可得t的值；
②当3＜t≤7时，如图3，根据DP+PE＝DE，列方程可得t的值；
（3）分三种情况：
①当≤t≤3时，如图4，S就是正方形的面积；②当3＜t≤4时，如图5，S就是正方形的面积；③当7≤t＜12时，如图1，可利用面积差得S的值即可；
（4）分两种情况：
①当S△EFC：S四边形ABFE＝1：2时，即S△EFC：S△ABC＝1：3，先求得FC＝4，由KN∥FC，得，列方程可得t的值；
②如图7，当S△AEK：S四边形BKEC＝1：2时，即S△AEK：S△ABC＝1：3，同理得AK＝4，由FN∥AK，得，列方程可得t的值．
【详解】
解：（1）如图1，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，D、E分别为边AB、AC的中点，
∴AD＝AB＝3，DE＝BC＝4，
当点P在线段EA上运动时，PE＝t﹣AD﹣DE＝t﹣7（7＜t＜12）；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤3时，如图2，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴，
∴PN＝，
∵四边形PNQM是正方形，
∴PN＝PB＝，
∵AP+PB＝AB，
∴t+＝6，
∴t＝，
②当3＜t≤7时，如图3，
∵PE＝PQ＝BD＝3，
∵DP+PE＝DE，
∴t﹣3+3＝4，
∴t＝4，
综上所述，当点N落在AC边上时，t的值是秒或4秒；
（3）分三种情况：
①当≤t≤3时，如图4，S＝PB2＝（6﹣t）2＝t2﹣12t+36；
②当3＜t≤4时，如图5，S＝PQ2＝32＝9；
③当7≤t＜12时，如图1，
由题意得：PE＝t﹣7，
∴AP＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴PQ＝，
∵△PNF∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴FN＝，
S＝PQ2﹣PN•NF＝﹣×××（t﹣2）2＝；
（4）分两种情况：
①当S△EFC：S四边形ABFE＝1：2时，即S△EFC：S△ABC＝1：3，
∴S△ABC＝3S△EFC，
如图6，过E作EG⊥BC于G，
∴×6×8＝3××3×FC，
∴FC＝＝，
由（2）得：PK＝t，同理得：AK＝，
∴KN＝PN﹣PK＝6﹣t﹣t＝6﹣，KE＝5﹣，
∵KN∥FC，
∴，
∴KN•EC＝KE•FC，
∴5（6﹣）＝，
t＝；
②如图7，
当S△AEK：S四边形BKEC＝1：2时，即S△AEK：S△ABC＝1：3，
∴S△ABC＝3S△AEK，
∴×6×8＝3××4×AK，
∴AK＝4，
由（3）知：FN＝，
∴FM＝MN﹣FN＝﹣＝，
∵sin∠C＝，
∴FC＝＝，
∴EF＝5﹣FC＝，
∵FN∥AK，
∴，
∴FN•AE＝EF•AK，
∴5×＝4×，
∴t＝；
综上所述，t的值为或．
【点睛】
本题是四边形的综合题，主要考查了相似形的综合应用、正方形的性质、直角三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键是根据题意正确画出图形，此外要注意分类讨论思想在解题中的运用，分类时做到不重复，不遗漏．
8．（1）见解析；（2）；（3）或
分析：
（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】
（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．
（2）如图，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②当点在点右边时，如图，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
．
9．（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．
分析：
（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比；
（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ．
【详解】
（1）①证明：在菱形中，
，
，
，
，
∴（ASA），
∴．
②解：如图1，连结．
由①知，，
．
在菱形中，，
∴，
设，则．
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在菱形中，，
，
，
同理，，
∴．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当时，，
，
，
，
．
②如图3，当时，
，
，
，
∴．
③如图4，当时，
，
，
，
．
综上所述，当或2或时，是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．
10．（1）；（2）；（3）
分析：
（1）利用的面积为2，求出的长度，得到的坐标，用待定系数法求的解析式；
（2）利用，过作轴于，证明，得到，，由直线解析式，求得的坐标，从而得到长度，再证明四边形为矩形，得到的坐标；
（3）利用，得到，，，四点共圆，则，，又，转化得到，在上取一点，使，构造出，利用两个角的正切值相等，列出关于参数的方程，求出参数，再利用直线和直线相交，列出二元一次方程组，求得交点的坐标．
【详解】
解：（1），
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
代入点，得，
，
直线的解析式为：；
（2）如图1，过作轴于，
轴，
，
四边形为矩形，
，
由题可得，，
，
又，
，
在与中，
，
，
，
令，
则，
，
，
，
；
（3）如图2，连接，取中点，连接，，
则在中，，
同理，，
，
，，，四点共圆，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在上取一点，使，
则，
，
，
，
，则，，
，
，
，
，
解得，，
直线解析式为：，
，
则直线解析式为：，
联立，
解得，
．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，涉及到待定系数法，一线三等角模型构造全等，四点共圆，三角函数，交点坐标的求法，其中转化角的关系是解决本题的关键．
11．（1）；（2）．
分析：
（1）根据，可设，则，，再证明，由相似三角形性质即可用k表示出BF，从而求得比值；
（2）过点作于点，由可得，再证，从而，设，由角平分线性质可得：，，设，则，由列方程即可求出，再根据即可求出比值．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
设，则，
，
又，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
；
（2）如解图2，过点作于点，
，，
，
，，
，
∴，
设，
平分，
，，
设，则，
，解得
而，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．
12．（1）；（2）；（3）；（4）(1，15)，(1，－5)，(1，)，(1，)
分析：
（1）将A(4，1)，C(0，－1)分别代入函数表达式，结合对称轴表达式列方程组求出参数即可．
（2）根据条件，分别构造三角形，通过相似求得点B坐标，用待定系数法球直线AB表达式．
（3）过点P作平行于y轴的直线，将分为同底的两个三角形 ，根据三角形面积为4，建立等量关系计算就可．
（4）构造一线三垂直模型，根据三角形相似求解即可．
【详解】
解：(1)由题意列方程组
解得：，，
∴抛物线的函数关系式为
(2)作AE⊥l于点E，BF⊥l于点F
由题意，AE＝4－1＝3
∵AD：BD＝3：5
∴AE：BF＝3：5
∴BF＝5
∴点B的横坐标为1－5＝－4
把x＝－4代入，得y＝5
∴B(－4，5)
将A(4，1)，B(－4，5)代入得
解得，m＝3
∴直线AB的关系式为…
(3)设P(x，)
作PM∥y轴交直线AB于点M，则M(x，)
∴PM＝
△ABP的面积＝
＝＝4
解得，，
将，分别代入，
解得，
∴(，)，(，)…
（4）设
第一种情况：当，过点B作y轴的平行线，过点Q、点A作x轴平行线，分别相交于点G、点N如下图：
易知
∴，即
解得：
∴
第二种情况：当，过点A作y轴的平行线，过点B、点Q作x轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
解得：
∴
第三种情况：当时，过点Q作x轴平行线，过点B、点A作y轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
化简得：
解得：，
∴,．
综上，满足题意的Q点坐标有4个，分别是：，，，．
【点睛】
本题考查二次函数解析式求法，以及点的存在性问题，三角形相似等相关知识点，综合度很高，能够根据题意画出相关图形是解题关键．
13．（1）；；（2）证明见解析；（3）满足条件的点有，．
分析：
（1）将A（4，0），B（0，-4）的坐标代入y=ax2+b，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E（4，-1），C（0，-3）的坐标代入y=mx+n可得问题的答案；
（2）设点，，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，从而得PF、PD、PC、FC的长度，从而得到答案；
（3）方法一：设与的交点为，设，①当点G在点P上方时，根据三角形面积公式可得答案；②当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案．
方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，，交于点，根据勾股定理及面积法即可求出，易证即可求出；得出过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条：
或，再分别与抛物线联立求解即可．
【详解】
解：（1）将，的坐标代入
得，
∴抛物线的解析式为
设直线为，将点，的坐标代入得
，
∴直线的解析式是；
（2）证明：设点，，如图，
过点作轴于点，
则，，
，
，
所以为定值；

（3）解：方法一：设与的交点为，设
①如图，当点在点上方时，
，
∵，
∴，
解得，，（负根舍去），
∴，即，

②如图，当点在点下方时，
，
∵，
∴，
解得：，（负根舍去）
∴，即，
综上所述，满足条件的点有，．

方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，，交于点，
在中，，
∴
∵
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条：
或，
依题意得解得：（负根舍去）
∴，，
∴
解得，（负根舍去）
∴，，
∴，
综上所述，满足条件的点有，．

【点睛】
此题考查了二次函数综合，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、相似三角形的判定与性质是解决此题关键．
14．（1）见解析；（2）α＝2∠BAC，见解析；（3）
分析：
（1）首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC＝AC′即可证明结论．
（2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，首先证明DC′∥CB，DC′＝BC，推出四边形BCC′D是平行四边形，再证明∠BCC′＝90°即可得出结论．
（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，证明△ACE∽△CBF，由相似三角形的性质得出，求出CE的长，则可求出CC'的长，可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CAC′＝∠AC′D，
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′＝∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∵AC＝AC′，
∴四边形ACEC′是菱形．
（2）解：当α＝2∠BAC时，四边形BCC′D是矩形．
理由：如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，
由旋转的性质，得AC′＝AC，
∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°，
∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BCA，
∴AE∥BC．
同理，AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
又∵BC＝DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
又∵AE∥BC，∠AEC＝90°，
∴∠BCC′＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形BCC′D是矩形．
（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∵BA＝BC，
∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，
在Rt△BCF中，BF＝＝12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，即，
解得CE＝，
∵AC＝AC'，AE⊥CC'，
∴CC'＝2CE＝2×＝，
∴BD＝．
【点睛】
本题是四边形综合题．考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．（1）抛物线解析式：（2）证明见解析，值为：（3）点P坐标．
分析：
（1）通过设，则，，对称轴得到①，将A,B点坐标代入解析式：，①②③即可求a,b,c得到答案．
（2）过D点作DG//x轴，交线段AC于G点，过F点作FT//OA，交射线AD于T点，过C点作CQ//OA，交射线AD于Q点，根据相似三角形性质结合双A型模型求出、即可解答．
（3）利用三垂直模型构造以AC为直角边、∠ACS=90°，的△ACS，则P在以AS为直径的圆上，再求出抛物线到圆心的距离等于半径的点坐标即可解答．
【详解】
解：（1）设，
∵
∴
∴，对称轴
∴①
将A,C点坐标代入解析式：
∴①②③联立得：
∴抛物线解析式：．
（2）如图，过D点作DG//x轴，交线段AC于G点，过F点作FT//OA，交射线AD于T点，过C点作CQ//OA，交射线AD于Q点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵CQ//x轴，
∴∠Q=∠QAO，
又∵，
∴，
∴AC=CQ，
∴，
同理可得：，
由①知：，，
∴利用勾股定理得：，
∴，
∴，
∴为定值，为：
（3）如解（3）图，过C点作CS⊥AC，在CS上取S点，取CS=2AC，则，故P点在以AS为直径的圆上，
∵，∴，，
过C点作ML⊥y轴，过点A、点S作ML的垂线AM、SL，垂足分别为M、L，
∴∠MAC=∠SCL，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴点S坐标为（6，-1），
又∵点A坐标为（-1，0）
∴取AS中点R，点R坐标为，即
设，则，
整理得：，
∴，，，，
∵当时，故舍去，
∵当时，，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形与二次函数的的知识，是一道综合性的压轴题，能熟练掌握相似变换以及构造适当的三角形转化线段关系是解答此题的关键．
16．（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值，最小值．
分析：
（1）观察猜想
由直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半再结合30°直角三角形三边比即可证明；
（2）类比探究
先证明△BCD∽△ACE，再证明△ACG∽△BCF，可得结论；
（3）问题解决
延长BC至H，使BC=CH=1，连接DG，由三角形中位线定理结合三角形面积公式可求△CFG的面积=，求出DH最小值即可．
【详解】
（1）观察猜想
∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，
∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，
∴BC=1，AB=2，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，
∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，
∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，
∴∠FCG=90°，
∴CF⊥CG，
故答案为：CG=CF，CF⊥CG；
（2）类比探究
仍然成立，
理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，
∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，
∴，
∴△BCD∽△ACE，
∴
，∠CAE=∠CBD，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，
∴BF=BD，AG=AE，
∴
∴△ACG∽△BCF，
∴，∠BCF=∠ACG，
∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，
∴CF⊥CG；
（3）问题解决
如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH，
∵点F是BD中点，BC=CH=1，
∴CF=DH，
由（2）可知，CF⊥CG，
∴△CFG的面积=×CF×CG=CF2，
∴△CFG的面积=，
∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，
∵CD=，
∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，
∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，
∴△CFG的面积最大值=，
∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小-1，
∴△CFG的面积最小值=．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，证明△ACG∽△BCF是本题的关键．
17．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
分析：
（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．证明△AHF≌△FJD（SAS），可得结论；
（2）如图②中，结论：．证明△AHF∽△FJD，可得结论；
（3）如图③中，结论：，证明方法类似（2）．
【详解】
解：（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，
∴BH=CH，CJ=JE，
∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ=AH，FH=JE=DJ，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF≌△FJD（SAS），
∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；
（2）如图②中，结论：．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，
∴，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF；
（3）如图③中，结论：，
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=180°-α，
∴CJ=JE，，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
18．（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．
分析：
（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可；
（2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；
（3）①先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解；
②根据二次函数性质求最值
【详解】
解：（1）∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵点E为的中点，
∴
故答案为：；
（2）存在，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵Q是的中点，∴．
由折叠的性质得：，
当点P、、三点在同一条直线上时，，
∴．
∵，
∴．
∵∵，
∴，
∴，即，
解得：或；
（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．
由题意得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由，则．
∵，
∴，
∴，
∴
；
②由①知，，
当时，四边形的面积取得最小值为，
∴最低造价为（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
19．（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元
分析：
（1）先由矩形的性质得CD∥AB，BC＝AD＝6，再由三角形面积公式求解即可；
（2）由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，再证△ADP∽△PCQ，得，解得DP＝6或DP＝3；
（3）如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥MN于点F，连接BD，先证△DEC∽△CFB，得，设DE＝x，则DH＝5﹣x，求出CE＝，CF＝，然后由梯形面积公式和三角形面积公式求出S四边形ABCD＝x2﹣2x++10＝（x﹣）2+10+，即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝6，
∵EG∥AB，
∴CD∥EG∥AB，
∵点E为AD的中点，
∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，
故答案为：21；
（2）存在，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴CQ＝3，
由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，
当点P、D′、C′三点在同一条直线上时，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，
∴∠DPA+∠CPQ＝90°，
∵∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPQ，
∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，
∴△ADP∽△PCQ，
∴，
即，
解得：DP＝6或DP＝3；
（3）如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥MN于点F，连接BD，如图③所示：
则BF＝EH＝5cm，
∵DC⊥BC，
∴∠ECD+∠BCF＝90°，
∵BF⊥MN，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CBF，
又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，
∴△DEC∽△CFB，
∴，
设DE＝x，则DH＝5﹣x，
∵BF＝5，BC＝CD，
∴，
∴，，
∴S四边形ABCD＝S四边形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB
当x＝cm时，四边形ABCD的面积取得最小值（10+）cm2，
∴最低造价为（10+）×50≈802.75（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低约为802.75元．
【点睛】
本题综合考查了折叠问题、矩形的性质、相似的判定与性质、割补法求三角形的面积等内容，该题对学生的观察、分析推理和计算能力的要求都非常高，因此学生在平时的学习中应注意归纳和总结，勤于思考，养成良好的几何思维方式，同时对基础概念和公式应牢牢掌握，养成作辅助线构造直角三角形帮助解题的习惯，方能探寻到本题的解题思路．
20．（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）DG＝2 BE，BE⊥DG，理由见详解；（3）4
分析：
（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，
由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB＋∠ABE＝90°，
∴∠AQB＋∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，，
即： DG＝2 BE，
∵∠AIB＋∠ABE＝90°，
∴∠AIB＋∠ADG＝90°，
∵∠AIB＝∠DIH，
∴∠DIH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
EG与AD的交点记作M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴，
∴，
∴DG＝4．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．
21．（1）；（2）当时，，；当时，，；（3）的面积不变，证明见解析
分析：
（1）利用正方形的性质可得，由被对角线平分可得，从而可证≌，根据全等三角形的性质可得，然后根据角度关系可得，即可得到a、b的值；
（2）由题意可知，分两种情况计算，①当时，首先根据题意得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理得到,根据已知条件可得∽，根据相似三角形的性质得出，两式联立解方程组即可；②当时，方法和上面的方法一致，即可解答；
（3）先利用平行线的性质和正方形的性质得到,再利用三角形的内角和得到,从而求出，而，得到∽，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求出的值，进而可知的面积是否变化．
【详解】
（1）∵四边形是正方形，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴,
∵被对角线平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∵，，
∴，
∵,
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴,
∴，即；
（2）当是直角三角形时，
①当时，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①
∵，,
∴，
∴∽，
∴，
∴，
∴②，
联立①②得，，，
∴，；
②当时，同①的方法得，，，
∴，；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∽
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积不变．
【点睛】
此题是四边形的综合题，本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断∽，也是本题的难点．
22．（1）；（2）证明见解析；（3）；（4）
分析：
（1）首先求出D、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用全等三角形的性质证明CD=CF，由EC⊥DF推出ED=EF，推出∠CDE=∠EFD=∠ADC即可；
（3）证明：△BCF∽△BEC，再利用相似三角形的性质求出BE的长即可解决问题；
（4）如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P．由（2）可得是的垂直平分线，推出PD=PF，因为，可得PB+PF的最小值为BD的长，从而利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）∵四边形 ABOD 为正方形，
∴AB=BO=OD=AD=2，
∴D（0，2），
∵C 为 AB 的中点，
∴BC=1，
∴，
设直线 CD 解析式为 y=kx+b（k≠0），
则有，
解得
∴直线 CD 的函数关系式为；
（2）∵C 是 AB 的中点，
∴AC=BC，
∵四边形 ABOD 是正方形，
∴∠A=∠CBF=90°，
在△ACD 和△BCF 中
，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴CF=CD，
∵CE⊥DF，
∴CE 垂直平分 DF，
∴DE=FE，
∴∠EDC=∠EFC，
∴∠ADC=∠EDC；
（3）由（2）可 BF=AD=2，且 BC=1，
∵∠CBF=∠CBE=∠FCE=90°，
∴∠CFB+∠FCB=∠FCB+∠ECB=90°，
∴∠CFB=∠BCE，
∴△BCF∽△BEC,

∴

经检验：符合题意，
∴
∴E 点坐标为；
（4）如图，连接 BD 交直线 CE 于点 P，连接
由（2）可得是的垂直平分线，
关于对称，
∴PD=PF，
∴，
∴PB+PF的最小值为BD的长，
∵B（-2，0），D（0，2），
∴，
∴PB+PF 的最小值为．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称-最短问题，勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题．
23．（1）；（2），；（3），，或，或，；（4）存在；，，，．
分析：
（1）求出点A和点C的坐标，代入求出b，c的值即可；
（2）求出再求出最大值即可；
（3）根据平行四边形的性质分三种情况求解即可；
（4）分别利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出点E的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵
∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3）
把点A，点C的坐标代入得，
解得，
所以，此函数关系式为：
（2）如图，
设直线AC的函数解析式为：，
将，代入，得
，
解得，，
∴直线AC的解析式为
∵点N在直线AC下方的抛物线上，轴
∴
为了使MN最大，就要使取最大值，
∴取最小值
∵
∴当时，MN有最大值，最大值为，
将代入中，得y=，
∴N的坐标为
（3）抛物线对称轴为
令y=0得，，
解得，，，
∴点B的坐标为（1，0）
①当AB和KL是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，
∴，
②当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴右侧时，
∵
∴
∴的横坐标为3，
∴，
③当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴左侧时，
∵
∴的横坐标为-5
∴，
综上所述，，点的坐标为，，或，或，；
（4）如图，
设直线AD的函数解析式为
将，代入
得，解得
∴
①当，A为垂足时，
∵,
∴
∴
∴
∵AO=3，AP=2，PD=4
∴
∴
∴
②当，D为垂足时，
同理可证
∴，即,
∴
∴
∴
③当AE⊥DE,E为垂足时，
设OE=x，则QE=4-x
∴，，

∴
解得：，
∴，
∴，．
综上，点E的坐标为：，，，．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、勾股定理运用等，其中（3），（4）要主要分类求解，避免遗漏．
24．（1）15°；（2）；（3）．
分析：
（1）由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB=30°，可求出答案；
（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=，则可求出AF，即可求出BC的长；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出，则可求出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE∠FBC=15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF•DF=AB•DE，
∵AF•DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=，
∴AF=，
∴BC=AD=AF+DF=；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=AD=BC，
∵BC=BF，
∴NF=BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=，
设FG=y，则AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得，
∴BF=BG+GF=，
∴．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）；（3）．
分析：
（1）证明，根据相似的性质即可求解；
（2）作于点，得到，进而得到，，，根据余切定义即可求解；
（3）根据，得到，进而得到，根据（2）结论得到关于x方程，解方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形为矩形，
∴∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAD+∠FAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴，
；
（2）由（1）可得，
作于点，
∴GH∥EC，
∴△FGH∽△FEC，
∴，
，，
，
；

（3）如图，
∵，
∴AF∥GD，
∴，
∴，
由（2）得，
，
解得（大于．舍去），
的长为．
【点睛】
本题考查了相似三角形，三角函数等知识，综合性较强，难度较大，根据题意证明，理解余切的定义，并构造方程是解题关键．
26．（1）；（2），；（3）存在，或或．
分析：
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）可求出直线AB的解析式，进而求得E点的坐标，表示出DE，然后利用三角形面积公式可求得△ABD的面积；
（3）当△ABM为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分三种情况分别讨论可求得N点坐标．
【详解】
（1）∵抛物线过点和点，
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴顶点C的坐标为，
∵点D在抛物线上A，C两点之间，点D的横坐标为m，
∴，
由点和点得出直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当m的值为时，S有最大值．
（3）∵以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，
为直角三角形，
①当，则M在y轴上时，过点B作轴，轴，交于Q点，如图1，
由点和点可知，，，
则有∽，
∴，即，解得，
∵≌，
∴，，
∴，
②当，则M在x轴上时，作轴于H，轴于G，如图2，
由点和点可知，，
则有∽，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴G，H重合，
∴，
∴，
③当时，则M只能在y轴上，作轴于P，轴于Q，如图3，
∵，
∴，
而，，
∴，
在与中，
∴≌（）
∴，，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AM的解析式为，
∴，
∴，
∴，
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（2）中求得E坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中．
27．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）3s；（3）秒．
分析：
（1）根据已知条件，求出点A、点B、点C的坐标，根据△ABC的面积为5即可求解；
（2）根据题意得出点M、点N的坐标，求出MN的代数式即可求解；
（3）根据两点间的距离的含义，作BC的中垂线即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C
∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0
∴AB＝n+1，OC＝n
由S△ABC＝×AB×OC＝5
∴
∴
∴取正根n＝4
∴y＝＝x2+x+2；
（2）由（1），B（4，0），C（0，2）
∴直线BC为
设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）
∴MN＝＝＝
∴当m＝2时，MN最大
∴OP＝2
∴AP＝3，即经过3s，MN最大；
（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，
∴△CDE～△COB
∴
由（2），得BC＝2，D（2，1）
∴DE＝2CD＝2
∴CE＝5
∴OE＝3
∴E（0，-3）
∴直线DE为y＝2x-3
由x2+x+2＝2x-3
移项整理得：x2+x-5＝0
∴x2+x-10＝0
取正根x＝
∴OP＝
∴AP＝
即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的动点问题，三角形相似，题目较难，熟练掌握二次函数的性质，两点间距离公式是本题的关键．
28．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3
分析：
（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得，则可得与互余，即与互余，从而可得答案；
（2）画出图形即可；
（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得、，再判定，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．
【详解】
解：（1），是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）如图所示，四边形ABEF即为所求；（答案不唯一）
（3），是的角平分线，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
AB=10，
N为AC的中点，
，
．
【点睛】
本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．
29．问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或
分析：
问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明即可得；
探索发现：与图①类似，证明即可；
类比迁移：根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，设CE=x，则CF=2x，分两种情况讨论：点E在线段AC上，点E在AC的延长线上，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
问题情境：，证明如下：
∵在中，，，点为中点，
∴，
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
探索发现：成立，
理由：∵在中，为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴
类比迁移：
当点E在线段AC上时，如图③，
∵是等边三角形，，点是中点，
∴，，
设，则，，
∵是的外角，，
∴
即
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
解得，（大于4，不符合题意，舍去）
当点E在线段AC的延长线时，如图：
设，则，，
同理可得
∴
解得，（不符合题意，舍去）
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键．
30．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，满足条件的值为或8或．
分析：
（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据SΔABC=9SΔDHQ，构建方程即可解决问题；
（2）由翻折的性质可得AE=EM，AF=FM，然后证明出AE=AF即可；
（3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，然后根据QH=4，AQ=，求出QC=，设PQ=x，分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）如图，
在中，
∵，，，
∴
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴
整理得：，
解得：，（舍去），
∴．
（2）如图
由翻折的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴AE=AF，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）如图，连接MP、HP，
设．
则，，
∴，解得
∴
∴，
∴
∵，
∴
设，
①当时，
∴，
解得：
∴，
②当时，，
解得：或．
∴或．
综上所述，满足条件的值为或8或．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了翻折变换、三角形的面积、菱形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
31．（1）30°；（2）不变，．
分析：
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角求出，再求出，再根据计算即可得解；
（2）先证明，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出∽，再根据相似三角形对应边成比例可得为定值，再根据特殊角三角函数值求解即可．
【详解】
解：（1）如图①，，点为的中点，
，
，
，
；
（2）如图②，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的值不随着的变化而变化，是定值．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
32．（1）k≥-1且k≠2；（2）m=4；（3）①1；②∠EOG=45°．
分析：
（1）先解方程①，根据方程①的根为非负数及一元二次方程的定义即可得答案；
（2）由（1）可知k≥-1，根据k为最小整数可知k=-1，可得方程②为，利用一元二次方程根与系数的关系即可得答案；
（3）①根据（2）可得直线AB和双曲线的解析式，根据题意作出图形，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，设点C坐标为（t，），由直线AB解析式可得A、B两点坐标，可得△AOB是等腰直角三角形，进而可得△BQG和△EPA是等腰直角三角形，可得BG=QG，AE=PE，即可得答案；
②如图，连接OE、OG，由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，可得，即可证明△BOG∽△AEO，可得∠OGB=∠EOA，根据外角性质及角的和差关系可得∠EOG=∠OAB=45°．
【详解】
（1）∵，
∴x=，
∵方程的根为非负数，方程是一元二次方程，
∴≥0，2-k≠0，
解得：k≥-1且k≠2．
（2）由（1）可知k≥-1，
∵k为最小整数，
∴k=-1，
∴方程②为，
∵方程②有两根分别为和，
∴+()=，即-m=-4，
解得：m=4．
（3）①根据题意补全图形如下，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，由（2）可知k=-1，m=4，
∴直线AB解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为，
∵直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵EP⊥x轴，GQ⊥y轴，
∴△BQG和△EPA是等腰直角三角形，
∴BG=GQ，AE=PE，
∵CD⊥y轴，CF⊥x轴，
∴GQ=CD，PE=CF，
设点C坐标为（t，），则CD=t，CF=，
∴BG·AE=t×·=1．
②如图，连接OE、OG，
由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴BG=，
∴，
∴△BOG∽△AEO，
∴∠OGB=∠EOA，
∵∠OGB=∠GOA+∠OAB，∠EOA=∠EOG+∠GOA，
∴∠EOG=∠OAB=45°．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义、根与系数的关系；等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么x1+x2=，x1x2=；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
33．（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）根据直径所对的圆周角为90°可得∠ADB=∠BDC=90°，由SAS证明△ABD≌△CBD，即可得AB=BC；
（2）由△ABD≌△CBD可得∠C =∠A，再由∠DEC = ∠ADB=90°可证△ECD∽△DAB，从而得到，因为CD ＝AD，所以DE•AB = AD•BD．
【详解】
证明：（1） ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
又∵BD是公共边，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A，AB＝BC．
（2）∵DE⊥BC，AB是⊙O的直径，
∴∠DEC=∠ADB=90°，
又∵∠C =∠A，
∴△ECD∽△DAB，
∴，
∵CD＝AD，
∴DE•AB = AD•BD．
【点睛】
本题考查圆的综合题，应用到全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，掌握圆的性质为解题关键．
34．（1）（4，4）；（2）①不变，值为1；②存在，或．
分析：
（1）联立两直线解析式，求方程组的解即可求得点C的坐标；
（2）①过点C作CH⊥y轴于点H，过点C作CK⊥x轴于点K，则可证明△CHD∽△CKE，结合点C的坐标，可求得的值；
②分△ODE∽△CEF和△ODE∽△CFE两种情况，当△ODE∽△CEF时，利用相似三角形的性质可求得O为EF中点，可求得OF的长，再证明△CHD∽△FOD，利用相似三角形的性质可求得OD的长，可求得D点的坐标；当△ODE∽△CFE时，过点C作CM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，利用△CMD≌△CNE可证得OC=OD，则可求得点D的坐标．
【详解】
解：（1）联立两直线解析式可得，解得，
；
（2）①不变；
如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
，，
，且，
，
；
②存在，
若，如图2，
则，
，又，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
又，
，
，即，
，
；
若，如图3，
则．
过点作轴于点，过点作轴于点，
则．易证，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
；
综上所述若以、、为顶点的三角形与相似，则点坐标为或．
【点睛】
本题为相似三角形的综合应用，涉及知识点有函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等．在（1）中联立函数解析式构成方程组是求函数图象交点的常用方法，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于OD的方程求得OD的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
35．（1）y＝-x2-2x+3；（2）W3的解析式为y＝-（x-1）2+4 或y＝-（x-3）2+4．
分析：
（1）利用待定系数法求出抛物线W1的解析式，再求出抛物线W2的顶点坐标即可解决问题．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-a）2+4，因为C（0，-3），A（-3，0），推出OA＝OC＝3，推出△AOC是等腰直角三角形；因为△AOC与△DOQ相似，推出OD＝OQ，由此构建方程解决问题即可．
【详解】
（1）把A（-3，0）和点B（1，0）代入y＝x2-mx+n
得：
解得
∴W2的解析式为y＝x2+2x-3，顶点坐标为（-1，-4）
∵W1与W2关于x轴对称
∴W1的顶点坐标为（-1，4）
∴W1的解析式为y＝-（x+1）2+4＝-x2-2x+3．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-a）2+4
∵C（0，-3），A（-3，0）
∴OA＝OC＝3
∴△AOC是等腰直角三角形
∵△AOC与△DOQ相似
∴OD＝OQ
∴|-a2+4|＝a+2
解得:a＝1或-2（舍弃）或3
∴W3的解析式为y＝-（x-1）2+4 或y＝-（x-3）2+4．
【点睛】
本题考查了二次函数、轴对称图形、相似三角形、等腰直角三角形的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、轴对称图形、相似三角形、等腰直角三角形的性质，从而完成求解．
36．（1）∠BDP＝∠EPC，理由见解析；（2）8；（3）BD＝，BD的最大值为4．
分析：
（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出BD的最大值．
【详解】
解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
∴，即
整理得，BD＝，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
∴BD的最大值为4．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解题关键．
37．（1）①详见解析；②30°；（2）
分析：
（1）①过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，证明AM=BM，再证明四边形ADNM是矩形，得MN垂直平分CD，再根据垂直平分线定理得结论；
②连接CF，证明CF=2CD，延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，由垂直平分线的性质得CF=HF=CH，得∠FCD=60°，由余角性质得∠BCF的度数，进而求得∠GCD，再根据三角形内角和定理得结果；
（2）过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，证明△ABP≌△KNM，得AP=KM，不妨设BM=MP=x，则AM=6-x，证明△APM∽△DQP，列出x的方程，求得x的值便可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图1，过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，
∵CE垂直平分BF，
∴GB=GF，
∴AM=BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADN=∠MND=90°，
∴四边形ADNM是矩形，
∴DN=AM=AB=CD，
∵MN垂直平分CD，
∴DG=CD；
②连接CF，如图1，
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB．
∴∠BCG=∠FCG=∠BCF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDF=∠BCD=90°，AD∥BC，
∵BC=2AB，
∴CF=2CD，
延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，
∴AD垂直平分CH，
∴FH=FC=CH，
∴∠FCD=60°，
∴∠BCF=90°-∠FCD=30°，
∴∠BCG=∠FCG=15°，
∴∠GDC=∠GCD=∠BCD-∠BCG=75°，
∴∠CGD=180°-75°×2=30°；
（2）过N点作NK⊥AB于点K，得四边形AKND是矩形，
∴AB=AD=MN，∠A=∠MKN=90°，
∵MN⊥BP，
∴∠ABP+∠KMN=∠KMN+∠KNM=90°，
∴∠ABP=∠KNM，
∴△ABP≌△KNM（ASA），
∴AP=KM，
∵MN垂直平分BP，
∴MB=MP，
不妨设BM=MP=x，则AM=6-x，
∴AP=＝，
∴DP=，
∵Q是CD的中点，
∴DQ=3，
∵PQ⊥MP，∠A=∠D=90°，
∴∠APM+∠AMP=∠APM+∠DPQ=90°，
∴∠AMP=∠DPQ，
∴△APM∽△DQP，
∴，即，
解得，x=6或，
∴CN=BK=AB-AM-MK
∴CN=0或．
舍去CN=0，
∴CN=．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质与判定，难度中等，第（2）题的关键在证明相似三角形与全等三角形．
38．（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
分析：
（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．
【详解】
（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
39．(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
分析：
（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】
（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
40．（1）；（2）．
分析：
（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．利用勾股定理求出DM，再证明即可解决问题；
（2）由△AMP∽△FDE，推出，即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAD＝∠PAB＝45°，
∵PK⊥AD，PH⊥AB，
∴PK＝PH，
∴，
∴AB＝AD＝2，AM＝BM＝1，
∴DM＝，
∴＝2，
∴PD＝，
（2）∵PF＝，PD＝，DM＝，
∴DF＝，PM＝，
∵DE∥AM，
∴∠AMP＝∠EDF，
∵∠DFE＝∠MAP＝45°，
∴△AMP∽△FDE，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴EC＝2﹣＝．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型．
41．（1）；（2）；（3）点D的坐标为(，)．
分析：
（1）抛物线解析式变形为，求得，，求得，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线BC解析式为，设，，即可求得d与m之间的关系式；
（3）先求得，，得到，证得，从而得到，证明Rt△ENHRt△RME，利用相似三角形的性质以及线段的和差计算得到，把代入抛物线的解析式即可求解．
【详解】
（1）∵对于，
令y=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴，，
∴OB=OC=3，
∴，
把C(0，3)代入对于得：
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线BC解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线BC解析式为，
∴设，，
∴；
（3）连接EH，
∵QH平行y轴且Q点的纵坐标为4，QD=TH，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为的对称轴为，且点D的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过E作y轴平行线MN，过R、H分别作直线MN的垂线交MN于Ｍ和N，
∵，
∴，
∴Rt△ENHRt△RME，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入抛物线的解析式，
，
解得：，
∴，
∴点D的坐标为(，) ．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
42．（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）①，；②或或或2
分析：
（1）利用待定系数法即可；
（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．
【详解】
解：(1) 由已知，B点横坐标为3
∵A、B在y＝x+1上
∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y＝﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
(2) ①过点P作PE⊥x轴于点E．
∵直线y＝x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为（-1+t，0），Q点坐标为（3-2t，0）
∴EQ＝4﹣3t，PE＝t
∵∠PQE+∠NQC＝90°
∠PQE+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S＝PQ•NQ＝2PQ2
∵PQ2＝PE2+EQ2
∴
当=时，

②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）
∴△PQE∽△QNC，可得NC＝2EQ＝8﹣6t
∴N点坐标为（3，8﹣6t）
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时
8﹣5t＝﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4
解得或
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t＝2
当N在抛物线上时，8﹣6t＝4
∴
综上所述当或或或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【点睛】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．
43．（1）见解析；（2）①4；②．
分析：
（1）连接，利用等腰三角形的性质、角平分线的定义以及平行线的性质证得，推出，即可得到；
（2）①先证得，利用相似三角形的性质求得，在中，由勾股定理即可求得的长；
②先证和，推出，设，，则：，得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
（1）连接，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴；
（2）①连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：4；
②连接，过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，，则：，
∴，
∴，
∴有最大值，
∴当时，的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理以及二次函数的性质等，作出合适的辅助线构造相似或全等三角形是解题的关键．
44．（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析
分析：
（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的判定定理证明即可；
②根据等腰三角形的性质，分，和三种情况讨论，再根据相似三角形的性质求解；
（2）先证得，再根据相似三角形的性质计算即可；
（3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可．
【详解】
（1）①证明：∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴；
②解：分三种情况：
（i）当，时，得到，点分别与重合，
∴．
（ii）当时，
在△ABD和△DCE中，
，
∴，
∴，
∵BC=，
∴，
∴；
（iii）当时，有，
∴，AD=CD，AE=CE=DE，
∴．
综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1．
（2）解：存在．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
当，．
（3）解：不存在．理由如下：
如图，
∵和不重合，∴，
又，，
∴≠．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键．
45．
分析：
作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，再利用对应边的关系把、的坐标表示出来，再代入计算即可．
【详解】
解：过作轴于，过作于，过作轴于，如图，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
的纵坐标为，即，
，，，
，
点、在在函数的图象上，
，
解得：（舍去），，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和运用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质，表示出、的坐标是解题的关键．
46．或
分析：
分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x，证明△BAF∽△ADE，推出，可得DE=，再证明AM=MD=6，在Rt△FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，
由翻折的性质可知，AF=FG，BF⊥AG，
∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠BAF=∠ADE=90°，
∴△BAF∽△ADE，
∴，
∴，
∴DE=，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，
∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，
∴四边形GMDN是矩形，
∴GM=DN=EN=，
∵GD=GE，
∴∠GDE=∠GED，
∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，
∴∠GDA=∠GAD，
∴GA=GD=GE，
∵GM∥DE，
∴AM=MD=6，
在Rt△FGM中，则有，
解得或（舍弃），
∴AF=．
如图2中，当DG=DE时，
由翻折的性质可知，BA=BG，
∴∠BAG=∠BGA，
∵DG=FE，
∴∠DGE=∠DEG，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEG，
∴∠AGB=∠DGE，
∴B，G，D共线，
∵BD=，BG=BA=9，
∴DG=DE=6，
∵△BAF∽△ADE，
∴，
∴，
∴AF=，
综上所述，AF的值为或．
【点睛】
本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
47．3．
分析：
过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．
【详解】
如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
48．或．
分析：
分情况讨论：方法一：当点落在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到，根据设求出AN；方法二：当在的延长线上时，如图2，同样方法求出AN.
【详解】
方法一：当点落在如图1所示的位置时，
是等边三角形，
，
，
得，
得，
，
设
则，
，
，
，
解得
；
方法二：当在的延长线上时，如图2，
与同理可得.
得.
，
，
设
则
，
，
，
解得：，
，
故答案为：或.
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件“点落在直线上的点处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.
49．4
分析：
先设、、的边长分别是、、，由于、是等边三角形，易知，，结合平角定义可求，同理可求，那么，由于、是等边三角形，那么，从而有，于是，利用两角对应相等的两个三角形相似可得，可得比例关系：，即，再根据可得，结合，把代入可得
，进而可求．
【详解】
解：设、、的边长分别是、、，
、是等边三角形，
，
，
同理，
，
、是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案是4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得出．
50．（+1）； （+4﹣3）．
分析：
（1）过点A作AG⊥BC于G，解Rt△ABG求得BG，由勾股定理求得GD，进而根据线段和差求得BC；
（2）连接BE，过A作AF⊥BE于F，过E作EG⊥AD于G，如图2，解直角三角形求得EG，再证明△AFH∽△EGH，求得AH：EH，进而由AD＝9列出方程求得AH，EH，GH，FH，进而便可求得平移的距离．
【详解】
解：（1）过点A作AG⊥BC于G，如图1，
在Rt△ABG，∠ABG＝∠BAM，AB＝5，
∴，
设AG＝4xm，则BG＝3xm，
∴，
∴5x＝5，
∴x＝1，
∴AG＝4m，BG＝3m，
∴GD＝＝（m），
∴BC＝BG+GD﹣CD＝3+﹣2＝+1（m），
故答案为：（+1）；
（2）连接BE，过A作AF⊥BE于F，过E作EG⊥AD于G，如图2，
∵BE∥AM，
∴∠ABF＝∠BAM，
∴tan∠ABF＝tan∠BAM＝，
设AF＝4xm，则BF＝3xm，
∴AB＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AF＝4m，BF＝3m，
在Rt△DEG中，DE＝4m，∠EDG＝60°，
∴DG＝＝2m，EG＝m，
∴AG＝AD﹣DG＝9﹣2＝7m，
∵∠AFH＝∠EGH＝90°，∠AHF＝∠EHG，
∴△AFH∽△EGH，
∴，即，
设AH＝2y，则EH＝y，
∴HG＝，
∴AG＝AH+GH＝2y+＝7，
解得，y＝14﹣3，或y＝14+3＞7（舍），
∴EH＝y＝14﹣9（m），AH＝2y＝28﹣6（m），
∴GH＝AG﹣AH＝6﹣21，
∵△AFH∽△EGH，
∴，
∴FH＝GH＝12﹣14，
∴BE＝BF+FH+EH＝3+12﹣1414＝3+3，
∴物体平移的距离为：（）﹣（3+3）＝+4﹣3．
故答案为：（+4﹣3）．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是正确构造直角三角形．