沪教版九年级上册数学专题训练专题06相似三角形的性质重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题06相似三角形的性质重难点专练(原卷版+解析)，共125页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、解答题
2．(2023·上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
3．(2023·上海金山区·九年级二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
4．(2023·上海崇明区·九年级二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
（2）求证：．
5．(2023·上海静安区·九年级二模）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．
6．(2023·上海松江区·九年级二模）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
7．(2023·上海九年级专题练习）（1）问题发现
如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．
8．(2023·上海九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
9．(2023·上海九年级专题练习）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．
10．(2023·上海宝山区·九年级期中）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结
（1）求证：；
（2）连结，如果，且，求的长．
11．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，联结、交对角线于、两点，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
12．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），连接、分别交边于点、，．
（1）当时，求的长
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长．
13．(2023·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．
（1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．
15．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，且，联结并延长至点，使，联结，，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
16．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．
（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
17．(2023·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为_____．
18．(2023·上海）如图1，在中，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点不重合），与射线相交于点F．
（1）如图2，如果点D是边的中点，求证：；
（2）如果，求的值；
（3）如果，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
19．(2023·上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF//AB时（图1），联结EF，求DE：DF值；
（2）当点F在线段BC上时（图2），设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
20．(2023·上海）如图．已知在中，点是边上任意一点．连接，过点作，垂足为点，连接，使得，连接
（1）求证：
（2）设，四边形的面积为，求关于的函数解析式及的取值范围
（3）当，求的值．
21．(2023·上海上外附中九年级月考）已知直角三角形斜边上的高为，且斜边上的高把斜边分成两段，则斜边上的中线长是__________
22．(2023·上海九年级专题练习）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA//BC，D是BC上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设，，试确定与之间的函数关系；
（3）当是等腰三角形时，将沿折叠，得到，求与五边形重叠部分的面积
23．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）在平面直角坐标系中，四边形的顶点是坐标原点，点在轴的负半轴上，且轴，点的坐标为，在边上有一点，满足．
（l）求点的坐标；
（2）如果与相似，且，求点的坐标．
24．(2023·上海浦东新区·九年级月考）如图，梯形ABCD中，AD//BC，，且，．点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E、交边DC于点N，联结EF．
（1）当时，求CF的长；
（2）连接AC，求证：
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
25．(2023·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，= ； ②当α＝180°时，= ；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
26．(2023·上海市青浦区第一中学）在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于点，设的长为．
（1）当时，求线段的长；
（2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当与相似时，求线段的长．
27．(2023·上海九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．
28．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，点E为□ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF=BE，线段EF与边CD相交于点G．
（1）求证：DF//AC；
（2）如果AB=BE，DG=CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．
三、填空题
29．(2023·上海九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为_____．
30．(2023·上海九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝_____；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为_____．
31．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
32．(2023·上海金山区·九年级一模）如图，在□中，点在边上，交对角线于，若，的面积等于，那么的面积等于______．
33．(2023·上海九年级一模）如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
34．(2023·上海）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且，将沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D,F,E在同一直线上，则线段AE的长为____．
35．(2023·上海九年级专题练习）在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
36．(2023·上海九年级专题练习）如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是_____．
37．(2023·上海九年级专题练习）如图，正方形纸片的边长为4，是边的中点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，则的长为_____．
38．(2023·上海）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
39．(2023·上海九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是__________．
40．(2023·上海上外附中九年级月考）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，则____________
41．(2023·上海上外附中九年级月考）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
42．(2023·上海上外附中九年级月考）如图，已知在中，为内一点且，则 ____________
43．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
44．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
45．(2023·上海）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
46．(2023·上海九年级专题练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，点 D 在 CE的延长线上，连接 BD，过B作BF⊥BC交 CD 于点 F，连接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则AF的长为_________．
47．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝_____
48．(2023·上海）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是_____．
49．(2023·上海九年级专题练习）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．
50．(2023·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE∥AC，BD＝5，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．
专题06 相似三角形的性质重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、解答题
2．(2023·上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
3．(2023·上海金山区·九年级二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
4．(2023·上海崇明区·九年级二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
（2）求证：．
5．(2023·上海静安区·九年级二模）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．
6．(2023·上海松江区·九年级二模）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
7．(2023·上海九年级专题练习）（1）问题发现
如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．
8．(2023·上海九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
9．(2023·上海九年级专题练习）如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．
10．(2023·上海宝山区·九年级期中）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结
（1）求证：；
（2）连结，如果，且，求的长．
11．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，联结、交对角线于、两点，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
12．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），连接、分别交边于点、，．
（1）当时，求的长
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长．
13．(2023·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．
（1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．
15．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，且，联结并延长至点，使，联结，，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
16．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．
（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
17．(2023·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为_____．
18．(2023·上海）如图1，在中，是边上一点，E是在边上的一个动点（与点不重合），与射线相交于点F．
（1）如图2，如果点D是边的中点，求证：；
（2）如果，求的值；
（3）如果，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
19．(2023·上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF//AB时（图1），联结EF，求DE：DF值；
（2）当点F在线段BC上时（图2），设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
20．(2023·上海）如图．已知在中，点是边上任意一点．连接，过点作，垂足为点，连接，使得，连接
（1）求证：
（2）设，四边形的面积为，求关于的函数解析式及的取值范围
（3）当，求的值．
21．(2023·上海上外附中九年级月考）已知直角三角形斜边上的高为，且斜边上的高把斜边分成两段，则斜边上的中线长是__________
22．(2023·上海九年级专题练习）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA//BC，D是BC上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设，，试确定与之间的函数关系；
（3）当是等腰三角形时，将沿折叠，得到，求与五边形重叠部分的面积
23．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）在平面直角坐标系中，四边形的顶点是坐标原点，点在轴的负半轴上，且轴，点的坐标为，在边上有一点，满足．
（l）求点的坐标；
（2）如果与相似，且，求点的坐标．
24．(2023·上海浦东新区·九年级月考）如图，梯形ABCD中，AD//BC，，且，．点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F，作交射线BC于点E、交边DC于点N，联结EF．
（1）当时，求CF的长；
（2）连接AC，求证：
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
25．(2023·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，= ； ②当α＝180°时，= ；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
26．(2023·上海市青浦区第一中学）在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于点，设的长为．
（1）当时，求线段的长；
（2）设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当与相似时，求线段的长．
27．(2023·上海九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．
28．(2023·上海九年级专题练习）已知：如图，点E为□ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF=BE，线段EF与边CD相交于点G．
（1）求证：DF//AC；
（2）如果AB=BE，DG=CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．
三、填空题
29．(2023·上海九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝3，D为AB中点，点E在线段BC上，且BE＝2CE，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为F，连接DF，则DF的长为_____．
30．(2023·上海九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，
（1）若△ADQ∽△BPC，则AQ＝_____；
（2）四边形PCDQ面积的最大值为_____．
31．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
32．(2023·上海金山区·九年级一模）如图，在□中，点在边上，交对角线于，若，的面积等于，那么的面积等于______．
33．(2023·上海九年级一模）如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
34．(2023·上海）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且，将沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D,F,E在同一直线上，则线段AE的长为____．
35．(2023·上海九年级专题练习）在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________
36．(2023·上海九年级专题练习）如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是_____．
37．(2023·上海九年级专题练习）如图，正方形纸片的边长为4，是边的中点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，则的长为_____．
38．(2023·上海）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
39．(2023·上海九年级专题练习）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是__________．
40．(2023·上海上外附中九年级月考）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，则____________
41．(2023·上海上外附中九年级月考）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
42．(2023·上海上外附中九年级月考）如图，已知在中，为内一点且，则 ____________
43．(2023·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
44．(2023·上海九年级专题练习）如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
45．(2023·上海）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
46．(2023·上海九年级专题练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CE 平分∠ACB，点 D 在 CE的延长线上，连接 BD，过B作BF⊥BC交 CD 于点 F，连接 AF，若CF=2BD ，DE：CE=5：8 ， BF ，则AF的长为_________．
47．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝_____
48．(2023·上海）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是_____．
49．(2023·上海九年级专题练习）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．
50．(2023·上海九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE∥AC，BD＝5，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．
参考答案
1．D
分析：
如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°，，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT中，∵FN2=NT2+FT2，
∴（4m-x）2=x2+（2m）2，
解得x=m，
∵AC=AB=6，∠CAB=90°，
∴BC=AC=12，
∴CD=BD=6，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=3，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=6，
∴EC=9=5k，
∴，
∴，
∴，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（1）①见解析；②；（2）或
分析：
（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；
②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．
（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．
②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．
【详解】
（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）①；②BE为或．
分析：
(1)求出∠B、∠C,证明∠BAF=∠ADC即可；
(2)①证明△ABC∽△DAE，得到对应边成比例可证△ECF∽△ABF,从而 即可得出答案；
②作AH⊥BC于H,求出BC,利用△AB∽△DCA列方程求出BD=2或3,分情况画出图形分别求出BE．
【详解】
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠B＝∠C＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAF＝∠DAE+∠BAD，
∴∠BAF＝∠ADC，
∴△ABF∽△DCA；
（2）①
∵△ABF∽△DCA，
∴，即，
∵AD＝ED，
∴∠DAE＝DEA，
∴∠DEA＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴△ABC∽△DAE，
∴，即，
∴，即，
∴，
∵∠EFC＝∠AFB，
∴△ECF∽△ABF，
∴，
∵点F是BC的黄金分割点（FC＞BF），
∴，
∴；
②作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝2BH，AH＝AB＝，BH＝得BC＝6，
∵△ABF∽△DCA，
∴，即CD•BF＝AB•AC，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
∵DF＝1，
∴BF＝x+1，
∴（6﹣x）•（x+1）＝×，解得x＝2或x＝3，
∴BD＝2或3，
当BD＝2时，BF＝3，即F为BC中点，如图：
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∵AD＝AE，
∴AF＝EF，即BC垂直平分AE，
∴BE＝BA＝，
当BD＝3时，D为BC中点，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝60°，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
作DG⊥AE于G，
∴AG＝AD•cs30°＝，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AG＝3，
∴BE＝，
综上所述，DF＝1时，BE为或．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用相似三角形性质求出BD的长度．
4．（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）通过证明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性质即可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】
证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，
∵∠AED＝∠B，
∴∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△DEC，
∴，
∴CE•AD＝DE2；
（2）∵△ADE∽△DEC，
∴，
∴，
∴．．
【点睛】
本题综合考查了等腰梯形的性质和相似三角形的判定与性质等内容，要求学生理解并掌握相关内容，能运用有关知识求出相等的角，能证明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性质解决不同的边之间的关系等问题，要求学生能在不同的三角形之间进行边和角的转化，蕴含了转化的思想方法．
5．（1）见解析；（2）y＝，x范围是0＜x≤2；；（3）
分析：
（1）连接CP，证明△ACP∽△ADO相似即可得到答案；
（2）用x的代数式表示AC，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；
（3）半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，利用x的代数式表示EG和BG再列方程可得答案．
【详解】
解：（1）连接CP，如图：
∵AP＝CP，AO＝DO，
∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，
∴△ACP∽△ADO，
∴，
∴AD•CP＝OD•AC，
∴AD•AP＝OD•AC；
（2）∵半圆O的直径AB＝4，
∴AO＝2，
∵半圆P的半径为x，
∴OP＝2﹣x，
∵CO⊥AB，
∴∠COP＝90°，
∴CO2＝CP2﹣OP2＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，
Rt△AOC中，AC＝＝2，
∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，
∴CP∥DO，
∴，
又线段CD的长为y，
∴，
变形得：，x范围是0＜x≤2；
（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，如图：
设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝2，
∵CO⊥AB，
∴BC＝AC＝2，
∵CP∥DO，
∴，
而OB＝2，PB＝4﹣x，
∴，
∴BE＝，
∵点E在半圆P上，
∴∠EGB＝∠ACB，
且∠B＝∠B，
∴△CAB∽△GEB，
∴，
∴，
∴EG＝，
∵AC＝BC，
∴EG＝BG，
而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，
∴＝4﹣2x，
解得或（大于2，舍去），
∴半圆P的半径为．
【点睛】
本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．
6．（1）见解析；（2）见解析；（3）
分析：
（1）由题目条件可证得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），进而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四边形AFED是菱形．
（2）根据条件可证得△ABG∽△CBA，即可证明结论．
（3）由条件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC•BC，得到点E是BC的黄金分割点，可得出，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴，
即AB2＝BG•BC．
（3）解：如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABG＝∠C，
∵∠BAG＝∠C，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，
∴∠AGC＝2∠BAG，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴，
∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，
∴BE2＝EC•BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴，
∴，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．
7．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由见详解；（2）AB=kAC， 180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值为3
分析：
（1）先证明△ABD≌△ACE，从而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，结合∠AGB＝∠FGC，即可得到结论；
（2）先证明ABCADE，从而得，结合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，进而即可得到结论；
（3）把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，，(3，3)，，进而即可求解．
【详解】
解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC−∠DAC，∠CAE＝∠DAE−∠DAC
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，
故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，
∴ABCADE，
∴，
∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴BADCAE，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，
∴AB=kAC，直线BD和CE相交所成的较小角的度数为：180°-α-β；
（3）由题意得：MN=MP，∠NMP=90°，
把OPM绕点M顺时针旋转90°得到 （与N重合），则，，
∵点M的坐标为（3，0），
∴(3，3)
∵OPM，
∴，即线段OP长度最小时，的长度最小，
∴当⊥y轴时，的长度最小，此时(0，3)，
∴N(0，3)，OP的最小值为3 .
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
分析：
（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．
【详解】
（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，
∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴GF：AE＝GM：AB，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴GF：AE＝AD：AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，
∴GF：AE＝BC：AB，
∵，
∴．
（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
由BE：BF＝3：4 ，设BE＝3k，BF＝4k，则EF＝AF＝5k，
∵，，
∴AE＝，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，
∴
∴k＝1或﹣1（舍去），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴，
∴，
∴EM＝ ，PM＝ ，
∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，
∴PC＝=．
【点睛】
本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
9．(1)45°，（2）证明见解析，（3）．
分析：
(1) 连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，证四边形AMFN是正方形即可；
(2) 连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，证△CAF∽△BAN，列比例式即可；
(3) 连接AC，取AC中点O，连接OG，根据中位线性质确定G点运动轨迹，再根据弧长公式计算即可．
【详解】
解:(1)连接DF，作AM⊥DF，AN⊥EF，垂足分别为M、N，
∵线段AE与AD关于直线AP对称，
∴∠DFA=∠EFA，
∴AM=AN，
∵AD=AB，
∴Rt△AMD≌Rt△ANB，
∴∠MAD=∠NAB，
∵∠MAD+∠MAB=90°，
∴∠NAB+∠MAB=∠MAN=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∴∠AFE=45°；

(2) 连接AC，作AN⊥EF，垂足为N，
由（1）可知，，∠CAB=∠FAN=45°，
∴∠CAF=∠BAN，
∴△CAF∽△BAN，
，
∴BN=FC，
∵AB=AE，
∴BE=2BN，
∴BE=FC；

(3)连接AC，取AC中点O，连接OG，
∵G是CE的中点，
∴OG=AE=，
∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，
当点P与C重合时，G与BC中点重合，当点P与B重合时，G与BA中点重合，
点G运动的路径是以为半径，圆心角为90°的弧长，
路径长为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质，解题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形和相似三角形，通过线段相等或成比例解决问题．
10．（1）见详解；（2）
分析：
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；
（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合，即可求出AF的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴，
∴；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴是等腰三角形，
∴BA＝BE＝6，
∵BG⊥AE，
∴AG=EG，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴，
即AG＝GE＝EF，
∵△GDF∽△DAF，AD=FD，
∴DG=FG，
∴DG=，
∵，
∴AF2＝81，
∴AF＝．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
11．（1）见解析；（2）见解析．
分析：
（1）先根据菱形的性质和角的和差可证∽，再根据相似的性质得到结合即可证明；
（2）先根据菱形的性质得到、，再根据平行线分线段成比例定理可得，再结合可得即即可证明．
【详解】
证明：（1）∵四边形是菱形；
∴；
∴；
∵，；
又∵；
∴；
∴∽；
∴，即；
∴；
（2）∵四边形是菱形；
∴，；
∴；
∵；
∴，
∴；
∴，即．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及菱形的性质，灵活应用相关性质定理成为解答本题的关键．
12．（1）；（2）；（3）或或．
分析：
【详解】
（1）在Rt△ABD中，AD=1，AB=3，
∴BD=，
∵，
∴△ADF∽△CBF，
∴=，
∴BF=4DF，
∴
（2）∵△ADF∽△CBF，
∴，
∵BD=，
∴BF=，DF=，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴AF=，
∵AM∥BC，
∴∠CAD=∠C，
∵，
∴∠CAD=∠DBE，
∵∠AFD=∠BFG，
∴△ADF∽△BGF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵△ADF∽△BGF，
∴，
∴，
∴，
∵AM∥BC，
∴∠DBE=∠C，∠DEB=∠CBG，
∴△BDE∽△CGB，
∴，
∴，
∴GE=BE-BG=，
∵AM∥BC，
∴△DEG∽△HBG，
∴，
∴BH=，
分三种情况：
①当BD=BH时，，解得；
②当BD=DH时，则BH=2AD=2x，
∴，解得x=；
③当BH=DH时，过H作HP⊥BD于P，此时BP=，
∵∠ABD+∠PBH=∠ABD+∠ADB=，
∴∠ADB=∠PBH，
∵∠BAD=∠BPH=,
∴△ABD∽△PHB，
∴，
∴，解得x=，
综上，线段AD的长为或或．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH，这是此题的难点．
13．（1）证明见解析；；（2）；（3）和；
分析：
（1）根据垂直关系得到，根据AA即可证明，得到，再根据正切的定义即可求解；
（2）先证明，得到，代入得到，故可求解；
（3）根据题意分和，分别列出比例式求出x的值即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴
在和中
∴
∵，，
∴
∴
（2）由（1）可知
∴
∴
∵ABCD
∴，
∴
∴
∴，
（3）∵，，
过点E作EM⊥CD于M点，∴四边形AEMD为矩形
∴MH=DH-DM=DH-AE=y-x，
∴，，，
∵ABCD
∴
∴
∴
∴
∵，
若，
∴
∴
即
化简得
∵
∴
化简得
解得或(舍去)
若，则有
∴
∴
∴
综上，和时与相似．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
14．（1）见解析；（2）（0＜x≤4）；（3）BF＝2或
分析：
（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD，∠EOH=90°，OE=OH，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到AN=BN=ON=AB=2，根据勾股定理得到OF===，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（3）①当AE=EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，AO＝OD，
∵四边形OEGH是正方形，
∴∠EOH＝90°，OE＝OH，
∴∠AOE＝∠DOH，
∴△HDO≌△EAO（SAS）；
（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，
∵BF＝x，
∴AF＝4﹣x，
∴FN＝2﹣x，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝y﹣，
∵AM⊥AC，
∴AE∥OB，
∴，
∴＝，
∴；
（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，
∵∠EAO＝90°，
∴这种情况不存在；
②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，
如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，
∴∠PAE＝∠AEO，
∴△APE∽△EAO，
∴＝，
∵AE＝AG，
∴PE＝y＝，AE＝＝，
∴＝，解得：x＝2，
②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，
如图3，过G作GQ⊥AE于Q，
∴∠GQE＝∠EAO＝90°，
∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，
∴∠EGQ＝∠AEO，
∵GE＝OE，
∴△EGQ≌△OEA（AAS），
∴EQ＝AO＝2，
∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）先证明是等边三角形，再根据推出，然后根据推出，从而得出四边形是平行四边形，于是，进一步即得结论；
（2）先用证明，从而得，再证，于是可得，进一步即可证得结论．
【详解】
证明：（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的判定和性质是证明的关键.
16．（1）；（2）；（3）4-4、或．
分析：
（1））过点D作于H，在中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；
（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示， 再证明
由即得到与x的关系；
（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，继而解得x、y的值即可解题．
【详解】
（1）过点D作于H，
在中，
；
（2）过E作EH⊥CB于H
∵，
∴．
∴ 即．
∴ ．
∵EH⊥CB，，
∴ ，．
∴
∵，
∴ ．
∵
∴．
∵
∴．
∴即．
整理得，；
（3）在Rt△MDB中，DB=4-x,
所以MD=MB=
在Rt△ADM中，AM=AB一MB=
所以tan∠DAB=
按照点F的位置，分两种情况讨论△CDF与△AGE相似:
①点F在线段AC上，此时y=4-2x.
如图，
如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得
结合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.
解得x=4-4 或-4-4 （舍去）,
如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得
结合y=4- -2x,整理，得x2-16x+16=0.
解得或（舍去）
②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4
如图
如果∠FDC=∠DAB,由结合y=2x-4，整理，得
解得x=或（舍去）
如果∠CFD=∠DAB, 与y=2x-4
整理，得
此方程无解.
综上，CD的值为4-4、或．
【点睛】
本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．
17．．
分析：
根据相似三角形的判定与性质与正方形的性质找出相似三角形并根据相似比求解即可．
【详解】
解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，
在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，
∴△MDN∽△NEQ，
∴＝，
∴DN＝×10＝2，
在△MDN和△PBQ中，
，
∴△MDN≌△PBQ（ASA），
∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，
∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，
∴DM＝，
∴每个小正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是找出相似三角形并根据相似比求出小正方形的面积．
18．（1）证明见解析；（2）DE：DF =k；（3）y=8-2x，定义域是0＜x≤4
分析：
（1）连接DC，由于△ABC是等腰直角三角形，点D是中点，所以AD是∠ACB的角平分线，根据“角角边”容易判定△CED≌△BFD，进而证得DE=DF．
（2）先证△ADP∽△BDQ，进而证得DQ：DP=AD：DB=m，再证△DQF∽△PDE，进而证得DE：DF=DQ：DP=AD：DB=m．
（3）根据已知条件，易证△DGE∽△FHD，根据相似三角形的性质，列出比例式，整理得到函数关系式，根据点E在AC上得出定义域．
【详解】
（1）证明：如图2，连接DC．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵点D是AB中点，
∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，
∴∠ACD=∠B=45°．
∵ED⊥DF，CD⊥AB，
∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE=DF；
（2）解：如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．
∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，
∴△ADP∽△BDQ，
∴DP：DQ=AD：DB=k．
∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠QDF=∠PDE，
∵∠DQF=∠DPE=90°，
∴△DQF∽△DPE，
∴DE：DF=DP：DQ，
∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=k；
（3）解：如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=
∵AD：DB=1：2，
∴AD=2，DB=4．
由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，
可得AG=EG=x，BH=FH=y，
GD=2－x，HD=4－y，
∵DF⊥DE
∴∠EDF=90°，
∴∠GED=∠HDF，∠EDG=∠DFH
∴△DGE∽△FHD，


∴y=8-2x，
定义域是0＜x≤4．
【点睛】
此题作为压轴题，综合考查函数、方程与和三角形相似的判定与性质等知识，是一个大综合题，解题关键在于正确做出辅助线，构造出直角三角形再进行求解，难度较大．
19．（1）；（2）；（3）或
分析：
（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，即可求出DE：DF值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【详解】
解：（1）∴AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB＝6，
∵，，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，；
（2）过点E作EH⊥AC于点，则，
∴，
根据∠DHE=∠C=90°，∠DEH=∠FDC，可得△HDE∽△CFD，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能：
①当DC=DE时，点F在边BC上，
过点D作DG⊥AE于点G（如图①），
可得：AE＝2AG＝3，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF=6；
②当ED=EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M（如图②），
可证：△DFC∽△DEM，
可证：
综上所述，为或．
【点睛】
本题主要考查了是一道综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
20．（1）见解析；（2）；范围见解析；（3）或
分析：
（1）由题意易得△ACB∽△DCE，则有，进而可证△ACD∽△BCE，然后根据相似三角形的性质可求证；
（2）由题意易得，过点D作DF⊥AC于点F，则有，进而可得，最后根据割补法进行求解面积即可；
（3）由（2）可得：设AD=x，如（2）图，则易得，求出x的值，然后再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
（1）证明：∵，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∵，
∴△ACB∽△DCE，
∴，
∵∠BCD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
即；
（2）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∵△ACD∽△BCE，
∴，
过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD=x，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）可得：设AD=x，如（2）图，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠A=∠CBE，，
∴∠DBE=90°，，
解得：或，
∴当时，，
∴，
在Rt△DFC中，，
当时，，
∴，
在Rt△DFC中，，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．
分析：
设两段分别为CD=3x，AD=4x，根据列出方程，求得x然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】
由题意得下图：
∵，
∴
又∵
∴
∴
设两段分别为CD=3x，AD=4x
∴，解得或（舍去）
∴
∴斜边中线的长为
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程方程的实际应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，关键是要舍去一元二次方程的不合理的根．
22．（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，
分析：
（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，由已知易求得OA的长，在Rt△ABM中，由已知可求得AM、MB的长，进而可求得BC、CD的长，由此即可求得点D的坐标；
（2）连接OD，证△ODE∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；
（3）若△AEF是等腰三角形，应分三种情况进行讨论：
①AF=EF时，此时△AEF是等腰直角三角形，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，根据面积差求解即可；
②AE=EF，此时△AEF是等腰直角三角形，且E为直角顶点，此时重合部分为△A′EF，可推导得到四边形AEDB是平行四边形，得AE=BD，进而可求得重叠部分的面积；
③AE=AF，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分为△A′EF，由（2）知△ODE∽△AEF，看到OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出AE边上的高，进而可求得面积．
【详解】
（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°，
∴AM=BM=AB·sin∠BAM=，
∵，
∴AO=，
∴BC=OA-AM=，
∴CD=BC-BD=，
∴点D的坐标为（，）；
（2）连接OD，如图（1），由（1）知，D在∠COA的平分线上，
∴∠DOE=∠COD=45°，
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴∠DOE=∠OAB，OD=AB=3，
∵∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，∠2=∠DEA-∠DEF=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，
即，
∴y= ；
（3）当△AEF为等腰三角形时，有EF=AF、EF=AE、AE=AF共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF），
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积，
∵AE=OA-OE=AO-CD=，
∴AF=AE•sin45°=，，
∴，
∴ ；
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF的面积，
∠DEF=∠EFA=45°，DE//AB，又DB//EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=，
∴；
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内，
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分为△A′EF的面积，
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=，
过F作FH⊥AE于H，则FH=AF•sin45°=，
∴，
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或．
【点睛】
本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确分类讨论并画出相应的图形是解题的关键．
23．（1）；（2），．
分析：
（1）先根据题意画出图，然后再根据勾股定理得到 即可解答；
（2）如图：先根据相似三角形的性质得到 或，得到AC= 或AC=6，过C作CD⊥y轴于D，再证明∠DCA=∠PAO，由相似三角形的性质可得 ，求得CD=3，AD=1.5或CD=12，AD=6即可解答．
【详解】
解：（1）如图：∵A（0，6）.
∴OA=6，
∵∠AOP=90°，AP=
∴
∴P点的坐标为（-3.0）；
（2）如图：∵∠AOP=∠PAC=90°，与相似
∴ 或
∴ 或
∴AC= 或AC=6
过C作CD⊥y轴于D
∵∠CDA=∠PAC=∠AOP=90°
∴∠DCA+∠CAD=∠C4D+∠PAO=90°
∴∠DCA=∠PAO
∴△ADC∽△POA
∴
∴或
解得： CD=3，AD=1.5或 CD=12，AD=6
∴OD=7.5或OD=12
∴点C的坐标为（-3，7.5）或（-12，12）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用所学知识并正确的作出辅助线是解答题的关键．
24．（1）1；（2）证明见解析；（3）
分析：
（1）作于H，结合题意，通过证明AHCD为平行四边形，得，；结合，推得是直角等腰三角形，，再通过证明，利用相似比计算即可得到答案；
（2）连接AC，通过证明和，求得；利用，得到；再通过三角形内角和及，得到，从而推导得，即可完成解题；
（3）根据，且，得，从而得到，再根据相似比以及直角中勾股定理，建立等式并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）作于H
∴
∵
∴
∵
∴AHCD为平行四边形
∴，
∵
∴
∴是等腰三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
即
∴；
（2）连接AC，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）∵，且
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵点M为边BC上一动点，连接AM并延长交射线DC于点F
∴
∴点M在点H和点C之间，即
∴．
【点睛】
本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形勾股定理、相似三角形、一元一次方程、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
25．（1）①，②； （2）无变化，证明见解析； （3）或．
分析：
（1）①先用勾股定理求出AC，再由中点可求出BD，AE，从而得到答案；
②当α＝180°时，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题可知，CD＝BC，CE＝AC，即可得出结论；
（2）先找到，然后证明△ACE∽△BCD，即可得出结论；
（3）先由（2）可算出BD＝AE，然后分类讨论即可得出结论．
【详解】
解：（1）①当α＝0°时，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝，
∵点D，E是BC，AC的中点，
∴BD＝BC＝，AE＝AC＝，
∴；
②当α＝180°时，如图，
点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，
由题意可知，CD＝BC，CE＝AC，
∴BD＝BC+CD＝BC＝，AE＝AC+CE＝AC＝，
∴；
（2）无变化，
在图1中，点D，E是BC，AC的中点，
∴DE∥BA，
∴，
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴仍然成立，
由旋转知，∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD，
∴，
∴的大小不变；
（3）由（1）知，CE＝AC＝，
在Rt△CBE中，BC＝1，根据勾股定理得，BE＝，
由（2）知，，
∴BD＝AE，
如图3，当点落在线段AB上时，
AE＝AB﹣BE＝，
∴BD＝AE＝×＝；
如图4，当点落在线段AB的延长线上时，
AE＝AB+BE＝2+＝
∴BD＝AE＝×＝，
即：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，线段BD的长为或．
【点睛】
本题考查了几何变换的综合问题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的思想是解题的关键．
26．（1）；（2）；（3）
分析：
（1）过C作CE垂直于AE，交AD的延长线于E点，先求得四边形ABCE为矩形，然后根据直角三角形的性质求得DE的长，进而求得PB、BC的长，最后运用勾股定理解答即可；
（2）先由勾股定理求得，再证△APD∽△ECD，然后求得CD,最后运用三角形的面积公式求解即可；
（3）先说明当与相似时有△APD∽△DPC∽△DCE,即△APD∽△DPC，然后分点P与点B不重合和重合两种情况解答即可．
【详解】
解:(1)过点C作,交AD的延长线于点E,
∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC.
∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，
∵AD//BC，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，
∴四边形ABCE为矩形，
∴CE=AB，AE=BC, ∠AEC=90°
又∵AB=3，
∴CE=AB=3
∵AD=AP=2
∴∠APD=∠ADP=45°
∵，∠AEC=90°
∴∠CDE=∠ECD=45°
∴DE=CE=3
∴BC=AD+DE=4+6=5,PB=AB-AP=1
∴；
(2)在中,由,
根据勾股定理得:,
∵∠ADP+∠BEDC=90°，∠DCE+∠BDC=90°，
∴.∠ADP=∠DCE，
又∵∠BAD=∠DEC=90°，
∴△APD∽△DCE
∵CE=3，AD=2，
∴
∴CD=
在中,,
∴；
(3) ∵△APD∽△DPC
∴△APD∽△DPC∽△DCE,
根据题意,当△APD与△DPC相似时,有下列两种情况:
①当点P与点B不重合时,可知,
∵△APD∽△DCE
∴，即
∵△APD∽△DPC
∴
∴
∵AD=2
∴DE=AD=2
∴AE=AD+DE=4，
又∵∠A8C=∠BAE=∠AEC=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
；
②当点P与点B重合时,可知,
∵AD=2,AB=3
∴不合题意
故此种情况不存在．
综上,当△APD∽△DPC时,线段BC的长为4．
【点睛】
本题属于相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及数形结合和分类讨论的思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
27．（1）39；（2）．
分析：
(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到，即可求出梯形的面积；
(2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求解．
【详解】
解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示：
∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，
∴∠A=∠D=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD=CE，AE=CD=5，
∴BE=AB﹣AE=3．
∵BC=3，∴CE==6，
∴梯形ABCD的面积=×(5+8)×6=39，
故答案为：39．
(2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示：
∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．
∵∠CHD=∠A=90°，
∴△CDH∽△DBA，∴，
∵BD===10，
∴，∴CH=3，
∴BH===6，
∴∠DBC的正切值===．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．(1)证明见解析；(2)证明见解析．
分析：
（1）根据平行四边形的性质得到BO=DO，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠BAE=∠GCE，求得∠GEC=∠GCE，得到GE=CG，推出四边形DECF是平行四边形，得到DG=CG=FG=GE，于是得到结论．
【详解】
证明：（1）四边形是平行四边形，
．
，
是的中位线．
，即．
（2），
．
四边形是平行四边形，
．
．
又，
．
．
，
∴△DFG∽△CEG，
．
，
．
四边形是平行四边形．
，，．
．
．
四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
29．
分析：
先求出AB、AD、BE、CE长，根据相似三角形和勾股定理先后求出AE、CF、AF，通过计算得到，从而证明△ADF∽△EAB，即可求出DF．
【详解】
解：在Rt△ABC中，，
∵D为AB中点，
∴AD=，
∵AC＝BC＝3，BE＝2CE，
∴BE=2，CE=1，
∵∠ACB=90°，
∴，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE=∠ACE=90°，
∵∠CEF=∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵∠DAF=∠EAB，
∴△ADF∽△AEB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和勾股定理等知识，难度较大，证明△ADF∽△AEB是解题关键．
30．1或， ，
分析：
(1) 根据△ADQ∽△BPC，列出比例式，设AQ＝x，则BP＝，代入可求；
(2) 设AQ＝x，表示出四边形PCDQ的面积，根据函数的性质，可求最值．
【详解】
解：(1)∵△ADQ∽△BPC，
∴，
设AQ＝x，则BP＝AB﹣AQ﹣PQ＝，
即，解得x＝1或，
故答案为： 1或．
(2)设AQ＝x，则BP＝，作QE⊥AC于E,作PF⊥BC于F,
∵∠A=60°，
∴QE=AQsin60°=，
同理，PF=，
则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
31．
分析：
过F作FH⊥BA交BA延长线于H，根据题意设，BD=，利用AAS证明△ABD△CBE，求得，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】
过F作FH⊥BA交BA延长线于H，
∵AD⊥BC，tan∠DCA=2，
∴，
设，则，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD△CBE(AAS)，
∴BD=BE，
∴DC=AE，
设BD=BE=，
∴AE+ BE=，BD=，，
在Rt△ABD中，，
∴，
解得：，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM△BHF，
∴，
∵BM：MF=25：38，则BM：BF=25：63，且EM=5，
∴，
∴FH=，
∵∠BAD=∠FAH，∠ADB=∠FHA=90，
∴△AFH△ABD，
∴，
而AB=AE+BE=，BD=，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用设参数的方法解决问题．
32．
分析：
由□可得AD=BC、AD//BC,由可得AD=BC=3BE,过F作FN⊥BC、FM⊥AD,则△ABC的高为MN,△AFD的高为FM,再说明△ADF∽△CEF和△ENF∽△DMF进而得到,进而求得△AFD的面积，最后根据相似三角形的性质求得△EFC的面积即可．
【详解】
解：∵□
∴AD=BC、AD//BC
∵
∴AD=BC=CE+BE=3BE
如图：过F作FN⊥BC交BC于N，交AD于M，
∵AD//BC，
∴FM⊥AD，
∴△ADF∽△CEF，△ENF∽△DMF
∴，,
∴
∵AD=BC
∴,即，解得=9
∴,即，解得=4
故填：4．
．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键．
33．a:(b-a)
分析：
做辅助线构造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可．
【详解】
解：如图：
过点B作BG∥AC交EF于点G
∴∠1=∠C
∵点D是边BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中

∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
又∵BG∥AC
∴△BGE∽△AFE
∴ =
即BE:AE=a:(b-a)
故答案为：a:(b-a) ．
【点睛】
本题主要考查了做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形即相似的性质求线段的比；解题关键是做出正确辅助线，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定和性质．
34．
分析：
设，根据折叠的性质和矩形的性质得到，证明，利用对应边成比例列式求出AE的长．
【详解】
解：设，则，
∵折叠，
∴，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得或（舍去），
∴．
故答案是： ．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
35．或
分析：
当直线经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD´∽△ABE´，利用相似三角形对应边成比例求解.
【详解】
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=2，BC=4，
由勾股定理得，AB=，
∵分别是边、的中点，
∴DE是△ACB的中位线，BD=2，BE= ，
∴DE∥AC，DE=
∴∠EDB=90°，
由旋转可得，BD´=2，D´E´=1，BE´=，∠BD´E´=90°，
第一种情况，如图1，

∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´+D´E´=5
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
第一种情况，如图2，

∵点A，D´，E´三点共线，
∴∠AD´B=90°，
由勾股定理得AD´=，
∴AE´=AD´-D´E´=3
∵∠ABC=∠D´BE´，
∴∠CBD´=∠ABE´，
∵ ，
∴△CBD´∽△ABE´，
∴，
∴，
∴CD´=
∴CD´长为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，分类讨论并能正确画出图形很关键．
36．2或12或
分析：
分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形对应边成比例，列方程计算即可．
【详解】
解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，
当△ABP∽△PDC时，，即，
解得，x1＝2，x2＝12，经检验x1＝2，x2＝12是原方程的解；
当△ABP∽△CDP时，，即，
解得，x＝，经检验x＝是原方程的解；
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，
故答案为：2或12或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质和分类讨论思想，掌握相似三角形的对应边成比例、根据对应关系不同进行分类讨论是解题的关键．
37．
分析：
先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据△ABM~△ADE，求出AM 的长，从而得出AG继而得出GE的长．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠D =90°，
∴∠BAM+∠FAM=90°，
又∵是边的中点，
∴DE=2，
在Rt△ADE中，AE=
∵由折叠的性质可得△ABF≅△GBF，
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠FAM
∴△ABM~△ADE，
∴= ，
∴= ，
∴AM=，
∴AG=，
∴GE=AE-AG=-=．
【点睛】
本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
38．
分析：
根据 正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.
【详解】
解：四边形是正方形，，
，OA=OB=OC=OD，
∵,
∴，
，
，
，即
，，
，，
，解得
故答案为：.
【点睛】
此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.
39．
分析：
如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC•EP，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，作FH⊥PE于H，
∵四边形ABCD是正方形，AB=10，
∴AC=，∠ACD=∠FCH=45°，
∵∠FHC=90°，CF=4，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴EC=，AE=，EH=，
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2=，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴EF2=EC×EP，
∴EP=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
40．
分析：
连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，由题意易得ED∥BC，，PQ∥ED，，进而可求解．
【详解】
解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：
∵是的重心，延长交于点，延长交于点E，
∴AE=BE，AD=DC，
∴ED∥BC，，
又∵分别是和的重心，
∴，
∴PQ∥ED，，
∴，即；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键．
41．108
分析：
根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．
【详解】
解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，
∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵，
∴FP：IE：PH=1：2：3，
∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方．
42．
分析：
根据三角形的内角和得到∠CAP+∠ACP=60°，求得∠ АСР=60°-∠CAР，由∠ ВAP=60°-∠CAP，得到∠BAP=∠ACP，证得△ABP∽△CAP，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】
∵，
∴∠CAP+∠ACP=60°，
∴∠ACP=60°-∠CAP，
∵,
∴∠BAP=∠ACP=60°-∠CAP，
∴∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP，
∴,
∴,
∴PC=,
故答案为：.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，根据题意找到三角形相似的条件证得两个三角形相似，由此解决问题.
43．； ．
分析：
由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．
【详解】
解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
44．
分析：
如图，过点作于，过点作，交的延长线于，由面积和差关系可求，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求，，的长，通过证明，可得，可求，，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
等腰，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，且
，且，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH的长是本题的关键．
45．
分析：
由勾股定理可求A'C=5，可得A'D= A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，对应边成比例即可求出DE的长，再由△A'DF∽△CDE求出DF的长，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.
【详解】
解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
∴由勾股定理可知：A'C=，
∴A'D= A'C-CD=2，
又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，
∴△ECD∽△A'CB'，
∴，代入数据：，
∴，
又A'F∥CE，
∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，
∴△A'DF∽△CDE，
，代入数据：，
∴，
在Rt△DFC中由勾股定理可知：
.
故答案为：.
【点睛】
本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.
46．
分析：
取CF的中点为M连接BM，可证得与均为等腰三角形，设，通过角的计算可证得与均为等腰三角形，由，设，过B作于N，过A作于G，根据相似三角形的性质结合勾股定理可求得的值以及AG、FG的值，利用勾股定理即可求解．
【详解】
取CF的中点为M连接BM，
∵BF⊥BC，
∴∠FBC=90，
∴CM=FM=BM==BD，
∴与均为等腰三角形，
，
设，则，，
，
，
∴可得与均为等腰三角形，
∵，
设，则，，，
∴，
过B作于N，过A作于G，
得，，
∵∠FBN+∠BFN=90，∠FCB+∠BFN=90，
∴∠FBN=∠FCB，
∴△RtFBNRt△BCN，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
∵∠BEN=∠CEA，
∴Rt△BENRt△CEA，
∴，即，
∴,
∵∠BEN=∠AEG，
∴Rt△BENRt△AEG，
∴，即，
∴，，
∴，
在Rt△AFG中，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解本题的关键是利用比例的条件设未知数表示一些线段的长，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较难的中考题．
47．2﹣2
分析：
由对折的性质得，，再由，证明，从而得，由相似三角形的性质求得，进而由勾股定理得．
【详解】
解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，关键是证明三角形相似．
48．．
分析：
如下图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，由勾股定理可求AC＝5，由面积法可求BF＝，由勾股定理可求AF＝，由旋转的性质可得AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，可求AA'＝，由等腰三角形的性质可求HC的长，通过证明△EHC∽△ABC，可得，可求EC的长，即可求解．
【详解】
如下图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，
∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5，
∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，
∴3×4＝5BF，
∴BF＝
∴AF＝，
∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，
∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，
∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，
∴A'C＝AC﹣AA'＝，
∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠EA'C，
∴A'E＝EC，且EH⊥AC，
∴A'H＝HC＝A'C＝，
∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，
∴△EHC∽△ABC，
∴
∴
∴EC＝，
∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查矩形的旋转，需要用到矩形的性质，相似三角形和勾股定理求解，解题关键是利用矩形性质，得出△EHC∽△ABC．
49．或．
分析：
若等腰三角形的三个内角、，，利用和得，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角、，，利用和得，如图，，，作的平分线，则，易得，再证明，利用相似比得到，等量代换得到，然后解关于的方程得与的比值即可．
【详解】
解：若等腰三角形的三个内角、，，
，，
，解得，
此“倍角三角形”为等腰直角三角形，
腰长与底边长的比值为；
若等腰三角形的三个内角、，，
，，
，解得，
如图，，，作的平分线，则，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
整理得，解得，
即，
此时腰长与底边长的比值为，
综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为或．
故答案为或．
【点睛】
本题考查了三角形的相似判定和性质，等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
50．或
分析：
分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．
【详解】
解：在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴ ，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝ ，
∵∠AD′B＝90°，
如图1中，当点D′在线段AE′上时，
∵△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'
∴ ,
∴AD′＝ ，
又∵ ，
∴AE′＝AD′+D′E′＝ ，
如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′＝AD′﹣D′E′＝ ，
综上所述，满足条件的AE′的长为或．
故答案为或．
【点睛】
本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题以及灵活运用所学的知识点，属于中考常考题型．