沪教版九年级上册数学专题训练专题13相似三角形的判定与性质综合重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题13相似三角形的判定与性质综合重难点专练(原卷版+解析)，共159页。试卷主要包含了解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cs∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．
2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．
3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，csB＝，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．
4．已知在中，，，，点是边上一点，过点作，垂足为点，点是边上一点，联结、，以、为邻边作平行四边形．
（1）如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值；
（2）如图2，如果，点在内，求线段的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求线段的长．
5．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值；
（3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标．
6．已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D．
（1）如图1，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）；
（2）如图2，当m＝90点C是的中点时，联结AB，求的值；
（3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长．
7．如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．
（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
9．如果，已知半圆的直径，点在线段上，半圆与半圆相切于点，点在半圆上，，的延长线与半圆相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）设半圆的半径为，线段的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点在半圆上时，求半圆的半径．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
11．如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结，当时，求x的值；
（3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点处，连接、BD．
（1）如图1，求证：∠DE＝2∠ABE；
（2）如图2，若点恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；
（3）若AE＝2，求．
（4）点E在AD边上运动的过程中，∠CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．
（1）当时，求的长．
（2）当M在线段上时，若，求的长．
（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．
②若，直接写出与的面积比_______．
14．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，．
已知：如图2，是⊙的一条弦，点在⊙上（与、不重合），联结交射线于点，联结，⊙的半径为，．
（1）求弦的长．
（2）当点在线段上时，若与相似，求的正切值．
（3）当时，求点与点之间的距离（直接写出答案）．
15．如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
16．在四边形中，点E为边上的一点，点F为对角线上的一点，且．
（1）若四边形为正方形．
①如图1，请直接写出_________；
②将绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系．
17．如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．
（1）求的值：
（2）当时，求的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．
18．二次函数（）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；
（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当AMO与ABP相似时，求点M的坐标．
19．已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．
21．在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；
（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．
22．如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）
（1）求边BC的长；
（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；
（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．
23．已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，ADBC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．
（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．
24．如图，在平面直角坐标系中，点和点，点C在x轴上（不与点A重合），
（1）当与相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；
（2）当与全等时，二次函数的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求出点C的坐标；
（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，，求点P的坐标及的度数．
25．如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）求sin∠BAC的值．
（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．
（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
26．如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点，
（1）求和的长；
（2）当时，求的长；
（3）联结，当和相似时，求的长．
27．如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．
（1）当点是中点时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当与相似时，求线段的长．
28．如图，中，、分别为上两点，满足，为的中点，且．
（1）求证：；
（2）当和相似的时候，求证：
29．在等腰直三角形ABC中，，已知，，M为边BC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，b），求的值；
（3）探究：在x轴上是否存在点P，使以O、P、M点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．
30．如图，△ABC中，AB=AC，BC=10，锐角∠A的正弦值为
（1）求腰AB的长，
（2）如果正方形DEFG内接于△ABC，且EF∥BC，求正方形DEFG的边长
31．如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
32．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．
（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．
33．（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求的值；
（2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值；
（3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长．
34．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
35．如图1，在中，点在边上（点与点不重合），以点为圆心，为半径作⊙交边于另一点，，交边于点．
（1）求证：；
（2）若，求关于的函数关系式并写出定义域；
（3）延长交的延长线于点，联结，若与相似，求线段的长．
36．下表中给出了变量x与ax2，ax2+bx+c之间的部分对应值(表格中的符号“…”表示该项数据已经丢失)
（1）写出这条抛物线的开口方向，顶点D的坐标；并说明它的变化情况；
（2）抛物线的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上的一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求点B的坐标：
（3）在（2）的条件下，设线段BD交x轴于点C，试写出∠BAD与∠DCO的数量关系，并说明理由．
37．如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
38．在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．
（1）如图1，当点是边中点时，求证：四边形是矩形；
（2）如图2，当时，求值；
（3）当，且四边形是矩形时（点不与中点重合），求的长．
二、填空题
39．如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
40．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为_____．
41．如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．
42．在中，，，．点为线段的中点，点在边上，连结，沿直线将折叠得到．连接，当时，则线段的长为________．
43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝_______．
44．如图，在Rt中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点E，F分别在边BC，AC上，沿所在的直线折叠∠C，使点的对应点恰好落在边上，若和相似，则AD的长为______．
45．如图，在直角坐标系中，将绕原点旋转到，其中、，点在轴正半轴上，则点的坐标为_______．
46．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．
47．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝90°，ABC的边AB，AC，BC的长是三个连续偶数，E，F分别是边AB，BC上的动点，且EF⊥BC，将BEF沿着EF折叠得到PEF，连接AP，DP．若APD为直角三角形时，BF的长为_____．
48．如图，在中，，D是的中点，是直线上一点，把沿直线翻折后，点落在点处，当时，线段的长________．
49．如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P为AB上任意一点(可以与A、B重合)，延长PD到F，使得DF=PD，以PF、PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值____．
50．如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（3，），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为____________．
x
-1
0
1
ax²
…
…
1
ax²+ bx + c
7
2
…
专题13 相似三角形的判定与性质综合重难点专练
一、解答题
1．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cs∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．
2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．
3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，csB＝，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．
4．已知在中，，，，点是边上一点，过点作，垂足为点，点是边上一点，联结、，以、为邻边作平行四边形．
（1）如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值；
（2）如图2，如果，点在内，求线段的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求线段的长．
5．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值；
（3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标．
6．已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D．
（1）如图1，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）；
（2）如图2，当m＝90点C是的中点时，联结AB，求的值；
（3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长．
7．如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．
（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
9．如果，已知半圆的直径，点在线段上，半圆与半圆相切于点，点在半圆上，，的延长线与半圆相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）设半圆的半径为，线段的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点在半圆上时，求半圆的半径．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
11．如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结，当时，求x的值；
（3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点处，连接、BD．
（1）如图1，求证：∠DE＝2∠ABE；
（2）如图2，若点恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；
（3）若AE＝2，求．
（4）点E在AD边上运动的过程中，∠CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知正方形，点M为射线上的动点，射线交于E交射线于F，过点C作交于点Q．
（1）当时，求的长．
（2）当M在线段上时，若，求的长．
（3）①当时，作点D关于的对称点N，求的值．
②若，直接写出与的面积比_______．
14．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，．
已知：如图2，是⊙的一条弦，点在⊙上（与、不重合），联结交射线于点，联结，⊙的半径为，．
（1）求弦的长．
（2）当点在线段上时，若与相似，求的正切值．
（3）当时，求点与点之间的距离（直接写出答案）．
15．如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
16．在四边形中，点E为边上的一点，点F为对角线上的一点，且．
（1）若四边形为正方形．
①如图1，请直接写出_________；
②将绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系．
17．如图，四边形中，，，，点M、N是边、上的动点，且，、与对角线分别交于点P、Q．
（1）求的值：
（2）当时，求的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置．
18．二次函数（）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图像的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；
（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当AMO与ABP相似时，求点M的坐标．
19．已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．
21．在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；
（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．
22．如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）
（1）求边BC的长；
（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长；
（3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长．
23．已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，ADBC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．
（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，连接AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．
24．如图，在平面直角坐标系中，点和点，点C在x轴上（不与点A重合），
（1）当与相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；
（2）当与全等时，二次函数的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求出点C的坐标；
（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，，求点P的坐标及的度数．
25．如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）求sin∠BAC的值．
（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．
（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
26．如图，在中，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点，
（1）求和的长；
（2）当时，求的长；
（3）联结，当和相似时，求的长．
27．如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．
（1）当点是中点时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当与相似时，求线段的长．
28．如图，中，、分别为上两点，满足，为的中点，且．
（1）求证：；
（2）当和相似的时候，求证：
29．在等腰直三角形ABC中，，已知，，M为边BC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）设点M的坐标为（a，b），求的值；
（3）探究：在x轴上是否存在点P，使以O、P、M点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．
30．如图，△ABC中，AB=AC，BC=10，锐角∠A的正弦值为
（1）求腰AB的长，
（2）如果正方形DEFG内接于△ABC，且EF∥BC，求正方形DEFG的边长
31．如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
32．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．
（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．
33．（1）如图，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求的值；
（2）如图，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝m，BC＝n，试求的值；
（3）如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接写出EG、EF 的长．
34．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；
（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．
35．如图1，在中，点在边上（点与点不重合），以点为圆心，为半径作⊙交边于另一点，，交边于点．
（1）求证：；
（2）若，求关于的函数关系式并写出定义域；
（3）延长交的延长线于点，联结，若与相似，求线段的长．
36．下表中给出了变量x与ax2，ax2+bx+c之间的部分对应值(表格中的符号“…”表示该项数据已经丢失)
（1）写出这条抛物线的开口方向，顶点D的坐标；并说明它的变化情况；
（2）抛物线的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上的一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求点B的坐标：
（3）在（2）的条件下，设线段BD交x轴于点C，试写出∠BAD与∠DCO的数量关系，并说明理由．
37．如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
38．在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．
（1）如图1，当点是边中点时，求证：四边形是矩形；
（2）如图2，当时，求值；
（3）当，且四边形是矩形时（点不与中点重合），求的长．
二、填空题
39．如图，在中，是边上的中线，，．将沿直线翻折，点落在平面上的处，联结交于点，那么的值为______．
40．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为_____．
41．如图，正方形的边长为1，点E为边上的一动点（不与B，C重合），过点E作，交于F．则线段长度的最大值为__________．
42．在中，，，．点为线段的中点，点在边上，连结，沿直线将折叠得到．连接，当时，则线段的长为________．
43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝_______．
44．如图，在Rt中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点E，F分别在边BC，AC上，沿所在的直线折叠∠C，使点的对应点恰好落在边上，若和相似，则AD的长为______．
45．如图，在直角坐标系中，将绕原点旋转到，其中、，点在轴正半轴上，则点的坐标为_______．
46．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．
47．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝90°，ABC的边AB，AC，BC的长是三个连续偶数，E，F分别是边AB，BC上的动点，且EF⊥BC，将BEF沿着EF折叠得到PEF，连接AP，DP．若APD为直角三角形时，BF的长为_____．
48．如图，在中，，D是的中点，是直线上一点，把沿直线翻折后，点落在点处，当时，线段的长________．
49．如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P为AB上任意一点(可以与A、B重合)，延长PD到F，使得DF=PD，以PF、PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值____．
50．如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（3，），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为____________．
x
-1
0
1
ax²
…
…
1
ax²+ bx + c
7
2
…
参考答案
1．（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．
分析：
（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；
（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，连接PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵BGAP，
∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，
∴△FBG∽△FAP，
∴，
∵GEPC，
∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，
△FEG∽△FCP，
∴，
∴，
∵AP＝PC，
∴BG＝EG；
（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，
∴∠AQK=∠QKP=90°，
∵DEAP，
∴AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，
∴四边形APKG为矩形，
∴PK＝AQ，AP＝QK，
∵cs∠BAP＝cs∠ABQ＝，AB＝5，
∴BQ＝AB•cs∠ABQ＝×5＝3，
∴AQ＝，
∴PK＝4，
∵AP＝x
∴PE=AP= x，
∴KE＝，
又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，
∴BE＝BK+EG＝，
∴y＝，
当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，
∵AQ⊥AP，QBAH，
∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，
∴四边形QAHB为矩形，
∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，
在Rt△BHP中，由勾股定理
即
解得,
∴AP＝，
∴定义域是x＞；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，
当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，
∴BF＝BE，
∴∠BFE=∠FEB，
∵BEAC，
∴∠ACF=∠BEF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴y+5＝2x，
∵y＝，
∴2x﹣5＝，
整理得,
两边平方得,
整理得,
∴x＝5，
∴BE＝5，
∴BG=EG＝，
∵圆O的半径为，
在Rt△BOG中，BO=，
根据勾股定理
∴OG＝，
∴EK=
∴PV＝KG=3-GE=3-=，
当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理
∴O2P＝，
当圆心O在BE上方时，
∴OP＝．
综合以上可得OP的长为或．
【点睛】
本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．
2．（1）点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；（2）y＝﹣x2﹣2x﹣2；（3）m＝．
分析：
（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，可得A（0，-2），过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，证Rt△BMA∽Rt△ANP，结合tan∠APB＝2，可得BM和AM的长，即可求得B点坐标；
（2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2），设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，将A点代入，即可求得抛物线的表达式；
（3）利用待定系数法求直线AC的表达式，利用四边形ACBP是梯形，AC∥BP，求直线BP的表达式，代入B点和P点的坐标求解m．
【详解】
（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，
∴A（0，-2）
过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，
∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，
∴∠BAM＝∠APN，
∴Rt△BMA∽Rt△ANP，
∵tan∠APB＝2，
∴两个三角形相似比为2，
则BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2OA＝4，
则点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；
（2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2）
设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，
将点A的坐标代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x+4）2+2＝x2﹣2x﹣2；
（3）如上图，点C的坐标为（﹣4，0）
设直线AC的表达式为y＝sx+t，则，解得
故直线AC的表达式为y＝x﹣2，
∵四边形ACBP是梯形，
故直线AC∥BP，
故设直线BP的表达式为y＝x+p，
将点P的坐标代入上式得：0＝m+p，
将点B的坐标代入上式得：2m﹣2＝，
解得m＝．
【点睛】
本题是二次函数与几何综合．涉及相似三角形的性质和证明、三角函数、梯形的性质以及一次函数等相关知识．是一道综合性较强的大题．
3．（1）；（2）0≤CD；（3）
分析：
（1）由锐角三角函数的定义求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由平行线分线段成比例定理得出，求出CF，则可得出答案；
（2）当点G恰好在AB上时，解直角三角形求出CD的长，则可得出答案；
（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，证明△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝90°，过点E作EH⊥AC于点H，由梯形的中位线定理得出EH＋CD＝2OF＝DE，解方程[10﹣（8﹣x）]＋x＝（8﹣x）可得出答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，csB＝＝，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，
csB＝，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝，
∵四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∵点G在BC上，
∴EF∥BC，
∴，
∴，
∴CF＝，
在Rt△CFD中，cs；
（2）∵四边形EFDG是平行四边形，
∴DF∥EG，
当点G恰好在AB上时，
∴DF∥AB，
∴，
设CD＝x，则，
∴CF＝，
在Rt△BDE中，csB＝，
又CD＝x，则BD＝8﹣x，
∴BE＝（8﹣x），
∵AE＝AF，
∴，
∴x＝，
当点G在△ABC内时，0≤CD；
（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），
∴AE＝10﹣（8﹣x），
设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，

∵平行四边形EFDG是矩形，
∴OF＝OE＝DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点E作EH⊥AC于点H，
又∠C＝90°，
∴EH∥HF∥CB，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH＋CD＝2OF＝DE，
∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，
∴[10﹣（8﹣x）]＋x＝（8﹣x），
∴x＝，
∴CD＝．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
4．（1）；（2）0≤CD＜；（3）
分析：
（1）由锐角三角函数的定义求出，由勾股定理求出，由平行线分线段成比例定理得出，求出，则可得出答案；
（2）当点恰好在上时，解直角三角形求出的长，则可得出答案；
（3）设，则，设矩形的对角线与相交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由梯形的中位线定理得出，解方程可得出答案．
【详解】
解：（1）在中，，
又，
，
，
，
在中，
，
又，，
，
四边形是平行四边形，
，
点在上，
，
，
，
，
在中，；
（2）四边形是平行四边形，
，
当点恰好在上时，
，
，
设，则，
，
在中，，
又，则，
，
，
，
，
当点在内时，；
（3）设，则，
，
设矩形的对角线与相交于点，连接，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
，
过点作于点，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．（1）抛物线解析式为；（2）；（3）点
分析：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；
（3）通过证明，可证，即可求解．
【详解】
解：（1）与轴交于点，与轴交于点．
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2），
顶点坐标为，，
与轴交于点，点，
，
，，
点，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
；
（3）如图，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
，，
，，
点，，点，，
，，
，
，
点．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．（1）；（2）6＋4；（3）
分析：
（1）C在AB弧线上，所以∠OBC为锐角，∠CBD为钝角，则△BCD是等腰三角形，仅有BC＝BD这一种情况，扇形AOB中，OA＝OC＝OB，BC＝BD，由边相等得对应角相等，三角形内角和为180°，可得∠D＝；
（2）过D作DM⊥AB的延长线于M，连接OC，C为中点，可知AC＝BC，∠AOC＝∠COB＝45°，AO＝CO＝BO，边相等得对应角相等，即可求得∠ACB＝135°，∠BCD＝45°，∠CBO为△BCD的外角，可得∠ABD＝∠D，∠CAB＝∠CBA，由角相等可推出AB＝BD，在Rt△AOB中，由勾股定理知BM＝2，在等腰直角△AOB中AN＝AB＝，由CN⊥AB，DM⊥AB′，得出△ANC∽△AMD，面积比等于相似比的平方可得结果；
（3）E为弧AEC与OB切点，知A、E、C在半径为2的另一个圆上，在Rt△O′EO中，由勾股定理知OO′＝，得四边形AOCO′是菱形，由菱形对角线性质，可以推出△O′OE∽△DOP，得OP＝，在Rt△APO′中，由勾股定理得AP＝，即可求出AD的长．
【详解】
解：（1）C在AB弧线上，
∴∠OBC为锐角，
∴∠CBD为钝角，
则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况，
∴∠D＝∠BCD，
连接OC则OA＝OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCD＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠D＋∠BCD＝2∠D，
在△OCD中，∠COD＋2∠D＋2∠D＝180°，
∴∠AOC＝m°﹣∠COD＝m°＋4∠D﹣180°，
∴∠AOC＝×（180°﹣∠AOC）
＝180°﹣﹣2∠D，
在△AOD中，m°＋∠OAC＋∠D＝180°，
∴180°＋﹣∠D＝180°，
∴∠D＝；

（2）过D作DM⊥AB延长线于M，连接OC，
∵C为 中点，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC且AO＝CO＝BO，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO＋∠BCO＝×（360°﹣90°）＝135°，
∴∠BCD＝45°，
∴45°＋∠ODA＝∠ABC＋∠ABD＝45°＋∠ABC，
∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，
∴BD＝AB＝2（勾股定理），
∴BM＝DM＝2（∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM），
∴AM＝AB＋BM＝2＋2，
∴AN＝AB＝，
又∵CN⊥AB，DM⊥AB，
∴△ANC∽△AMD，
∴，
∴＝＝6＋4；

（3）图2如下：
∵E为弧线AEC与OB切点，
∴A、E、C在半径为2的另一个圆上，
∵O′E＝2，OE＝1，
∴OO′＝（勾股定理），
又∵OA＝OC＝2，O′A＝O′C＝2，
∴四边形AOCO′是菱形，
∴AC⊥OO′且AC、OO′互相平分，
且∠O′OE共角，
∴△O′OE∽△DOP，
∴＝且OP＝OO′＝，
∴OP＝，
∴AP＝＝（Rt△APO′的勾股定理）
∴AD＝AP＋PD＝．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键．
7．（1）；（2）y与x的函数关系式为，函数定义域为：x＞0；（3）
分析：
（1）延长FE交BC的延长线于点M，设正方形ABCD的边长为k，根据 即可得到答案；
（2）延长FE交BC的延长线于M，根据tan∠ADB＝tan∠DEF即 可以得到答案；
（3）设⊙F的半径为rcm，根据⊙A与⊙B的位置关系以及⊙F与⊙A、⊙B的位置关系，可以用含r的式子表示出AF和BF的长度，再根据勾股定理可以求得r的值，最后根据tan∠ADB＝tan∠DEF建立方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，延长FE交BC的延长线于点M，
设正方形ABCD的边长为k，
则AB＝BC＝CD＝AD＝k，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝ k，
∵正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADC，
∴∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴DF＝DE＝k，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴ ；
（2）如图，延长FE交BC的延长线于M，
设DF＝a，则CM＝a，
∵， ，
∴BM＝5a，BC＝4a，
∴AF＝x＝3a，
∴a＝ ，
∴DF＝，
∵AB＝y，
∴DE＝ ，
∵∠ADC＝90°，EF⊥BD，
∴∠ADB＝∠DEF，
∴tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴
∴
∴
∵x＞0，y＞0，
∴y与x的函数关系式为，
函数定义域为：x＞0；
（3）设⊙F的半径为rcm，则根据题意得：
⊙B的半径为1cm，
AF＝ cm，BF＝cm，
∵矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2，
∴r＝6，
即⊙F的半径为6cm，
∴AF＝3cm，
∵tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴
∴AD2﹣3AD﹣8＝0，
∴ 或（舍去），
∴
【点睛】
本题考查锐角三角函数、相似三角形、圆与圆的位置关系，利用锐角三角函数找比例线段是常用的方法，发现相等的角证明三角形相似是难点．利用相似模型添加辅助线是关键．
8．（1）y＝x2﹣6x+5，顶点C的坐标为（3，﹣4）；（2）；（3）y＝x2﹣6x+或y＝x2﹣6x+11．
分析：
（1）将代入可得表达式，配方即得顶点坐标；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）将代入得：
，解得，
∴抛物线表达式为：，
∵，
∴顶点C的坐标为；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，如图所示：
抛物线与y轴交于，
设BC解析式为，
将，代入得：
，解得，
∴BC解析式为，
令，得，
∴F，
∴，
∵，，
∴，，∠BAO＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设，
则平移后的新抛物线的表达式为，
且，
，，
，，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，但AC对应边不能是AC，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图所示：
，即，
解得：，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式为：，
②若△ABC∽△DAC，
则，即，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图所示：
，即，
解得，
∴，
∴平移后的新抛物线的表达式；
综上所述，△DCA与△ABC相似，平移后的新抛物线的表达式为或．
【点睛】
本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．
9．（1）见解析；（2）（）；（3）
分析：
（1）连接，推出，得到，以及，从而根据相似三角形的性质推出结论即可；
（2）在Rt△OCP和Rt△OAC中，分别利用勾股定理表示出AC的长度，再由平行线分线段成比例定理求出表达式，并结合题意确定出定义域即可；
（3）联结，作于点，根据条件推出得到，并由得到，从而建立分式方程求解并检验即可．
【详解】
（1）如图所示，连接，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）由勾定理，可得：
，
，
∴，
由，可得，
代入数据得：，
解得：
∵点在线段上，
∴，
∴解析式为：（）；
（3）如图，联结，作于点．
∵CO⊥AB，OA=OB，
∴CA=CB，∠DAB=∠CBA，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAB，
∴，
∴，
由在圆上，
∴，
∵∠ACE+∠DCE=180°，
∴，
∴，
∴，，
∵∠CPO=∠EOC，∠COP=∠EGO=90°，
∴，
∴，
又，
∴，
代入数据，可得，
化简可得，
解得或（大于2舍去），
检验：经检验是原分式方程的解，
∴半圆的半径为．
【点睛】
本题考查圆的性质，相似三角形的判定与性质，以及求函数解析式等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
10．（1）；（2）；（3）；（4）．
分析：
（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的长；
（2）根据折叠性质及角平分线定义可推出四边形AEA＇F是菱形，则可利用菱形性质得出AF的长，即可求解FC；
（3）根据点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值，先利用勾股定理求得DE，则可求出DA＇，再由相似三角形的判定与性质可得，从而求出AP，此题得解；
（4）根据题意可分别从点A＇在AC上和BC上进行计算，求解方法都是利用相似三角形的判定与性质得出相关比例式，即可求得相应的x的值．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∵AB＝8，BC＝12，
∴AC＝．
故答案为：．
（2）如图，若点在∠BAC的平分线上，连接FA＇，
∴∠EAA＇＝∠FAA＇．
∵EA＝EA＇，
∴∠EAA＇＝∠EA＇A．
由折叠性质可得PE是AA＇的垂直平分线，
∴FA＝FA＇．
∴∠F A＇A＝∠FAA＇．
∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠F A＇A．
∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．
∴四边形AEA＇F是平行四边形．
∵EA＝EA＇，
∴四边形AEA＇F是菱形．
∴AE＝AF＝5．
∴FC＝AC－AF＝．
（3）由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．
∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．
∵AE＝5，
∴DE＝．
∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．
由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，
∠EAP＝∠EA＇P＝90°，
PD＝AD－AP＝12－x，
∵∠ADE＝∠A＇DP，
∴△ADE∽△A＇DP．
∴．
即．
解得．
∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．
故点，D距离的最小值时， tan∠APE的值为．
（4）如图，当点A＇在AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°．
∴∠BAC+∠BCA＝90°．
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BAC+∠AEP＝90°．
∴∠AEP＝∠BCA．
∴△APE∽△BAC．
∴．
即．
解得．
如图，当A＇在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠BA A＇+∠B A＇A＝90°，
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BA A＇+∠AEP＝90°．
∴∠B A＇A＝∠AEP．
∴△APE∽△BAA＇．
∴．
即．
在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，
∴BA＇＝，
∴，
解得．
∴若点在△ABC的内部时，x的取值范围为．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及利用勾股定理求解相关线段的长度等知识是解题的关键．
11．（1）；（2）；（3）6
分析：
（1）勾股定理求出BD长，利用三角函数求解析式，根据点P和点G的位置确定该函数的定义域；
(2) 设，则，根据勾股定理列方程即可；
(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可．
【详解】
解：(1)由勾股定理，，
∵点M为线段的中点，
∴PM⊥BE，
中，，解得，
点P与端点C不重合，所以，当直线恰好经过A点时，
BE=BD=，，，该函数的定义域为：．
（2）过点E作于点H，若，可知
设，则
由勾股定理，可得，解得
所以，解得（负根舍去）
所以
（3）①若，由垂径定理，可知E、F重合，不符合题意；
②时，此时E与D重合，，解得
所以
③时，过点E作，交延长线于点Q
由，可得，所以
代入数据，，解得
综上，的面积为6．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用．
12．(1)证明见解析，(2) ，(3) 19.2，(4) 8﹣2．
分析：
(1)利用折叠的性质和平角，直角三角形的性质，即可得出结论；
(2)先根据勾股定理得BD＝10，再用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
(3)过A'作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，先证△A'EM∽△BA'N，得，设A'M＝x，则BN＝3x，A'N＝6﹣x，在Rt△A'BN中，由勾股定理得出方程，解方程求出A'N＝4.8，即可解决问题；
(4)先判断出∠A'CB最大时，点A'在CE上，再利用三角形的面积求出CE，进而用勾股定理求出DE，即可得出结论．
【详解】
(1)证明：由折叠的性质知：∠AEB＝∠A'EB，
∴∠AEB＝(180°﹣∠A'ED）＝90°﹣∠A'ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣(90°﹣∠A'ED)＝∠A'ED，
∴∠A'ED＝2∠ABE；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD＝＝10，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝8﹣x，
由折叠的性质知：A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴A'D＝BD﹣A'B＝4，
∴∠DA'E＝90°，
在Rt△DA'E中，根据勾股定理得：DE2﹣A'E2＝A'D2＝16，
即（8﹣x）2﹣x2＝16，
解得：x＝3，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝；
(3)解：过A'作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，如图3所示：

则MN⊥BC，MN＝AB＝6，∠A'ME＝∠BNA'＝90°，
∴∠EA'M+∠A'EM＝90°，
由折叠的性质可知：A'E＝AE＝2，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴∠EA'M+∠BA'N＝90°，
∴∠A'EM＝∠BA'N，
∴△A'EM∽△BA'N，
∴，
设A'M＝x，则BN＝3x，A'N＝6﹣x，
在Rt△A'BN中，由勾股定理得：A'N2+BN2＝A'B2，
即（6﹣x）2+（3x）2＝62，
解得：x＝1.2或x＝0（舍去），
∴A'N＝6﹣1.2＝4.8，
∴S△A′CB＝BC×A'N＝×8×4.8＝19.2；
(4)解：∠A′CB的度数存在最大值，理由如下：
如图1，过点B作BF⊥CA'交CA'的延长线于F，
在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝，
∴BF越大时，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，
当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大＝A'B＝AB＝6，
∴A'B⊥A'C，
∴∠BA'C＝90°，
由折叠知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，
∴点A'在CE上，如图4所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，
根据三角形面积得，S△BCE＝BC•AB＝CE•A'B，
∵A'B＝AB，
∴CE＝BC＝8，
在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2．
【点睛】
此题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及三角形的面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质以及相似三角形的判定与性质，判断出∠A'CB最大时，点A'在CE上是解本题的关键．
13．（1）4；（2）6；（3）①或；②
分析：
（1）利用正方形的性质证明，得到，即可得到答案；
（2）根据正方形的性质及垂直的定义证得，推出CQ=MQ=FQ，从而得到MF=2CQ=6；
（3）①分两种情况：（i）当点N在正方形内部，延长交于点G，（ii）当点N在正方形外部，连接，延长交于点G，根据正方形的性质及翻折的性质、勾股定理列式计算即可求出答案； ②过点E作GH⊥AB于G，交CD于点H，根据△ABE∽△DME，，求得DM=2，CM=6，EH=，同理：BF=4AD=32，得到CF=24，利用面积公式分别计算与的面积，列式计算即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠MDE，∠BAE=∠DME，
∴，
∴，
，
∴，
∴DM=4；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠EAD=∠ECM；
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠F，
∵，
∴∠ECQ=∠DCF=，
∴∠ECM=∠QCF，
∴，
∴CQ=QF，
∵∠CMF+∠F=∠QCM+∠QCF=，
∴∠QCM=∠CMF，
∴CQ=MQ=FQ，
∴MF=2CQ=6，
（3）①（i）当点N在正方形内部，延长交于点G，
∵DM=2CM，AD∥BC，
∴CF=4，，
∴AG=FG，
设，
根据勾股定理得，
解得：，
；
（ii）当点N在正方形外部，连接，延长交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMD，
由翻折得∠AMD=∠NMA，
∴，
∴AG=MG，
设，
根据勾股定理得，
解得，
，
综上所述，或；
②过点E作GH⊥AB于G，交CD于点H，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DME，
∵，
∴AB=4DM，GE=4EH，
∴DM=2，CM=6，EH=，
同理：BF=4AD=32，
∴CF=24，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与的面积比为=，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，翻折的性质，锐角三角函数，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．（1）8；（2）；（3）当时，的长是或．
分析：
（1）如图1，作垂足为点，过圆心，由垂径定理得：，运用勾股定理和可求解出结果；
（2）由相似和一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得到，，通过相似比可求出AE的长，作垂足为，得到，再运用相似比求出EG和CG的长，即求出最终结果；
（3）如图5，当点在线段上时，延长AO交⊙于M，通过得到AG和EG，再通过勾股定理求出CE的长，通过求出DE的长，最后在运用勾股定理运算即可；如图6，当E在AO延长线上时，，连接DM，AD，运用同样的方法可求出第二个结果．
【详解】
（1）解：如图3，作垂足为点，过圆心，
由垂径定理得：，
∵在中，设，
∴在中，可得：，由⊙的半径为可得：，
解得：，（舍去）∴，
∴．

(2)∵，
∴当与相似时可得：或者；
由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，
∴
∴当与相似时不存在情况．
∴当与相似时，，
∴，∴；
∵，得，∴；）
作垂足为，可得：，∴，
∴即，
∴，
，，
∴在中，．
（3）如图5，当点在线段上时，延长AO交⊙于M，
连接DM，AD，，
OE=1，AE=4，ME=6，
又=，
同（1）中的计算方法，AG=，，
，
，
又，
，，
，MD=，
；
如图6，当E在AO延长线上时，，连接DM，AD，
=，
OE=1，AE=6，ME=4，
同理可得，AG=，，
，，
同理，，
，，
，
当时，的长是或．
【点睛】
本题考查圆的综合运用，难度比较大，涉及圆的基本性质，相似三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，需要有较强的数形结合能力，根据条件添加适当的辅助线是和解决本题的关键．
15．（1）证明见解析；（2）；（3）的长为11或或．
分析：
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）证明，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；
（3）分点在的延长线上、点在线段上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，即
解得，，
∴，
解得，；
（3）解：作于，
∵，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
当点在的延长线上，时，，
∴，解得，，
∴，
当时，，
∴，
解得：，
∴；
当时，，
∴，解得，，
∴；
当点在线段上时，为钝角，
∴只有，则，
∴，
解得，，不合题意，
∴是等腰三角形时，的长为11或或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角函数、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16．（1）①；②DF=AE，理由见解析；（2）．
分析：
（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BD=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD-BF=AB-BE，从而得到DF=AE；
②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，结合，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以；
（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得．
【详解】
（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=BE，
∴BD-BF=AB-BE，
∴DF=AE，
∴，
故答案为：；
②DF=AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵，，
∴，
∴△ABE∽△DBF，
∴，
∴DF=AE；
（2）如图3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=mAB，
∴BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∴，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴，
即．
【点睛】
本题属于相似形的综合题，主要考查了旋转的性质、矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．
17．（1）；（2）45°；（3）不会发生变化，．
分析：
（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt△ABC，由正弦三角函数即可求得；
（2）证明 △BCG≌△DCN，得到角相等，再由角相等，得△GMC≌△NMC，由解答即可；
（3）由D、C、N、P四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC，再得△CPQ∽△CNM，由此解答即可．
【详解】
解：（1）连接AC
∵，
∴AC垂直平分BD
∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=∠MCN
在Rt△ABC中，AB=4，AC=3
∴AC=
∴=sin∠ACB=
（2）延长AB至G点，使BG=DN，连接CG，
∵CB=CD
∠CBG=∠CBN=90°
∴△BCG≌△DCN
∴∠G=∠CND，CN=CG，∠BCG=∠DCN
∴∠MCN=∠BCD
∴∠MCB+∠NCD=∠BCD
∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=∠BCD=∠MCN
∵CM=CM，
∠G=∠CND,
∴△GMC≌△NMC
∴∠G=∠MNC=∠DNC
当DN=NC时
∠DNC=∠DCN=45°
∴∠DNC=∠CNM=45°
（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°
∠ADO+∠CDO=90°
∴∠ADO=∠COD= ∠BCD=∠MCN
∴∠NDP=∠NCP
∴D、C、N、P四点共圆，
∴∠NPC+∠NDC=180°
∵∠NDC=90°
∴∠NPC=90°
∴∠CPD=∠CND=∠MNC
∴△CPQ∽△CNM
∴
在Rt△CPN中， =cs∠MCN=cs∠ACB=
∴不会发生变化

【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．
18．（1）；（2）；（3）或
分析：
（1）由B(5，0)和O(0，0)在抛物线上，可设抛物线为：再把代入可得答案；
（2）先求解的长度，可得 利用等腰三角形的性质证明 求解的坐标，再求解的解析式及抛物线的对称轴方程，求解的坐标，求解，可得： 再求的长及即可得到答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当时，当时，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】
解：（1）由题意设：
把代入



抛物线为：
（2）由抛物线：
抛物线的对称轴方程为：



为的中点，

设为，

解得：

当时，








（3）如图，当时，
则


经检验符合题意，


当时，又是等腰三角形，
为等腰三角形，且
轴，且与轴交于


所以： 或
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．
分析：
（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．
【详解】
解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB，
∴．
∵，
∴，
∴DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴，
∴．
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴，
∴CE=6．
∵，
∴．
在Rt△ABH中，，
∴AH=．
DH=．
AD=．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=．
．
∵△ECB∽△ABD，
∴．
∵，
∴，
∴．
定义域为．
【点睛】
此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．
20．（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；
（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；
（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．
【详解】
（1）∵设直线与x轴、y轴分别交于点A（2m，0）、B（0，m），
∴OA=2m，OB=m．
∵∠OCA=∠OAB，
∴tan∠OCA=tan∠OAB==．
∵（a≠0）经过点C（0，4），OC=4，
∴OA=2，OB=1，
∴直线AB的表达式为．
（2）过点D作DG⊥x轴，垂足为G．
∵∠DGA=∠AOC=90°，∠DAG=∠ACO，AD=AC，
∴△DGA≌△AOC，
∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，
∴点D（，2）．
∵抛物线经过点A、D，
∴
∴
∴抛物线的表达式为．
（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H．
∵EF∥OC，
∴，AH=，OH=，
∴
∴
∴抛物线的表达式为．
当时，，抛物线的顶点坐标为．
．
【点睛】
本题考查二次函数的与几何综合问题，涉及到锐角三角函数的运用以及平行线分线段成比例定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．
21．（1）见解析；（2）；（3）＜BP＜ ．
分析：
（1）由勾股定理得出AB，再根据相似三角形的判定得出△ABC∽△PBQ即可；
（2）根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分情况考虑P、Q在射线上，不存在△PDQ，此时P、Q继续往右移动，点将不可能位于ABC内，BP应小于当前BP的数值；P在线段BC上时，由特殊锐角三角函数值求得PB即可．
【详解】
（1）∵∠C= 90°，AC=2，BC=，
∴在Rt△ABC中
AB= =
∴ =
∵BQ=BP
∴ =
∴= =
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△PBQ
∴∠C=∠PQB=90°
∴PQ⊥AB；
（2）当PQD是直角三角形时，
∵BQ与BP有比例关系，D点固定
∴直角三角形PQD的直角也固定，为∠QPD=90°
由（1）得PQ⊥AB
∴∠PQB=∠QPD=90°
∴AB∥PD
∴△CPD∽△CBA
则
∴P为BC的中点
∴BP=BC=×=
（3）如图：
当P、Q、D共线时，此时不存在△PDQ，在此基础上，P继续沿射线BC方向移动，此时将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点不可能位于ABC内，
∴BP应小于当前BP的数值，
在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，
∴tanB=，
∴∠B=30°，∠A=90°-30°=60°，
由（1）得PQ⊥AB，PCD是直角三角形，∠B=30°，∴∠BPQ=60°，
在Rt△PCD中，DC=AC=1，则CP=×1=，
∴BP=+=，
∴BP＜；
如图：当点D′落在BC上时，
由于∠BPQ=60°，
∴∠QPD=∠QPB=60°，
∴∠DPC=180°-∠QPD-∠QPB=60°，
此时，当P继续沿BC方向运动（BP＜），必定会落在ABC内，
在Rt△PCD中，CP=DC=，BP=BC-CP=-=，
∴BP>，
综上＜BP＜．
【点睛】
此题主要考察了相似三角形的判定及性质，特殊锐角三角函数以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质，特殊锐角三角函数以及勾股定理的应用．
22．（1）10；（2）；（3）或．
分析：
（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据正切可求出AH=2x，再根据勾股定理解出x即可．
（2）作交AC于点E，利用三角形面积公式可求出的长，再利用勾股定理可求出，从而得到．再利用和结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．
（3）根据题意可证明，所以分两种情况讨论①当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长②当DF=QF时，如图，作 交DQ于点O，同理设，解出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长．
【详解】
（1）如图作交BC于点H，设BH=x，
根据题意，，
∴AH=2x，
在中，，
∴
解得x=5．
∴BH= 5．
又∵是等腰三角形，即H点为BC中点，
∴BC=2BH=10．
（2）根据题意可知，即，
∴，
∴，．
作交AC于点E，
∴，得到：，即．
，得到：．
又∵
∴，
由 ，
解得，．
∵，是等腰三角形，
∴也是等腰三角形，
∴．
（3）∵，，
∴，
又∵，
∴
当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，
设，
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∵,
∴，
∴，
∵，即
解得x=，经检验是原方程的解，即．
∴ ．
当DF=QF时，如图，作 交DQ于点O，
设，
同理，，，
∵ ,
∴，
∴，
∴，
同理∵，即
解得，经检验是原方程的解，．
∴ ．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论．
23．（1） ；（2）y＝﹣x+（0≤x≤）； （3）90°
分析：
（1）当AD＝2时，AD＝AB，此时△ABD为等腰直角三角形，易证△BPC也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；
（2）易知点P到AB的距离与到BC的距离的比与BA、AD长度的比相等，即△APQ中AQ边上的高与△PBC中BC边上的高的比可求；AQ＝2﹣x，BC＝3，则△APQ与△BPC的面积可表示出来，利用其面积比为y，可得函数关系式，由于AB＝2，AD＝，所以，＝，而点P在线段BD上，所以PC有最大值和最小值，即可确定出PQ的最大值和最小值，即可得出结论；
（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，由已知条件可证Rt△PCF∽Rt△PQE，则∠EPQ＝∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC＝90°．
【详解】
解：（1）∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝90°．
当AD＝2时，AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD＝45°，
∴∠PBC＝∠D＝45°．
∵，
∴PQ＝PC，
∴∠C＝∠PQC＝45°，
∴∠BPC＝90°．
∴PC＝BC•sin45°＝3×．
（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF＝BE．
又∵∠BAD＝90°，
∴PE∥AD，
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴．
设BE＝4k，则PE＝3k，
∴PF＝BE＝4k．
∵BQ＝x，
∴AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x．
∴S△AQP＝AQ•PE＝（2﹣x）•3k，S△BPC＝BC•PF＝×3×4k＝6k．
∵，
∴，
即y＝﹣x+．
过D作BC的垂线DM，
在直角△DCM中，DC＝＝＝．
当P在D点时，x最大，则PC＝DC＝，而，得PQ＝，
利用勾股定理得到AQ＝，
所以此时BQ＝
∴0≤x≤．
（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFP是矩形．
∴PF＝BE，∠EPF＝90°．
又∵∠A＝90°，
∴PE∥AD．
∴Rt△BEP∽Rt△BAD．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴Rt△PCF∽Rt△PQE，
∴∠EPQ＝∠FPC．
∵∠EPQ+∠QPF＝∠EPF＝90°，
∴∠FPC+∠QPF＝90°，
即∠QPC＝90°．
【点睛】
本题是相似形综合题，考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（1）（m，0）或（4m，0）或（-4m，0）；（2）m=2，C（2，0）；（3）P（，1）∠ACP=75°或P（，1），∠ACP=15°
分析：
（1）分类讨论：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根据相似三角形的性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得∠COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为（-，1）时，根据正弦函数据，可得∠AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．
【详解】
解：（1）若△BOC∽△BOA，
则，则，
∴OC=m，即点C的坐标为（m，0）；
若△BOC∽△AOB，
则，则，
∴OC=4m，即点C的坐标为（±4m，0）；
∴点C的坐标为（m，0）或（4m，0）或（-4m，0）；
（2）当△BOC与△AOB全等时，点C的坐标为（m，0），
二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，
，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+4，点C的坐标为（2，0）；
（3）作PH⊥AC于H，设点P的坐标为（a，-a2+4），
∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°-∠CPH，
∴△APH∽△PCH，
∴，
即PH2=AH•CH，
（-a2+4）2=（a+2）（2-a）．
解得a=或a=，即P（，1）或（，1），
如图，
当点的坐标为，时，，，
，
；
当点的坐标为，时，，．
由三角形外角的性质，得，即．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．
25．（1）；（2）点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；（3）点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）
分析：
（1）由两点距离公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（3）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB＝∠NBA，分两种情况讨论：
①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）．
【详解】
（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0），
∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，
∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，
如图1，过点B作BH⊥AC于H，
∴∠BCA＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，
∴BC＝BH＝6，
∴BH＝3＝HC，
∴sin∠BAC＝＝＝；
（2）∵点P在y轴上，
∴∠POC＝∠AOB＝90°，
当时，则△AOB∽△COP，
∴，
∴PO＝2，
∴点P（0，2）或（0，﹣2）；
当时，则△AOB∽△POC，
∴，
∴OP＝8，
∴点P（0，8）或（0，﹣8），
综上所述：当点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC与△AOB相似；
（3）如图2：取OA的中点，记为点N，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON＝2，
又∵OB＝2，
∴OB＝ON，
又∵∠BON＝90°，
∴∠ONB＝45°，
∴∠ACB＝∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，
∠NBA+∠OAB＝∠ONB，
∴∠OMB＝∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M1，
∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，
∴△ABN∽△AM1B
∴，
又∵AN＝2，AB＝2，
∴AM1＝10，
又∵A（0，﹣4）
∴M1（0，6）．
②当点M在点N的下方时，记为M2，
点M1与点M2关于x轴对称，
∴M2（0，﹣6），
综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
【点睛】
考查了两点距离公式、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形．
26．（1）；（2）；（3）或．
分析：
（1）根据正切三角函数的定义、勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得，设，再根据正切三角函数、勾股定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出的值，由此即可得出答案；
（3）如图（见解析），设，先根据正切三角函数、勾股定理分别可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后分和两种情况，最后分别利用相似三角形的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
，解得，
；
（2）如图，过点E作于点H，则四边形CFEH是矩形，
，
在中，，
设，则，
，
是BC的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
，
解得：或（不符题意，舍去），
则；
（3）如图，过点E作于点H，
在中，，
设，则，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
①当时，
，
，即，
解得，
；
②当时，
，
，即，
解得，
；
综上，BE的长为或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的运用，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
27．（1）；（2）；（3）
分析：
（1）过点E作EH⊥CD于H如图易证EH是△DBC的中位线，及△AHE∽△EHD设AH=x，可得，求出x，由tan∠EAH= tan∠EAH=即可
（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图易证点A、C、B、E四点共圆，由圆周角∠BCA=∠BAF，圆内接四边形得∠CBE+∠CAE=180º，从而∠CBE=∠FAB，得△BCE∽△FAB，CE•FA=BC•AB，y=，
(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，从而△BCE与△BGE相似，由∠ECG=∠EBG与点A、C、B、E四点共圆，可证∠ECB=∠ECA，EM=EH，四边形EMCH为正方形有CM=CH，再证Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，7-a=1+a，在Rt△CHE中CE=，结合CE•FA=35，求AF即可．
【详解】
过点E作EH⊥CD于H如图
则有∠EHA=∠EHD=90º，
∵∠BCD=90º，BE=DE，
∴CE=DE，CH=DH，
∴EH=BC=，
设AH=x，则DH=CH=x+1,
∵AE ⊥BD ,
∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90º,
∵∠AEH +∠EAH=90º,
∴∠EAH=∠DEH ,
∴△AHE∽△EHD，
∴EH2=AH•DH，
∴，
，
负根舍
∴tan∠EAH=，
∵BF∥CD，
∴∠AFB=∠EAH，
∴tan∠EAH=，
（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图，
∵∠BCA=∠BEA=90º，
∴OC=OA=OB=OE，
∴点A、C、B、E四点共圆，
∴∠BCA=∠BAF，
∴∠CBE+∠CAE=180º，
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE=180º，
∴∠CBE=∠FAB，
∴△BCE∽△FAB，
，
∴CE•••FA=BC•AB，
∵∠BCA=90º，BC=7，AC=1，
∴AB=5，
∴CE•AF=7×5=35，
由CE=x，AF=y，xy=35，
∴y=，
(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图
∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90º，
∴四边形EMCH为矩形，
∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，
∴△BCE与△BGE相似，
∴∠ECG=∠EBG，
∵点A、C、B、E四点共圆，
∴∠ECA=∠EBG，
∴∠ECB=∠ECA，
∴EM=EH，
∴四边形EMCH为正方形，
∴CM=CH，
∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45º，
∴∠EBA=∠EAB=45º，
∴EB=EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM=AH，
设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，
∴7-a=1+a，
∴a=3，
∴CH=4，
在Rt△CHE中，
cs∠ECH=，
∴CE=，
由（2）得CE•FA=35，
AF=．
【点睛】
本题考查求∠AFB正切值，函数关系，△BGE与△BAF相似时，求线段AF的长问题，难度较大，知识点较多，是综合利用知识的典范，能引辅助线拓展条件，会证中位线，相似三角形，利用相似三角形构造方程，能利用定义求三角函数值，会证点四点共圆，由同弧所对圆周角∠BCA=∠BAF，圆内接四边形对角得∠CBE=∠FAB，利用相似三角形CE•••FA=BC•AB，会证 四边形EMCH为正方形，来增加条件证Rt△BME≌Rt△AHE（HL）得BM=AH，够找等量关系 解直角三角形求CE，求AF是关键．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
分析：
（1）根据条件证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形对应边成比例得到结论；
（2）根据相似三角形对应角相等得到∠A=∠CBD，利用外角和定理证明∠BDC=∠ABC，结合（1）中的结论可以证明∠ABC=∠BEC，从而证得BC=CE．
【详解】
（1）延长PO交AC于点H，则PH⊥AC，
∵∠A+∠ABD+∠ACE=90°，
∴在△ABC中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴BD⊥CE，
∵P为BE的中点，
∴BP=OP，
∴∠BOP=∠ABD，
∵∠BOP+∠POE=∠ACE+∠COH=90°，且∠POE=∠COH，
∴∠BOP=∠ACE=∠ABD，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即；
（2）∵∠A+∠ABD=∠BDC，
∴∠A≠∠BDC，
∵，
∴∠A=∠CBD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠CBD+∠ABD=∠ABC，
∴∠BDC=∠ABC，
∵∠ACE=∠ABD，
∴∠BEC=∠BDC，
∴∠ABC=∠BEC，
∴BC=CE．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
29．（1）；（2）；（3）存在，，
分析：
（1）如图1中，作CD⊥x轴于D．证明△ABO≌△CAD（AAS），利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）过点M作轴，垂足为点H．根据平行线等分线段定理证得H是OD中点，再求出M坐标即可解决问题；
（3）在Rt△中，，得，证得OM平分∠BOD
，再由△OMB与△OMP相似，根据相似的性质求出P点坐标即可；
【详解】
解：（1）过点C作轴，垂足为点D．
∵△是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∵，
∴△△．
∴，，
∴
（2）过点M作轴，垂足为点H．
∵，．
∴
∴，
∴
（3）存在点P，分两种情况：
∵在Rt△中，
∵，
∴
当点P在轴时，
∵，
∴当△OMB与△OMP时．有或
∴或
∴，
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
30．(1)；(2)6
分析：
(1)过点B作BD⊥AC交AC于点D，根据题目条件可以设AB=5x，分别表示出AC、BD，再利用勾股定理即可得出结果；
(2)过点A作AM⊥BC，分别交EF于点N，BC与点M，根据题目条件能得出△AEN∽△ABM，再利用相似的性质即可得出结果．
【详解】
解：(1)过点B作BD⊥AC交AC于点D，如图所示，
∵，AB=AC，
∴设AB=5x= AC，则BD=3x，
由勾股定理可得：AD=4x，DC=x，
∵BC=10，
∴由勾股定理得：x2+(3x)2=100
解得：x=，
∴AB=．
(2)过点A作AM⊥BC，分别交EF于点N，BC与点M，如图所示，
∵正方形DEFG内接于△ABC，BC=10，
则BM=MC=5，
∵AB=，
由勾股定理可知：AM=15，
∵EF∥BC，
∴△AEN∽△ABM，
设ED=x，
∴
则，
解得x=6，
所以正方形DEFG的边长为6．
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形以及相似，正确的掌握解直角三角形以及相似的性质是解题的关键．
31．（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）．
分析：
(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
(3) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【详解】
解：(1)连接OA，如下图1所示：
∵AB=AC，
∴=，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
(2)如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．
则==，且BC=2BH，
∴==，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，
∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，
∴a2=，
∴BH=，
∴BC=2BH=．
故答案为：．
【点睛】
本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
32．(1) (2) (3)
分析：
（1）过点作，由EF∥AB得EM为△DEF边EF上的高，通过计算求出EF、EM即可求出△DEF面积；
（2）过点作，垂足为点，设与相交于点，根据对称性知，，分别在Rt△AD D’和Rt△AEN中解直角三角形即可解得x值；
（3）与相交于点，在Rt△CEF中，用x表示出AF，利用EF∥AB得，用x表示出AG，再用两圆相交的性质知AF⊥DE，进而证得即，代入数值即可得关于x的方程，解之即可解得x值．
【详解】
解：（1）如图1，过点作，垂足为点.
在中，，，，，.
，，.
在中，，，，.
，. 又，.
.
（2）如图2，过点作，垂足为点，设与相交于点.
、关于对称，，.
. ，.
在中，，，，.
.
，，，.
在中，，，，，
.
（3）如图3，设与相交于点.
在中，，，，
，. .
，. ，，.
.
圆和圆相交，另一个交点H恰好在DE上，
. .
，，.
. .
解得（舍去），.
【点睛】
本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、两圆相交的性质等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，结合图形适当作辅助线，确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算．
33．（1）1；（2）；（3）, ；
分析：
（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用ASA证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；
（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（3）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由（2）知EF=2EG，易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．
【详解】
（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EI⊥CD于I，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EI⊥CD，
∴EH=EI，
∴四边形EHCI是正方形，
∴∠HEI=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，
∴∠IEF=∠GEH，
∴Rt△FEI≌Rt△GEH，
∴EF=EG；
即此时；
（2）如图2，
过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴，
∴，即，
，
∴，
∴；
（3）如图3，
过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，
则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，
∵EC平分∠FEG，
∴CQ=CP，
∴矩形EPCQ是正方形，
∴∠QCP=90°，
∴∠QCG+∠PCG=90°，
∵∠QCG+∠QCF=90°，
∴∠PCG=∠QCF，
在△PCG和△QCF中，
∴△PCG≌△QCF（AAS），
∴CG=CF，
由（2）可得即EF=2EG，
∵点E放在矩形ABCD的对角线交点，
∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，
∴EM=AB=1，EN=AD=BC=2，MC=BC＝2，CN=CD＝AB＝1，
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠NEM=90°，
∴∠MEG+∠GEN=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠FEN+∠GEN=90°，
∴∠MEG=∠FEN，
∵∠EMG=∠FNE=90°，
∴△EMG∽△ENF，
∴，
即NF=2MG，
设MG=x，则NF=2x，CG=2-x，CF=1+2x，
∵CG=CF，
∴2-x=1+2x，
解得：x=，
∴MG=，
在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG==，
∵EF=2EG，
∴EF=．
【点睛】
此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，证明三角形相似是解题关键，注意数形结合思想的应用．
34．（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）
分析：
（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；
（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝ ，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．
【详解】
解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，
∴a＝1，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）；
（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x1＝2﹣，x2＝2+，
由题意得：D（2+，1），
∵B（0，1），C（2，﹣1），
∴BC＝＝2，BD＝2+，
∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，
只能△CBP∽△DBC，
∴，即，
∴BP＝8﹣4，
∴P（0，4﹣7）；
（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，
由旋转得：∠CBD＝∠ABE，
∴∠EBD＝∠ABC，
∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴tan∠EBD＝＝，
设EH＝m，则BH＝2m，
∴E（2m，m+1），
∵点E在抛物线上，
∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，
4m2﹣9m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝（舍），
∴E（4，3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，结合的相似三角形、三角函数表示等知识点，综合理解能力要求比较高。
35．（1）证明见解析；（2）；（3）或．
分析：
（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A进而得出答案；
（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y．过点E作EH⊥BD垂足为点H，构造Rt△EHB，所以，通过解Rt△ABC知：，易得答案；
（3）需要分类讨论：①当∠DBP=∠ADF时即；②当∠DBP=∠F时，即，借助于方程求得AD的长度即可．
【详解】
解：（1）证明：∵ED⊥DP，
∴∠EDP=90°，
∴∠BDE+∠PDA=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠PAD=90°，
∵PD=PA，
∴∠PDA=∠PAD，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE；
（2）过点E作EH⊥BD垂足为点H，
由（1）知BE=DE，
∵AD=y，BD=BA-AD=5-y，
∴，
在Rt△EHB中，∠EHB=90°，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴，
，
∴．
（3）如图，
设PD=a，则，，
在等腰△PDA中，，
易得：，
则在Rt△PDF中，∠PDF=90°，，
∴，，
①当∠DBP=∠ADF时，即；
解得a=3，此时，
②当∠DBP=∠F时，即，
解得，此时，
综上所述，若△BDP与△DAF相似，线段AD的长为或．
【点睛】
此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
36．（1），开口向上，,变化情况见解析；（2）；（3），理由见解析
分析：
（1）根据（1，1）在抛物线y=ax2上可求出a值，再由（-1，7）、（0，2）在抛物线y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）根据△ADM和△BDM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点B的横坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、D的坐标，过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，根据点B、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标，利用两点间的距离公式可求出BA、BD、BN的长度，由三者间的关系结合∠ABD=∠NBA，可证出△ABD∽△NBA，根据相似三角形的性质可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．
【详解】
解：（1）当x=1时，y=ax2=1，
解得：a=1；
将（-1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为或，
∴该抛物线的开口向上，顶点D（2，-2），
变化情况：在对称轴 的左边y随x的增大而减小，再对称轴的右边y随x的增大而增大；
（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：3，
∴点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：3．
∵抛物线的对称轴为直线x=2，点A的横坐标为0，
∴点B到抛物线对称轴的距离为3，
∴点B的横坐标为3+2=5，
∴点B的坐标为（5，7）．
（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：
当x=0时，，
∴点A的坐标为（0，2），
∵，
∴点D的坐标为（2，-2）．
过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，如图所示．
设直线BD的表达式为y=mx+n（m≠0），
将B（5，7）、D（2，-2）代入y=mx+n，
得到： ，
解得： ，
∴直线BD的表达式为y=3x-8．
当y=2时，有3x-8=2，
解得： ，
∵A（0，2），B（5，7），D（2，-2），
∴ ，
∴ ，
又∵∠ABD=∠NBA，
∴△ABD∽△NBA，
∴∠ANB=∠DAB．
∵∠ANB+∠AND=180°，
∴∠DAB+∠DCO=180°．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式以及平行线的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）根据同底三角形的面积比等于高的比找出点B的横坐标；（3）构造相似三角形，找出∠BAD和∠DCO互补关系；
37．（1）详见解析；（2）；（3）∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者
分析：
(1)先根据题意证明以及，再适当变形即可得到答案；
(2)先根据角平分线的性质和直线平行的性质证明△BAF≌△CAF，再根据全等三角形的性质得到BF=CF，再根据BD：DE=2：3，计算即可得到答案；
(3)根据△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，因此△ABC中必有一个内角为90°，再根据∠ABC是锐角，得到∠ABC≠90°，再分情况讨论即可得到答案；
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
同理可得： ，
∴
，

（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB=∠EAD=90°，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
在△BAF和△CAF中，

∴△BAF≌△CAF(ASA)，
∴BF=CF（全等三角形对应边相等），
∵BD：DE=2：3
∴，
∴；
(3) ∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，
∴△ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时，
∵（由(1)知），
∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC=30°，
∴此时，
②当∠C=∠DAE=90°时，，
∴∠EDA=45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC=45°，
此时，
综上，∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者；
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
38．（1）见解析；（2）；（3）或
分析：
（1）连接、，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得，，从而可知四边形是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）连接，由菱形的性质及可得，及，从而判定，结合及菱形的性质可得答案；
（3）如图，过点作于点，过点作延长线于点，根据及菱形的边长可求得，．设，则，当四边形是矩形时，，则与相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①，②．
【详解】
解：（1）连接、，
菱形中，是边的中点，点是边中点，
，，
，．
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）连接，
菱形中，，
，
，
，
，
又菱形中，，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，过点作延长线于点，
四边形是矩形，
，
由（2）可知，，
此时，
又菱形边长为2，
，
，
，
，
．
设，则，
当四边形是矩形时，，则与相似（三垂直模型）．
①若，
则，
，
解得，（点不与中点重合，舍去）；
②若，
则，
，
解得．
综上，的长为或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，利用数形结合的思想，并明确相关性质及定理是解题的关键．
39．
分析：
过A作AF⊥BC于F，过B'作B'G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【详解】
解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′Dm，
Rt△ADF中，DF＝AD•cs60°m，AF＝AD•sin60°m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cs60°m，B′G＝B′D•sin60°m，
∴FG＝DG﹣DFm，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴，
∵FE+GE＝FGm，
∴FEm，
∴BE＝BF+EFm，CE＝CF﹣EFm，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．
40．
分析：
过A作AF⊥BC于F，过B/作B/G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【详解】
解：过A作AF⊥BC于F，过B/作B/G⊥BC于G，如图：
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′D＝m，
Rt△ADF中，DF＝AD•cs60°＝m，AF＝AD•sin60°＝m，
∴BF＝BD＋DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cs60°＝m，B′G＝B′D•sin60°＝m，
∴FG＝DG﹣DF＝m，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴，
∵FE＋GE＝FG＝m，
∴FE＝m，
∴BE＝BF＋EF＝m，CE＝CF﹣EF＝m，
∴，
故答案为：．
【点评】
本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．
41．
分析：
由三角形相似，得出比例关系，构建二次函数，把函数式变换成顶点式，根据抛物线的性质得出答案．
【详解】
由题意知，是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，正方形的边长为1，
则，
∴，
∴．
∴，
∴可知抛物线的顶点为开口向下，
∴时，函数有最大值，最大值为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，结合了三角形相似的性质，解题关键是通过相似三角形的性质列出二次函数解析式．
42．
分析：
求出AC的长,证明△ADE≌△ACB,推出，由此求出AE即可解决问题．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC,在Rt△ABM中，AM=ABsin45°=
AC= AMsin60°=
∵，
∠AEA´=90°,
∵△ADE≌△A´DE
∴∠AED=∠A´ED=45°,
∴∠AED=∠B,
∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
，


AA´=

【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
43．或．
分析：
分两种情形，作DF⊥AB于F，然后分别运用相似三角形的判定与性质以及折叠的性质求出AE，最后利用等腰直角三角形的性质求出AA′即可．
【详解】
解：①如图，作DF⊥AB于F，连接AA′
在Rt△ACB中，BC6，
∵∠DAF＝∠BAC，∠AFD＝∠C＝90°，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
∴DF，AF，
∵A′E⊥AB，
∴∠AEA′＝90°，
由翻折不变性可知：∠AED＝45°，
∴EF＝DF，
∴AE＝A′E，
∴AA′；
②如图，作DF⊥AB于F，当 EA′⊥AB时
同①的方法可得AE，AA′AE．
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查折叠变换、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，正确添加辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
44．5或6.4
分析：
和相似，分两种情况：①若，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B＝∠ECD与∠A＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D为AB的中点．
【详解】
解：在Rt中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
，
①若，连接CD，如图所示：
∵，
∴，
∴EF∥AB，
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高，
在Rt中，，
在Rt中，，；
②若，
∵，∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CAB，
∴∠CEF＝∠A，
连接CD，如图所示：
由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，
又∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠ECD，
∴BD＝CD，
同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD，
∴D为AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
故填：5或6.4．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质、翻转变换的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．
45．
分析：
连接AC、BD，设点C的坐标为（a，b），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA、OB，由旋转的性质即可求出OC和OD，从而证出OAC∽OBD，列出比例式即可求出AC，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．
【详解】
解：连接AC、BD，设点C的坐标为（a，b）
∵、，
∴OA=，OB=
由旋转的性质可得OC=OA=，OD=OB=5，∠AOC=∠BOD
∴点D的坐标为（5,0）,
∴BD=，OAC∽OBD
∴
∴
解得AC=2
∵OC=
∴
解得：或
∵点C在第二象限，
∴
即点C
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．
46．＜AO＜．
分析：
根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，证明△AOE∽△ACD即可求出与AD相切时的AO值；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，证明△COF∽△CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，∴OE//CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AO=；
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，∴OF//AB，
∴△COF∽△CAB，
∴，
∴，
∴OC=，
∴AO=，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．
故答案为：＜AO＜．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
47．或
分析：
设直角三角形ABC的三边长分别为x﹣2、x、x+2，利用勾股定理可得（x+2）2＝x2+（x﹣2）2，解方程即可求出三边长为6，8，10．分三种情况：①当∠PAD＝90°，由平行四边形的性质得出CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，求出BP＝，由轴对称的性质即可得出结果；②∠APD＝90°，当点P与C重合时，得出该情况不成立；③当点P与C不重合时，∠APD＝90°，作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，BF＝．
【详解】
解：设直角三角形ABC的三边长分别为x﹣2、x、x+2，根据题意得：
（x+2）2＝x2+（x﹣2）2，
解得x1＝0（舍去），x2＝8．
所以斜边长BC为x+2＝10．
∴AB＝6，AC＝8，
分三种情况：
①当∠PAD＝90°，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
解得：BP＝，
∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，
∴BF＝PF＝BP＝；
②当∠APD＝90°时，点P与C重合时，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，
则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，
∴该情况不存在；
③当点P与C不重合时，∠APD＝90°，如图3所示：
作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，BF＝；
综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为或；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
48．或
分析：
如图（见解析），分点F在BC下方和点F在BC上方两种情况；先利用勾股定理可求出，再根据相似三角形的判定与性质可得出（或），然后利用翻折的性质、勾股定理求解即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，点F在BC下方
点D是AB的中点
，
，即
解得
由翻折的性质得：
设，则，
在中，，即
解得
即
（2）如图2，点F在BC上方，延长FD交BC于点H，则
同理可得：
设，则，
在中，，即
解得
即
综上，线段BE的长为或10
故答案为：或10．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
49．．
分析：
当PE⊥DC，垂足为点G，此时，PE长度的最小，进而解答即可．
【详解】
解：如图，记PE与CD交点为G，
∵四边形PFEC为平行四边形，
∴PF∥CE，
∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD，
∴△PGD∽△EGC，
∵DF＝PD，
∴PD＝PF＝CE，
∴，
∴，
∴PE＝3PG，
要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时取PG，
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝5，
∴sin∠B＝，即，
∴PG＝CH＝，
∴PE＝3PG＝3×＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角函数、点到直线的距离及垂线段最短解答．
50．
分析：
过点B作BD⊥x轴于D，由题意得出OA=2，BD=4，OD=3，∠ACO=∠BCD，证明△AOC∽△BDC，得出，求出OC=DC=OD=1，得出CD=OD-OC=2，由勾股定理得出AC=，BC=，即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，2），B（3，4），
∴OA=2，BD=4，OD=3，
根据题意得：∠ACO=∠BCD，
∵∠AOC=∠BDC=90°，
∴△AOC∽△BDC，
∴，
∴OC=DC=OD=1，
∴CD=OD-OC=2，
∴AC=，BC=，
∴AC+BC=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轨迹、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．