沪教版九年级上册数学专题训练专题08证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题08证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A．B．C．相似比为D．相似比为
2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
4．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A．B．C．D．
5．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2
7．小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( )
A．m∶n＝a∶bB．m∶n＝b∶aC．a∶b＝n∶mD．a∶m＝n∶b
9．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍
10．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是( )
A．BC2＝BD•ABB．CD2＝BD•AD
C．AC2＝AD•ABD．BC•AD＝AC•BD
11．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（ ）
A．位似中心是点B，相似比是2：1B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
12．如图，在中，，，，则边的长等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
13．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为( )
A．5.6米B．6米C．6.1米D．6.2米
15．两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )
A．1：3B．1：9C．D．2：3
第II卷（非选择题）
二、填空题
16．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.
17．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
20．如图，在中，若，，，则的长为______.
21．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中：
①；
②∽；
③∽；
④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______．
22．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________.
23．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.
24．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为_____.
25．如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________．
26．已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为，那么的面积为________．
27．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4，则圆心O到AC的距离是____.
28．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使得AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，则AE=_____．
29．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.
30．如图，，，，，则________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cs ∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
33．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
34．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
35．如图，已知∽，且、是角平分线，、是中线．求证：∽．
36．如图，已知梯形中，，对角线、交于．已知，．求： ．
37．如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，村庄A到公路l的距离AC=1km，村庄B到公路l的距离BD=2km，公路上两点C，D之间相距4km.
（1）试求出A，B两村之间的距离.
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹），并求出此站点P到点D的距离.
38．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
39．如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．
40．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

41．在□ABCD中，∠ABC的外角∠ABG的平分线BE分别交DA，CA的延长线于点F、E．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值．
42．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.
43．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
44．如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
专题08 证明相似三角形中的对应线段成比例重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A．B．C．相似比为D．相似比为
2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
4．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A．B．C．D．
5．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2
7．小李家承包了两块三角形土地和△A´B´C´，已知，且的面积为，则△A´B´C´的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( )
A．m∶n＝a∶bB．m∶n＝b∶aC．a∶b＝n∶mD．a∶m＝n∶b
9．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）
A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍
10．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是( )
A．BC2＝BD•ABB．CD2＝BD•AD
C．AC2＝AD•ABD．BC•AD＝AC•BD
11．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（ ）
A．位似中心是点B，相似比是2：1B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
12．如图，在中，，，，则边的长等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
13．如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为( )
A．5.6米B．6米C．6.1米D．6.2米
15．两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )
A．1：3B．1：9C．D．2：3
第II卷（非选择题）
二、填空题
16．如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为______.
17．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______．
18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
19．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝__．
20．如图，在中，若，，，则的长为______.
21．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中：
①；
②∽；
③∽；
④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______．
22．如图，从点发出一束光，经x轴反射，过点，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________.
23．汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图为新居剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m．他量得客厅高AB＝2.8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是____________ m.
24．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为_____.
25．如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________．
26．已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为，那么的面积为________．
27．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4，则圆心O到AC的距离是____.
28．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使得AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，则AE=_____．
29．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝________°，∠B′＝________°.
30．如图，，，，，则________．
31．如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______
三、解答题
32．已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cs ∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
33．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
34．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
35．如图，已知∽，且、是角平分线，、是中线．求证：∽．
36．如图，已知梯形中，，对角线、交于．已知，．求： ．
37．如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，村庄A到公路l的距离AC=1km，村庄B到公路l的距离BD=2km，公路上两点C，D之间相距4km.
（1）试求出A，B两村之间的距离.
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹），并求出此站点P到点D的距离.
38．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
39．如图已知是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：；
（2）当，时，求的值．
40．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

41．在□ABCD中，∠ABC的外角∠ABG的平分线BE分别交DA，CA的延长线于点F、E．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=3，BC=5时，求的值．
42．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.
43．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
44．如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
参考答案
1．D
分析：
根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．
【详解】
解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．
2．D
分析：
证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【详解】
解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，
∴S△ADE=S△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．A
分析：
利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
4．B
分析：
根据AB∥CD，易证△AOB∽△DOC，利用对应边成比例即可解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC
∴，
故A、D选项正确；
B、∵，
∴
∴，故本选项错误．
C、∵，
∴，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质．
5．A
分析：
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3，
故选A.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
6．A
分析：
通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论．
【详解】
解：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴．
故选A.
【点睛】
此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.
7．C
分析：
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题.
【详解】
解：∵
∴∽，
∴S△ABC：S△A´B´C´=9：16,
∵的面积为，
∴的面积是 ,
故选C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的性质是解题关键.
8．A
解析：
分析：
线段成比例，找准对应关系即可.
【详解】
m、n、a、b成比例线段
m∶n＝a∶b
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对线段成比例的理解，抓住对应关系是解题的关键.
9．B
分析：
根据相似三角形的周长比等于三角形的相似比即可解题.
【详解】
∵三角形保持形状不变，
∴扩大后的三角形与原三角形相似,而周长扩大到原来的4倍,
∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍,
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
10．D
分析：
根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可.
【详解】
解: 根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得:A、C都正确.
根据直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B选项正确;
综上可得:A, B、C选项都正确.
故选D.
【点睛】
本题考查射影定理的知识,属于基础题,注意掌握射影定理的内容并灵活运用.
11．C
分析：
由位似图形的定义“如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.两个位似图形中每组对应顶点所在的直线都交于一点，这个交点叫做位似中心.”可知位似中心在点G，H之间，根据两个三角形网格数可知相似比，即可得出结论.
【详解】
解：A、位似中心在点G，H之间，故A选项错误；
B、位似中心在点G，H之间，故B选项错误；
C、位似中心在点G，H之间，相似比为2：1，故C选项正确；
D、相似比为2：1，故D选项错误；
故答案为C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与位似图形的定义.比较简单，关键熟记定义，结合图像判断即可.
12．D
分析：
由DE//BC可证明△ADE∽△ABC，根据对应边成比例求出BC即可.
【详解】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴BC=3DE=12.
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定，平行于一边的直线和其它两边所构成的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
13．C
解析：
分析：
先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．
【详解】
∵∠BAD=∠C，
而∠ABD=∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB:BC=BD:AB，
∴AB2=BC⋅BD.
故选C.
【点睛】
本题考查三角形中线段的比列关系，解题的关键是应用射影定理.
14．B
解析：
分析：由题意易得DE∥BC，那么可得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例可得AB的长．
详解：如图：
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，且DE=1.8,BC=2,AB-AD=0.6.
∴AB=6.
故选B.
点睛：本题考查了相似三角形的应用：三边对应成比例.
15．C
解析：
相似比是1：，所以周长比是1：，选C.
16．
分析：
如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长.
【详解】
如图，过N作NF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，
∴NF=AB=6，
∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，
∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，
∴∠AEM+∠NEF=90°，
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠AME=∠NEF，
又∵∠A=∠EFN=90°，
∴△AEM∽△FNE，
∴，
∵AE=2AM，NF=6，
∴EF=3，
∴BN=EN===，
∵BC=8，
∴CN=BC-BN=8-，
故答案为：8-
【点睛】
本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
17．4
分析：
根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可.
【详解】
∵∠ADE=∠C，∠A为公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵DE=3，BC=6，AC=8，
∴，
解得：AD=4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
18．3:2
【详解】
因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为: 3:2.
19．4．
分析：
根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长．
【详解】
∵△ABC∽△ACD，∴，
∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
20．8
分析：
根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
即
∴BC=8（cm）
故答案是：8
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．
21．①②④
分析：
根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵∽，、分别为与的中线，
∴，故①正确；
∵，，
∴∽，故②正确；
∴与对应边上的高之比为，故④正确；
而与不相似，故③错误；
∴正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.
22．５
分析：
先过点B作BD⊥x轴于D，再由A、B的坐标确定，即可得OA,BD,OD的长度，由题意可证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解.
【详解】
解：如图，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（0，2），B（5，3），
∴OA=2，BD=3，OD=5，
由反射定律可得：∠ACO=∠BCD，
又∵∠AOC=∠BDC=90°
∴△AOC∽△BDC，
∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，
∴OC=2，OD=3
在Rt△BCD中，CD=3，BD=３
∴BC＝＝
又∵AC：BC=2：3
∴AC＝
∴AC+BC＝5
..故选5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质，解此题的关键是作出辅助线，构造相似三角形.
23．1.8
分析：
根据题意易知△ABC∽△GFA，即＝，代入即可求解.
【详解】
根据题意有AF∥BC，
∴∠ACB＝∠GAF，
又∠ABC＝∠AFG＝90°，
∴△ABC∽△GFA.
∴＝，
得BC＝3.2(m)，
CD＝(2＋3)－3.2＝1.8(m)．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到相似三角形.
24．6和9
分析：
根据三角形相似对应边成比例即可求出x、y的值.
【详解】
∵已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，
∴相似比为===,
∴x=6,y=9.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是找到三角形的相似比.
25．1∶4
解析：
分析：
根据相似三角形的相似比等于对应边的比等于对应边高线、角分线、中线的比等于周长的比即可解题.
【详解】
解：根据相似三角形的性质得三角形的相似比为1:4,
∴三角形对应角平分线的比为1:4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的概念是解题关键.
26．
分析：
先根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边，EF边上的高，且AM=3，DN=9，
∴ ,
∴ S△ABC：S△DEF=1:9=S△ABC：27,,
解得S△ABC=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的性质是解题关键.
27．3
解析：
分析：
首先过点O作AC垂线，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离.
【详解】
解:过点O作OD⊥AC于D,
∵BC是⊙O的切线,
∠ABC=90°,
∵OD⊥AC,
∴∠ADO=90°,
∴△ABC~△ADO,
∴,即OD=,
在△ABC中,∠BAC=30°
∴AC=2BC=8
∴AB=12（勾股定理）
∴OA=6=BO,
∴OD===3
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,找到对应线段,列出比例式是解题关键.
28．﹣1
分析：
连接AD，则根据已知可证△CDE∽△CAD，△CDE∽△CAD，
∴CD：CA=CE：CD，即CD2=CA•CE，
再利用已知条件AB=AC=2，利用勾股定理得OC的长，从而求得EC，再求AE=AC-EC.
【详解】
连接AD，如图，
∵AC为切线，
∴AB⊥AC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAC+∠DAB=90°，∠DAB+∠B=90°，
∴∠DAC=∠B，
∵∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠DAC=∠EDC，
而∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA=CE：CD，即CD2=CA•CE，
在Rt△AOC中，OC==，
∴CD=﹣1，
∵AC=AB=2
∴2CE=（﹣1）2，解得CE=3﹣，
∴AE=AC﹣CE=2﹣（3﹣）=﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查切线性质，相似三角形对应边成比例，两角分别相等的两个三角形相似，等腰三角形的性质.
29．60 60
分析：
通过△ABC∽△A′B′C′得出∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，再由三角形内角和等于180°，通过计算就可以得出.
【详解】
解：通过△ABC∽△A′B′C′得出∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，再由三角形内角和等于180°，所以∠B=∠B=180°-∠35°-∠85°=60°.故答案为：60；60.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质和三角形内角和定理，关键在于角之间的关系.
30．
分析：
由，可证明△ABD∽△BDC，根据相似三角形的性质即可求出CD的长度.
【详解】
∵，，
∴△ABD∽△BDC，
∴CD：BD=BD：AB，
∴CD= =，
故答案为
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
31．18.
解析：
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵，
∴，
∴．
32．（1）详见解析；（2）y＝，x的取值范围为