沪教版九年级上册数学专题训练专题16平面向量的线性运算重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题16平面向量的线性运算重难点专练(原卷版+解析)，共73页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．与方向相反
3．如图，已知点、分别在的边、上，，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A．B．∥C．D．与方向相同
6．以下说法错误的是（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．如果（为非零向量），那么；
D．如果不是与非零向量同方向的单位向量，那么．
7．已知，下列说法中不正确的是（ ）
A．B．与方向相同C．D．
8．已知和都是非零向量，下列结论中不能确定的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
第II卷（非选择题）
二、解答题
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）
11．如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当，，时，求的长．
12．如图，已知梯形ABCD，，，点E在边BC上，，请回答下列问题：
（1）写出所有与互为相反数的向量是 ．
（2）在图中求作与的和向量： ．
（3）在图中求作与的差向量： ．
（4） ．
13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
14．如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设，，．图中的线段都成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在图中求作（不写作法，保留作图痕迹）．
15．如图，的对角线相交于点． 点在对角线的延长线上，且．
（1）图中与相等的向量是______；
（2）计算：；
（3）在图中求作 ．（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量）
16．如图，点是菱形边的延长线上的一点，，设 ， ．
（1）试用向量 ， 表示下列向量： = ；（直接写出结论）
（2）如果 ，，那么 = ；（直接写出结论）
（3）在图上求作： ．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）．
17．如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝FD，设，，．
（1）试用向量、、表示下列向量：＝ ，＝ ，＝ ；
（2）求作：+-．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
18．（1）已知四边形OBCA是平行四边形，点D在OB上．
①填空：__________；___________；
②求作：．
（2）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
①如果从中先摸出一个小球，记下它的颜色后，将他放回袋子中摇匀，再摸出一个小球，记录下颜色，那么摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是__________；
②如果摸出的第一个小球之后不放回袋子中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是__________．
19．如图，在梯形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是_____（用向量表示）．
20．如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当，，时，求的长．
21．如图，在中，平分，与交于点，，．
（1）求的值；
（2）设，=，求向量（用向量、表示）．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用、表示；
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
23．已知向量关系式，试用向量、表示向量．
24．如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．
（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由；
（2）设a，，写出向量关于a、b的分解式．
25．如图，已知中，，且经过的重心点，，．
（1）试用向量、表示向量；
（2）求作向量（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．
26．如图，在平行四边形中，对角线AC、BD相交于点O． E为OC的中点，连接BE并延长，交边CD于点F，设，．
（1）填空：向量__________；
（2）填空：向量__________，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本题结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
27．如图，已知中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）设，．
①请直接写出向量关于、的分解式，________；
②连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）
28．如图，已知抛物线与轴于点，且对称轴是直线．
（1）求的值与该抛物线顶点的坐标﹔
（2）已知点的坐标为，设，用向量表示．
29．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，与相交于点，，．
（1）求的长；
（2）设，，那么 ， （用向量、表示）．
30．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，点M为边上一点，，联结交于点N．
（1）求的值；
（2）设，，如果，请用向量、表示向量．
31．如图，点、分别在的边、的延长线上，且，，为的中点．
（1）设，，试用的形式表示；（、为实数）
（2）作出在、上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）
32．如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结，设，，请用向量、表示向量．
三、填空题
33．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为______________．
34．已知梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，点M、N分别是腰AD、BC的中点，若，用表示，则（_____________________）
35．如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量____________（结果用、表示）．
36．已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为_____．
37．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果，，那么_______（用，表示）．
38．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为____．
39．如图，点G是△ABC的重心，设，那么向量用向量表示为 ______．
40．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为_____．
41．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是_____．
42．在△ABC中，点G为重心，点D为边BC的中点，设，那么用表示为_____．
43．如图，在中，，，点D为中点，将沿直线翻折后，点A落在点E处，设，，那么向量用向量，表示为________．
44．如图，在中，点在边上，， ，，设， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．
45．如图，在梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为______．
46．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，那么向量关于、的分解式为______．
47．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么____．（用向量、的式子表示）
48．计算：________．
49．如图，在梯形ABCD中， ，，设向量，，用向量，表示为___．
50．（2013·上海中考真题）计算：________．
专题16 平面向量的线性运算重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、都是非零向量，如果，，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．B．C．D．与方向相反
3．如图，已知点、分别在的边、上，，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A．B．∥C．D．与方向相同
6．以下说法错误的是（ ）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．如果（为非零向量），那么；
D．如果不是与非零向量同方向的单位向量，那么．
7．已知，下列说法中不正确的是（ ）
A．B．与方向相同C．D．
8．已知和都是非零向量，下列结论中不能确定的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
第II卷（非选择题）
二、解答题
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若＝，＝，用、表示；
（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）
11．如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当，，时，求的长．
12．如图，已知梯形ABCD，，，点E在边BC上，，请回答下列问题：
（1）写出所有与互为相反数的向量是 ．
（2）在图中求作与的和向量： ．
（3）在图中求作与的差向量： ．
（4） ．
13．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
14．如图，已知点E在行四边形ABCD的边CD上，设，，．图中的线段都成有向线段．
（1）用、、的式子表示：＝ ，＝ ．
（2）在图中求作（不写作法，保留作图痕迹）．
15．如图，的对角线相交于点． 点在对角线的延长线上，且．
（1）图中与相等的向量是______；
（2）计算：；
（3）在图中求作 ．（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量）
16．如图，点是菱形边的延长线上的一点，，设 ， ．
（1）试用向量 ， 表示下列向量： = ；（直接写出结论）
（2）如果 ，，那么 = ；（直接写出结论）
（3）在图上求作： ．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）．
17．如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB＝FD，设，，．
（1）试用向量、、表示下列向量：＝ ，＝ ，＝ ；
（2）求作：+-．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
18．（1）已知四边形OBCA是平行四边形，点D在OB上．
①填空：__________；___________；
②求作：．
（2）在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个．
①如果从中先摸出一个小球，记下它的颜色后，将他放回袋子中摇匀，再摸出一个小球，记录下颜色，那么摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是__________；
②如果摸出的第一个小球之后不放回袋子中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是__________．
19．如图，在梯形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是_____（用向量表示）．
20．如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当，，时，求的长．
21．如图，在中，平分，与交于点，，．
（1）求的值；
（2）设，=，求向量（用向量、表示）．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用、表示；
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
23．已知向量关系式，试用向量、表示向量．
24．如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点．
（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由；
（2）设a，，写出向量关于a、b的分解式．
25．如图，已知中，，且经过的重心点，，．
（1）试用向量、表示向量；
（2）求作向量（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．
26．如图，在平行四边形中，对角线AC、BD相交于点O． E为OC的中点，连接BE并延长，交边CD于点F，设，．
（1）填空：向量__________；
（2）填空：向量__________，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本题结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
27．如图，已知中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）设，．
①请直接写出向量关于、的分解式，________；
②连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）
28．如图，已知抛物线与轴于点，且对称轴是直线．
（1）求的值与该抛物线顶点的坐标﹔
（2）已知点的坐标为，设，用向量表示．
29．如图，已知点、、、在同一条直线上，，，与相交于点，，．
（1）求的长；
（2）设，，那么 ， （用向量、表示）．
30．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，点M为边上一点，，联结交于点N．
（1）求的值；
（2）设，，如果，请用向量、表示向量．
31．如图，点、分别在的边、的延长线上，且，，为的中点．
（1）设，，试用的形式表示；（、为实数）
（2）作出在、上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）
32．如图，、是的边上的点，、分别是边、上的点，且满足，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结，设，，请用向量、表示向量．
三、填空题
33．如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为______________．
34．已知梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB，点M、N分别是腰AD、BC的中点，若，用表示，则（_____________________）
35．如图1，AM是△ABC的中线，设向量，，那么向量____________（结果用、表示）．
36．已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为_____．
37．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果，，那么_______（用，表示）．
38．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为____．
39．如图，点G是△ABC的重心，设，那么向量用向量表示为 ______．
40．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为_____．
41．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是_____．
42．在△ABC中，点G为重心，点D为边BC的中点，设，那么用表示为_____．
43．如图，在中，，，点D为中点，将沿直线翻折后，点A落在点E处，设，，那么向量用向量，表示为________．
44．如图，在中，点在边上，， ，，设， ，那么________ ．（用向量，的式子表示）．
45．如图，在梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为______．
46．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，那么向量关于、的分解式为______．
47．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么____．（用向量、的式子表示）
48．计算：________．
49．如图，在梯形ABCD中， ，，设向量，，用向量，表示为___．
50．（2013·上海中考真题）计算：________．
参考答案
1．A
【来源】2021年上海市虹口区中考数学二模试题
分析：
利用三角形法则求出，再根据三角形中心的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，
∴＝，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平面向量计算的三角形法则及三角形重心的知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识．
2．C
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．
【详解】
解：A、因为，，所以，故本选项说法正确；
B、因为，，所以，故选项说法正确；
C、因为，，所以，故本选项说法错误；
D、因为，，所以与方向相反，故本选项说法正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A、B、D三项结论正确．
3．D
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
先根据相似三角形的判定与性质求出DE与BC的数量关系，再根据向量的定义即可求出的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴=．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
4．C
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
由、是两个单位向量的方向不确定，从而判定A与B错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C正确，选项D错误．
【详解】
解：∵、是两个单位向量，方向不一定相同，∴与不一定相等，选项A错误；
∵、是两个单位向量，方向不一定相同，∴与不一定相等，选项B错误；
∵，，∴，选项C正确，选项D错误；
故选：C
【点睛】
本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的．
5．D
【来源】上海市青浦区2020-2021学年初三上学期数学一模
分析：
根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答．
【详解】
解：∵，，且，
∴，即=﹣3，
∴，∥，与方向相反，
所以，选项A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．
6．A
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
根据单位向量、平行向量的定义解答．
【详解】
A、如果，那么，故该项错误，
B、如果，那么，故该项正确；
C、如果（为非零向量），那么，故该项正确；
D、如果不是与非零向量同方向的单位向量，那么，故该项正确；
故选：A．
【点睛】
此题考查平面向量，熟记定义是解题的关键．
7．A
【来源】上海市松江区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（一模）
分析：
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】
A.，故该选项错误，
B.∵，
∴与方向相同，故该选项正确，
C.∵，
∴，故该选项正确，
D.∵，
∴，故该选项正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
8．A
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、该等式只能表示，的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
B、由，可以判定 ，故本选项不符合要求；
C、由，可以判定，故本选项不符合题意；
D、由， ，可知，可以判定 ，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键．
9．C
【来源】上海市上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
分析：
根据平面向量的性质，一一判断即可．
【详解】
①，该选项正确；
②若，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；
③若、是实数，则，该选项正确；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，该选项正确；
⑤如果非零向量，可得、方向相同，则与所在的直线平行，该选项正确；
⑥如果与不平行，则与也不平行，该选项错误．
综上，①③④⑤正确，共个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量的概念与运算，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力．解题的关键是熟练掌握平面向量的性质．
10．（1）GE＝4；（2）；（3）即为所求，作图见解析
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题，即可得到答案．
（2）根据向量的性质，即可求出，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
（3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．则即为所求．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，

∵DE＝2AE，
∴
∵CE＝8，
∴
∴GE＝4．
经检验：符合题意．
（2）∵ ，DE∥BC，DE＝2AE，

∴
∴
∴；
（3）如图，延长CD到H，使得DH＝AG，连接AH．
∵AE∥BC，

∴
∴
∴
∴
∴即为所求．
【点睛】
此题考查的是平行线分线段成比例、平面向量的性质及运算、分式方程；掌握平面向量的性质及运算是解决此题的关键．
11．（1）；（2）．
【来源】上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题
分析：
（1）由G是重心，可得 ， ，因为，可得， 进而求出；
（2）根据G是重心，求出DG=3,因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=,由AD=DC,DC=3DE求出DE=,相加即可
【详解】
解：（1）∵，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴AD＝AC，
∵，，
∴，
∴
∴，
（2）∵G是三角形的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∵BG=6，
∴GD=3，
∵，，
∴AG=GD=3，
∴，
∵，
∴,
∴DE=,
∴AE=AD+DE=
【点睛】
本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．
12．（1）或；（2）；（3）；（4）
【来源】上海市杨浦区2019-2020学年八年级下学期期末数学试题
分析：
（1）根据相反向量的定义判断即可．
（2）利用三角形法则计算即可．
（3）利用三角形法则计算即可．
（4）利用三角形法则计算即可．
【详解】
解：（1），，
四边形是平行四边形，
，
与互为相反的向量是或．
故答案为或．
（2）由题意，，
故答案为．
（3）由题意，，
故答案为．
（4）由题意，
故答案为．
【点睛】
本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（1）；（2）见解析.
【来源】专题7.1 向量的线性运算-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
分析：
（1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例，可得成比例的关系式，进而可求出FG的长；
（2）根据比例关系和线性向量可代入可求解.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∵BE=EC，
∴，
∵FG∥BC，
∴，
∴FG=BC=．
（2）∵
∵BE∥AD，
∴AF：AE=DF：DB=2：3，
∴．
14．（1），；（2）见解析
【来源】上海市金山区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
分析：
（1）利用三角形法则求解即可．
（2）在射线CE上截取EF=BA,由，推出即为所求．
【详解】
解：（1），，
故答案为：，．
（2）在射线CE上截取EF=BA,
，
即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型．
15．（1），；（2）；（3）见解析
【来源】上海市徐汇区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
分析：
（1）证明，可得结论．
（2）连接，利用三角形法则求解即可．
（3）如图，延长到，使得，连接即为所求．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形，
，
，
，
与相等的向量为，．
故答案为：，．
（2）连接．
．
．
（3）如图，延长到，使得，连接即为所求．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型．
16．（1）；（2）；（3）见解析
【来源】上海市松江区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
分析：
（1）利用菱形的性质以及三角形法则求解即可．
（2）连接交于点．解直角三角形求出，可得结论．
（3）如图，延长到，使得，则，，利用三角形法则作出图形即可．
【详解】
解：（1）四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
（2）连接交于点．
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（3）如图，延长到，使得，连接，则四边形是平行四边形，，，
，
即为所求．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，平面向量等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
17．（1），，；（2）见解析
【来源】上海市静安区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
分析：
（1）首先证明四边形是平行四边形，推出，，再分别利用三角形法则求解即可．
（2）构造平行四边形，连接即可．
【详解】
解：（1）如图，设交于点．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）如图，作，且，连接，，则即为所求．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质和判定，三角形法则等知识，解题的关键是学会利用三角形法则解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）①，；②见解析；（2）①；②
【来源】上海市崇明区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
分析：
（1）①利用三角形法则求解即可．
②根据，可得结论．
（2）①用树状图列举出所有情况，看两次是“一红一黄”情况占总情况的多少即可；
②根据摸出第一个小球之后不放回袋中，用树状图列举出所有情况，看两次是“一红一黄”情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形，
，，，．
①填空：，，
故答案为：，．
②，
即为所求．
（2）①画树状图如图：
由树形图可得：共有16个等可能的结果，其中恰好是“一红一黄”的结果有4个，
∴恰好是“一红一黄”的概率为，
故答案为：；
②画树状图如图：
由树形图可得：共有12种等可能的结果，其中恰好“一红一黄”的结果有4种，
∴恰好是“一红一黄”的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
19．
【来源】2021年上海市徐汇区中考数学二模试题
分析：
过点作于．想办法求出，，可得结论．
【详解】
解：过点作于．
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形和向量的运算等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（1）；（2）.
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
（1）由G是重心，可得， ， 因为，可得， 进而求出；
（2）根据G是重心，求出DG=3，因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．
【详解】
解：（1）∵，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴AD＝AC，
∵，，
∴，
∴
∴，
．
（2）∵G是三角形的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∵BG=6，
∴GD=3，
∵，，
∴AG=GD=3，
∴，
∵，
∴，
∴DE=，
∴AE=AD+DE=
【点睛】
本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．
21．（1）BF:DF=2：3，（2）．
【来源】上海市徐汇区2020-2021学年第一学期学习能力诊断卷九年级数学试卷（一模）
分析：
（1）先证∆BFE∼∆DFA，得出 ，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到再结合平行四边形的性质即可求得答案．
（2）利用第（1）小问的结论，得到DF与DB的数量关系，进而得到与的关系，根据向量=即可求解．
【详解】
（1）在中，
∵BC∥AD
∴∠BEA=∠DAE，
又∵∠BFE=∠DFA，
∴∆BFE∼∆DFA，
∴ ，
又∵平分，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴
又∵，．
∴
∴BF:DF=2：3
（2）∵BF:DF=2：3
∴DF=
∴=
∵BC∥ AD， BC=AD，，=，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明∆BFE∼∆DFA并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．
22．（1）；（2）见解析，
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
（1）首先证明，求出即可求解；
（2）证明，求出即可解决问题．
【详解】
解（1）∵
∴
∴
∴；
（2）∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴
如图所示，在、上的分向量分别为和．
【点睛】
本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．
23．
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）点N和点A、B所构成的三角形与相似，理由见解析；（2）
【来源】上海市黄浦区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题
分析：
（1）设网格中小正方形的边长为a，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；
（2）延长AB至E，使BE=AB，根据向量加法的三角形法则计算即可．
【详解】
解：（1）点N和点A、B所构成的三角形与相似，理由如下：
设网格中小正方形的边长为a，
则BC=a，AB=， AC=，其中BC＜AB＜AC
如下图所示，连接BM、AM
则BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM
∴，
∴≠
∴和不相似；
如下图所示，连接AN
则BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN
∴，，，
∴＝=
∴∽；
如下图所示，连接BP
则BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP
∴，
∴≠
∴和不相似；
如下图所示，连接BQ、AQ
则BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ
∴，
∴≠
∴和不相似；
综上：点N和点A、B所构成的三角形与相似；
（2）延长AB至E，使BE=AB，根据正方形的性质可知，点E正好落在格点上，如下图所示
∴，
∴=＋
=．
【点睛】
此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．
25．（1）；（2）见解析
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
（1）根据重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=BC，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；
（2）取AD的中点J，延长CB到I，使BI=DE，以BJ、BI为邻边作平行四边形BJKI，边接BK，则即是所求作的向量．
【详解】
解：（1）如图，连接AG并延长交BC于点F，则GF=AG，
，
，
，
， ，

（2），
，
作AD的中点J，
，
延长CB到I，使得BI=DE，
，
以BJ、BI为邻边作平行四边形BJKI，则，
∴即是所求的求作的向量
【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键．
26．（1）；（2）；作图见解析
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
（1）先求出AE占AC得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；
（2）先根据相似三角形的性质得到CF占CD得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则以及平行四边形法则计算并画图即可．
【详解】
解：（1）∵平行四边形中
∴AO=OC=AC
∵OE=EC=OC=AC
∴AE=AO+OC=AC+AC=AC
∵
∴；
故答案为；
（2）∵EC=AC,AE=AC
∴
∵平行四边形
∴AB//CD
∴△FCE∽△BAE
∴,即FC=
∵AB//FC
∴,即
∴
故答案为：．
【点睛】
本题主要考査了平面向量的三角形法则、平行四边形法则等知识，灵活运用向量运算的运算法则成为解答本题的关键．
27．（1）；（2）①；②作图见解析．
【来源】上海市崇明区2020-2021学年九年级第一学期教学质量调研数学测试卷（一模）
分析：
（1）先求出AB，再据平行线分线段成比例，写出关于AE、AC、AD、AB的等比式，问题可解．
（2）①以AD，DE为边作平行四边形ADEF，，先再求得，据问题可解；②以BD、DE为边作平行四边形即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）①如下图
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
又，
∴
∵四边形ADEF是平行四边形
∴
∴，
②如下图，和是分别在、方向上的分向量．
28．（1）a=2，顶点；（2）
【来源】上海市奉贤区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（一模）
分析：
（1）根据对称轴方程可求出a值，即可得出抛物线的解析式，化成二次函数的顶点式即可得顶点坐标；
（2）根据二次函数解析式可得出A点坐标，根据B、P两点坐标可得PB//OA，PB=2OA，可用a表示出PB，进而根据可表示出OB．
【详解】
（1）∵对称轴是直线，
∴，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为=，
∴顶点P坐标为（1，4）．
（2）∵，
∴当x=0时，y=3，
∴A（0，3），
∴OA=3，
∵P（1，4），B（1，-2），
∴PB//OA，PB=6，
∴PB=2OA，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数的性质及平行向量的计算，熟练掌握二次函数的性质及向量的运算法则是解题关键．
29．（1）；（2），
【来源】专题7.1 向量的线性运算-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
分析：
（1）先证△CEG∽△CBA，再证△ECG∽△EFD，然后求解即可；
（2）先证，，再证，然后再由得出结论即可．
【详解】
解：（1）∵AB∥GE，
∴∠B=∠DEC，
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEG∽△CBA，
∴，
∴CE=2BE=4，
同理△ECG∽△EFD，
∴，
∴CE=2FC=4，
∴FC=2，
∴BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；
（2），由（1）可知BE=CF=EC，
∴，，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．
30．（1）；（2）．
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
（1）由平行线的性质得到△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，可得，即，根据可求出的值；
（2）根据可得，所以=，根据=，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴∠AND=∠B，∠AND=∠AMB，∠ANE=∠AMC，∠AEN=∠C，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴=；
（2）∵，
∴，
∴==，
∵=，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．
31．（1），；（2）作图见详解 ．
【来源】上海市上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
分析：
（1）由DE∥BC得到△EDA∽△CBA，由AE=AC，得到ED=BC，所以，根据向量加减法法则即可得到，；
（2）作DF∥AB交BC于G，由平行线分线段成比例性质可知，在，上的分向量
【详解】
（1）∵F为AC的中点，，∴，
∴
∵DE∥BC
∴△EDA∽△CBA
∵AE=AC，ED=BC
（2）作图如下：作GF∥AB交BC于G，
∵F为AC中点，
∴ G为BC中点，FG=AB，
∴在上的分向量，
在上的分向量
【点睛】
本题考查平面向量与作图问题，掌握向量的运算的法则，会用矢量的加法进行求解，掌握向量作图的方法是解题关键
32．（1）；（2）
【来源】上海市民办华二浦东实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
分析：
（1）由AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易得，则可判定FG∥AB，即可证明平行四边形；
（2）由DF∥BC，FG∥AB，根据（1）中线段的关系及向量的解法即可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵，
∴；
∵，，
∴，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，，
∴，，
∴=，
即：；
故：=．
【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
33．
【来源】专题7.1 向量的线性运算-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
分析：
过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解．
【详解】
解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H
四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形
，
若，
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量、梯形、平行四边形与相似三角形相结合，关键在于作平行线表示出BH，熟记向量的平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．
34．
【来源】上海市嘉定区2018-2019学年九年级上期中数学试题
分析：
先画出示意图，然后可得MN是梯形ABCD的中位线，继而可用若表示出．
【详解】
解：示意图如下：
∵CD=2AB，，
∴，
∵点M、N分别是腰AD、BC的中点，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识及梯形的知识，解答本题的关键是判断出MN是梯形ABCD的中位线，注意熟练掌握梯形中位线的性质．
35．+．
【来源】沪教版八年级数学下第二十二章《四边形》全章复习巩固练习
分析：
首先由AM是△ABC的中线，即可求得的长，又由=+，即可求得答案．
【详解】
解：∵AM是△ABC的中线，，
∴==
∵，
∴=+=+．
故答案为+．
36．
【来源】2021年上海市杨浦区中考数学二模试题
分析：
如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH．求出，证明
即可解决问题．
【详解】
如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH．

∵AE=EH，BE=EC，
∴四边形ABHC是平行四边形，
∴AC=BH，AC∥BH，
∵，
∵G是重心，
∴，
∵AE=EH，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
37．=2-
【来源】2013届上海市松江区九年级下学期3月月考数学试卷
解析：
试题分析：解：由题可知；=- ,=-.又D是BC的中点，∴=∴-=-∴=2-．
考点：向量的定义及向量的加减运算法则．
点评：本题属于高中范畴，在课文必修4中主要考察学生对向量的三角形，平行四边形加减运算法则的领会程度，对于初中生来说可不必做，高中生做起来很容易的，属于基础题．
38．．
【来源】2021年上海市浦东新区中考数学5月调研试题
分析：
利用平面向量的线性运算法则结合图形计算即可．
【详解】
如图，连接AG交BC于T．
∵G是△ABC的重心，
∴BT＝CT，AG＝2GT，
∴，
∴，
∵GD∥AB，
∴，
∴BD＝BT，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算．三角形的中线是三角形三条边上的中线的交点，这是解题的关键．
39．
【来源】2021年上海市青浦区中考数学二模试题
分析：
利用三角形法则求出，再利用重心的性质求出，利用三角形法则求出，再由DC＝BD可得结论．
【详解】
解：∵＝＋，
∴＝＋，
∵G是△ABC的重心，
∴GD＝AG，
∴＝＋，
∴，
∴，
∵DC＝BD，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、三角形法则、三角形的重心，熟练掌握相关基本知识是解答的关键．
40．
【来源】2021年上海市金山区九年级第二学期期中质量监测（二模）数学试题
分析：
根据中线的性质可得OA＝2OD，根据平面向量三角形法则可求出，进而求出，根据平面向量三角形法则即可得答案．
【详解】
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴OA＝2OD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形的重心的性质及平面向量的运算，熟练掌握重心的性质及平面向量的运算法则是解题关键．
41．
【来源】2021年上海市普陀区中考数学二模试题
分析：
根据三角形中位线定理和已知条件求得EF=BC；然后在△AEF中，利用三角形法则得到；最后易得．
【详解】
解：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且EF=BC．
∵，
∴．
又∵EF＝DE，
∴．
∵，
∴．
∵点E是AC的中点，
∴．
故答案是：．
．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
42．
【来源】2021年上海市崇明区中考数学二模试题
分析：
利用三角形法则求出，再利用三角形重心的性质求出即可．
【详解】
解：如图，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵G是重心，
∴GD＝AD，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了向量和三角形的重心等的有关知识，解决本题的关键是熟记向量的运算公式和三角形重心的性质，考查了学生的计算能力．
43．
【来源】2021年上海市闵行区中考数学二模试题
分析：
在中，点D为中点，可以推出CD＝AB＝AD＝BD，由等边三角形判定推出△ACD为等边三角形，由翻折的性质可△ECD为等边三角形，∠EDC＝∠ACD＝60°，DE＝AC且DE//AC，即，根据向量的加法求出即可．
【详解】
解：将沿直线翻折后，点A落在点E处，如图，
在中，点D为中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∵，
∴△ACD为等边三角形，
∵△ECD由△ACD沿CD翻折得，
∴△ECD为等边三角形，
∴DE＝DC＝AC，∠EDC＝∠ACD＝60°
∴DE//AC，
∴
∵设，，
∴，即
∴
即＝，
故答案为：
【点睛】
本题考查了向量的加法运算，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，翻折的性质，找出是解题的关键．
44．
【来源】2021年上海市静安区中考数学二模试题
分析：
根据∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，可证，则有，可得AB＝3，BD＝1，可求得，然后根据 求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴，
∴，
∴
∴AB＝3，
∴BD＝1，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
45．
【来源】上海市金山区2020-2021学年初三上学期数学一模
分析：
根据题意得，再求出，由即可求出结果．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算方法．
46．
【来源】上海市浦东新区2020-2021学年初三上学期数学一模
分析：
根据计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键．
47．
【来源】上海市静安区2020-2021学年初三上学期数学一模
分析：
先证明△AOD∽△COB，推出=，求出，由三角形法则得出即可根据求出答案．
【详解】
∵OB=2OD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
∴，
∵,
∴=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用．
48．
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
根据向量的线性运算以及实数与向量相乘的运算法则计算即可．
【详解】
解：
=
=．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算以及实数与向量相乘，掌握相关运算法则成为解答本题的关键．
49．
【来源】专题13 平面向量的线性运算（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
分析：
由说明向量与向量是共线向量，又是同向向量，由，说明向量与向量是2倍关系，即，再利用和向量求向量即可
【详解】
∵ ，，
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查方向相同的共线向量与向量的倍分关系，以及和向量问题，掌握方向相同的共线向量与向量的倍分关系，以及和向量，利用方向相同的共线向量进行线性计算，会利用平行四边形法则求和向量是解题关键
50．
【来源】第七章 相似三角形（7）（向量的概念和线性运算）-备战2021年中考数学考点 核心考点清单（上海专用）
分析：
先去括号，然后进行向量的加减即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．