数学2.4 圆的方程优秀课后复习题

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【夯实基础】
题型1圆的一般方程的概念
1.若方程表示圆，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为方程表示圆，所以，即，解得；
故选：D
2.若方程表示圆，则下列四个数中不能取的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的方程的条件为，解关于的不等式，即可得到答案；
【详解】方程表示圆，
，
或，
不能取，
故选：A
3.经过三点，，的圆的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先利用三点的坐标求出圆的方程，进一步利用圆的面积公式求出结果.
【详解】解：设圆的一般式方程为：，
由于：圆经过三点，，的坐标，
故：，解得：，，.
故圆的方程为：，整理得：，
所以：.
故选：.
【点睛】本题考查的知识要点：圆的一般是方程的应用，圆的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.
4.若直线始终平分圆的周长，则a的值为（ ）
A．4B．6C．-6D．-2
【答案】C
【解析】利用圆的性质可得直线平分圆的周长，必经过圆心，根据圆的一般方程的到圆心坐标，代入直线方程求得的值.
【详解】圆的圆心坐标为,
直线平分圆的周长，必经过圆心，
点在直线上，
，
故选：C.
【点睛】根据圆的一般方程求圆心坐标，的圆心坐标为.
5.“实数”是“方程”表示圆的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】配方得圆的充要条件即可判断
【详解】表示圆，则
能推出，反之不能，故“实数”是“方程”表示圆的充分不必要条件
故选：A
题型2 求圆的一般方程
6.已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设圆的方程为，解方程组即得解.
【详解】设圆的方程为，
由题意得，
解得，，．
圆的方程是．
故选：D．
【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.
7.已知，则的外接圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程.
【详解】设外接圆的方程为：，
由题意可得：，解得：，
即的外接圆的方程为：．
故选：C.
8.已知圆经过三点，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】求出外接圆的方程，再根据点到直线距离公式求解.
【详解】根据题意，，设外接圆方程为，
则解得
外接圆方程为，即
则圆心到到直线的距离为.
故选：D
9.(多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据二元二次方程表示圆条件，逐项判定，即可求解。
【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，
对于A中，方程，可得，
所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程，可得，
所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程中，和的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
10.圆的半径等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】圆的一般方程配方成标准方程后可得半径．
【详解】把圆化为标准方程得，圆，
所以圆的半径为．
故选：B．
题型3求动点的轨迹方程
11.已知，，，平面内的动点满足，，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示，建立直角坐标系，取AC中点N，
∵，
∴,从而M轨迹为以N为圆心,为半径的圆，
∴B，N，M三点共线时，BM为最大值．
∴的最大值为，
∴的最大值是，
本题选择D选项.
12.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
13.若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得.
【详解】由，可得，
表示以为圆心，以为半径的圆，
设原点， ，
则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是
．
故选：C．
14.已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可
【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系，如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为r.因为，所以，
所以.
设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R，
所以点P在侧面内的轨迹为.
因为在中，，，所以，
所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为.

故选：B.
15.在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【答案】
【分析】构建平面直角坐标系，设、，确定坐标，写出直线方程，将直线整理消去参数t，即可得P的轨迹方程，注意x、y的范围．
【详解】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
【能力提升】
单选题
1.经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程.
【详解】设圆的方程为，
因为圆心在x轴上，所以，即．
又圆经过点和，
所以即解得
故所求圆的一般方程为．
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求圆标准方程，属于基础题.
2.方程表示圆，则a的范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】根据圆的一般方程，可知，计算即可.
【详解】根据圆的一般方程，可知，即，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查学生对基础知识的掌握.
3.方程所确定的圆中，最大面积是
A．B．C．3πD．不存在
【答案】B
【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值.
【详解】所给圆的半径.
所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是.
故选B
【点睛】本题主要考查圆的方程，熟记圆的一般方程，会由圆的方程求圆的半径即可，属于常考题型.
4.过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设所求圆的方程为，再待定系数求解即可．
【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为，
因为所求圆过点，
所以，解得：
所以所求圆的方程为：
故选：A
5.当圆的面积最大时，圆心坐标是
A．(0，－1)B．(－1,0)C．(1，－1)D．(－1,1)
【答案】B
【分析】把圆的方程进行配方，然后求出圆的半径，根据题意，可以求出的值，最后求出圆心坐标.
【详解】，当时，半径最大，因此圆的面积最大，此时圆心坐标为.故选B
【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了配方法，属于基础题.
6.若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先化圆标准方程，再结合几何意义确定最长的弦所在的直线方程.
【详解】圆的圆心坐标为，
则过点且过圆心的弦最长．
则最长弦所在直线的斜率，直线方程是
故选：C
【点睛】本题考查圆标准方程以及几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】由圆的一般方程表示圆可知，只需，即，可解得满足范围．
【详解】由题意可得，即，
化简为，解得或.
故选：D.
8.已知方程，则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有（ ）
A．B．0C．D．
【答案】ABC
【分析】将圆的方程化为标准方程，则，解得即可得出答案.
【详解】解：，即方程方程表示圆的条件是，即．所以选项A，B，C能表示圆，选项D表示一个点，不能表示圆．
故选：ABC.
多选题
9.若是一个圆的方程，则实数m可取的值有（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合，即可求解.
【详解】由题意得，解得．
故选：BCD．
10.已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据点在圆外的条件，列不等式求k的取值范围.
【详解】由题意可得，解得，
故选：AC.
11.已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）.
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为
C．圆的半径为
D．圆被轴截得的弦长为
【答案】ABD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，根据标准方程可得圆心坐标和半径，可得A正确，C不正确，令和可得选项B D正确
【详解】由圆的一般方程，得圆的标准方程为，
故圆心为，半径为，则A选项正确、C选项错误，
令，得或，弦长为，则D选项正确，
令，得或，弦长为，则B选项正确，
故选：ABD．
12.已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】考虑点在圆内时实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】圆的标准方程为：，故.
又因为弦的中点为，
故点在圆内，所以即.
综上，.
故选：AB.
【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.
填空题
13.已知方程表示圆，则的取值范围为
【答案】
【解析】根据条件可得，解出即可.
【详解】因为方程表示圆
所以，解得
故答案为：
14.已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ．
【答案】
【分析】先利用方程得到，求出或，然后分别求解即可．
【详解】方程表示圆，
所以，解得或，
当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；
当时，方程，即，此时，方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是．
故答案为：．
15.经过点，，的圆的方程为 .
【答案】（或）
【分析】设圆的一般方程为，代入点坐标，待定系数求解即可.
【详解】设圆的一般方程为，代入点，，可得：
，解得，
故圆的一般方程为：
标准方程为：.
故答案为：（或）
16.已知为圆外一点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】整理得到圆的标准方程，由题设及圆的性质可得，，计算即可求解.
【详解】整理得，圆，
因为点在圆外，所以，化简得，解得．
故答案为：
解答题
17.已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；
（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心，
由题意得，解得，
所以圆的C的一般方程为.
（2）依题意，设，，
因为M为线段OP的中点，，所以，
又因为点P在圆C上运动，所以，
故，
整理得：，
所以点M的轨迹方程为.
18.已知圆经过点．
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为64，最小值为4
【分析】（1）设圆的方程为 ，代入点的坐标，列出方程，即可求解.
（2）将转化为圆上的点到点的距离的平方，求得的值，结合圆的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，圆经过点，
设圆的方程为 ，
可得 ，解得，
所以圆C的方程为，即 ，
（2）解：由圆，可得圆心，半径为
又由的表示圆上的点到点的距离的平方，
因为，
根据圆的性质，可得，
所以的最大值为，最小值为.
19.已知圆和圆．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距C1C2 大于两圆的半径之差而小于两圆的半径之和，证得两圆相交．
（2）设过两圆交点的圆的方程为 x2+y2+4x-4y+4+λ（x2+y2+2x）=0，把点（-2，3）代入求得，可得所求的圆的方程．
【详解】（1）证明：∵圆，即，表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．
（2）设过两圆交点的圆的方程为．
把点代入，求得．
故所求圆的方程为，
即．
【点睛】本题主要考查两圆的位置关系的判断方法，用待定系数法求圆的方程，属于中档题．
20.已知圆C过点，，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，列出方程，求出圆的一般方程，再化为标准方程；（2）设出弦的中点M的坐标为，根据垂径定理，得到斜率之间的关系，列出方程，求出中点M的轨迹方程.
（1）
设圆的方程为
把点，，代入得：

解得：
所以圆的方程为：，化为标准方程为：
（2）
联立，解得：
所以
设弦的中点M的坐标为
由垂径定理得：，即，则
由第一问知，圆心坐标为
所以，整理得：
故中点M的轨迹方程为