人教版数学九年级上册期末章节重难点复习讲义专题10 圆周角综合题（2份，原卷版+解析版）

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易错点拨
知识点：圆周角
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识要点：
细节剖析:
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
易错题专训
一．选择题
1．（2022•肃州区模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（ ）
A．34°B．56°C．68°D．102°
【易错思路引导】连接AD，根据AB是直径可知∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，即可求出∠DAB，根据圆周角定的推论可得∠DAB＝∠BCD，则问题得解．
【规范解答】解：连接AD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，
又∵∠DAB＝∠BCD，∠ABD＝56°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝34°．
故选：A．
【考察注意点】本题主要考查了圆周角定理的推论以及直径所对圆周角为90°等知识，熟知直径所对的圆周角是直角，根据圆周角定理的推论得到∠DAB＝∠BCD是解答此题的关键．
2．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（ ）
A．B．2C．2﹣2D．2﹣2
【易错思路引导】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．
【规范解答】解：由题意可得AB＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝2，
在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，
∴PB＝＝＝＝2，
∵BP为半径作弧交数轴于点Q，
∴BQ＝PB＝2．
∴点Q表示数为2﹣2．
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．
3．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（ ）
A．30°B．25°C．10°D．5°
【易错思路引导】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．
【规范解答】解：连接CB，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ABC＝∠AOC＝30°，
∵∠ABC是△PBC的一个外角，
∴∠ABC＞∠APC，
∴∠APC的度数不可能是30°，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2021•萧山区二模）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
【易错思路引导】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．
【规范解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；
C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝2•2•sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选：D．
【考察注意点】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．
5．（2019秋•滨江区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（ ）
A．20°B．40°C．70°D．80°
【易错思路引导】根据OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，DE＝OD，分三种情况画图进行计算即可．
【规范解答】解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，
设∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如图3，
设∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠E＝ODC＝15°+x，
∴15°+x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．
6．（2020秋•鹿城区校级期中）如图，分别以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝12，DE＝2，且AC˃6，则AC长为（ ）
A．6+B．8+C．6+2D．8+2
【易错思路引导】解：连接DA，DC，EO，BC．E是中点，推OE垂直平分AC，∵D是半圆中点，推FD垂直平分AC，D、E、F、O在同一条直线上，F是AC的中点，O是AB中点，推OF是△ABC的中位线，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC长．
【规范解答】解：连接DA，DC，EO，BC．
∵E是中点，
∴OE垂直平分AC，
∴F是AC的中点．
∵AC为⊙F的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵D是半圆中点，
∴FD垂直平分AC，
∴D、E、F、O在同一条直线上，DA＝DC，∠DFA＝90°，
∴∠DAF＝45°．
∴DF＝AF．
设EF＝x，DF＝AF＝x+2，OF＝6﹣x
∴AC＝2x+4．
∵F是AC的中点，O是AB中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴BC＝2OF＝12﹣2x．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
122＝（4+2x）2+（12﹣2x）2，
x＝2±．
∵AC˃6，
∴x＝2+．
AC＝8+2．
故选：D．
【考察注意点】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，掌握这三定理的熟练应用，证明D、E、F、O在同一条直线上是关键．
二．填空题（共7小题）
7．（2022•沈阳二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 50° ．
【易错思路引导】根据圆内接四边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EAB+∠DCB＝180°，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴∠EAB＝∠ECD＝75°，
∵∠ECD是△FCB的外角，
∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，
∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，
故答案为：50°．
【考察注意点】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形的外角性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2022•零陵区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是 25° ．
【易错思路引导】根据平角定义求出∠AOC＝50°，再利用圆周角定理可得∠D＝∠AOC，进行计算即可解答．
【规范解答】解：∵∠BOC＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠AOC＝25°，
故答案为：25°．
【考察注意点】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2019•西城区二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为 100 °．
【易错思路引导】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．
【规范解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．
∴＝＝，
∵∠ODC＝50°，
∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．
故答案为：100．
【考察注意点】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（2022•海曙区校级模拟）如图，AB是⊙O的弦，，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC是△ABP的中线．
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝ 2 ；
（2）AC的最大值＝ 1+ ．
【易错思路引导】（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝2，再证明H和C重合即可得到答案；
（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．
【规范解答】解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴＝，
∴BA2＝BC•BP，
∵AC是△ABP的中线，
∴BP＝2BC，
∴（2）2＝BC•2BC，
∴BC＝2，
在Rt△ABH中，∠CAB＝∠P＝45°，AB＝2，
∴BH＝AH＝2，
又∵BC＝2，
∴点H和点C重合，
∴AC＝AH＝2．
故答案为：2；
（2）如图2，
∵点P的运动轨迹是圆，
∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，
∴当AC'经过圆心O'时最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AB＝2，
∴AO＝BO＝2，OO'＝1，
∴AO'＝，
∵O'C'＝1，
∴AC'＝1+，
∴AC的最大值为1+．
故答案为：1+．
【考察注意点】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和圆中最值问题，解题的关键是，确定AC最大时点C的位置．
11．（2022•禅城区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．
探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 5﹣5 ．
【易错思路引导】连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求DF的长．
【规范解答】解：如图所示，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【考察注意点】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
12．（2022•固原一模）如图，点A、B、C在圆O上，BC∥OA，连接BO并延长，交圆O于点D，连接AC，DC，若∠A＝28°，则∠D的大小为 34° ．
【易错思路引导】利用平行线的性质求出∠ACB＝28°，再利用圆周角定理求出∠AOB＝56°，利用平行线的性质可得∠CBO＝56°，再证明∠DCB＝90°可得结论．
【规范解答】解：∵AO∥BC，∠A＝28°，
∴∠ACB＝∠A＝28°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝56°，
∴∠CBO＝∠AOB＝56°，
∵BD是直径，
∴∠DCB＝90°，
∴∠D＝90°﹣56°＝34°．
故答案为：34°．
【考察注意点】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识．解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．（2019•武汉自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点、当∠A为锐角时，则∠A与∠CBE的关系为 ∠BAC＝2∠CBE ．
【易错思路引导】连接AD，由AB是⊙O的直径知∠BEA＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质，据此求解可得．
【规范解答】解：∠CAB＝2∠EBC，理由如下：
如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝∠ADB＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
故答案为：∠CAB＝2∠EBC．
【考察注意点】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理．
三．解答题
14．（2022•兴化市开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交△ABE边AE于点D，连接OD，且满足OD∥BE，点P在BA的延长线上，PD交BE于点C．
（1）求证：AB＝BE；
（2）如果PA＝2，∠B＝60°，PC⊥BE，求直径AB的长．
【易错思路引导】（1）根据OD∥BE，得出∠ADO＝∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由OD∥BE，得到∠POD＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
【规范解答】（1）证明：∵OD∥BE，
∴∠ADO＝∠E，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠E，
∴AB＝BE；
（2）解：∵OD∥BE，∠B＝60°，
∴∠POD＝∠B＝60°，
∴cs∠POD＝，
在Rt△POD中，cs∠POD＝＝，
∴OP＝2OD，
∵OD＝OA，OP＝PA+OA，
∴OA＝OD＝PA＝2，
∴AB＝2OA＝4，
即⊙O直径为4．
【考察注意点】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质等知识点，熟记圆周角定理是解题的关键．
15．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．
【易错思路引导】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；
（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积..
【规范解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2，
∴BD＝2×＝4；
（2）∵BE＝5，
∴CE＝3，
∵BC＝DC，
∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．
【考察注意点】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【易错思路引导】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【规范解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
【考察注意点】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键．
17．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
【易错思路引导】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论；
（2）先利用勾股定理计算AD的长，证明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作辅助线，证明四边形OGFD是矩形，根据同角的三角函数可得FH的长，最后利用勾股定理可得结论．
【规范解答】证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
过O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴OG＝DF＝2，
∴sin∠FAH＝，
∴，FH＝，
Rt△AFH中，AH＝＝．
【考察注意点】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，有一定的难度．
18．（2022•鹿城区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．
【易错思路引导】（1）如图1，利用垂径定理得到＝，根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD，根据圆周角定理的推论得到∠AGD＝∠ACD＝∠ADC，再利用圆内接四边形的性质得到∠FGC＝∠ADC，从而得到结论；
（2）如图，过点G作GH⊥DF于点H．证明△DAG≌△FCG，推出AD＝CF＝3，GD＝GF，利用勾股定理求出AE，AF，再利用平行线分线段成本定理定理求解即可．
【规范解答】（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵点A、D、C、G在⊙O上，
∴∠FGC＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．
∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，
∴∠DAC＝∠FCG，
∵＝，
∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△DAG≌△FCG（ASA），
∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，
∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EC＝2，
∴DF＝2+2+3＝7，
∴DH＝HF＝3.5，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝＝＝，
∵GH∥AE，
∴＝，
∴＝，
∴GF＝．
【考察注意点】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．（2021秋•洪山区期中）已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．
（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．
【易错思路引导】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）证明HF＝DH即可．
【规范解答】（1）证明：如图1中，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠AGH＝90°，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，
∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，
∴∠HDF＝∠HFD，
∴FH＝DH＝3．
【考察注意点】本题考查圆周角定理，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明FH＝DH．
20．（2019•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 60° ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
【易错思路引导】（1）连接OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；
（2）同理解答（2）（3）．
【规范解答】解：（1）如图1，连接OD，OC，BD，
∵OD＝OC＝CD＝2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°
∴∠DBC＝30°
∴∠EBD＝30°
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠E的度数为60°；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC．
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EBD＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
（3）如图3，连接OD，OC，
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝60°．
【考察注意点】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答