高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品课后练习题

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【夯实基础】
题型1 两圆的位置关系
1.圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．内含
【答案】A
【分析】由两圆方程确定两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心坐标为，半径，
方程可化为，
所以圆的圆心坐标为，半径，
所以两圆的圆心距为，
又，
所以圆与圆相交.
故选：A.
2.．圆A：与圆B：的位置关系是（ ）
A．内切B．外切
C．相交D．外离
【答案】D
【分析】根据两个圆的圆心距，大于两个圆的半径之差而小于两个圆的半径之和，可得两个圆相交．
【详解】圆，即圆，表示以为圆心、2为半径的圆．
而圆 是以为圆心、3为半径的圆，
两个圆的圆心距，大于两个圆的半径之和5，
故两个圆相离，
故选：．
3.．圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【答案】A
【分析】根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆：的圆心为，半径为.
，，
所以两圆相交.
故选：A
4.圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．相切C．相交D．内含
【答案】C
【解析】求出两圆的圆心和半径，判断圆心距和两半径和与差的绝对值的关系，即可得出结论.
【详解】化为，
圆心，半径；
化为，
圆心，半径，
，所以两圆相交.
故选:C
【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.
5.已知圆和圆，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【分析】先算出两圆的圆心坐标和半径，进而判断出两圆的位置关系.
【详解】由题意，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，而，所以，所以两圆相交.
故选：C.
6.已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【分析】求出两圆圆心距，与两圆半径和与差的绝对值比较大小，可得出结论.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为，则，故这两个圆相交.
故选：C.
题型2两圆相切问题
7.若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，再根据垂直及中点在对称轴上这两个条件，求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求得关于直线对称的圆的方程，再判断两圆的位置关系，进而可得答案．
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设圆心关于直线的对称点为，
则由，求得，故，
可得圆的方程为，
由于圆心距，满足：，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，
故选：B.
8.圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【答案】D
【解析】分别求出两圆圆心坐标和半径，比较两圆圆心距和半径的关系即可作出判断.
【详解】圆化为标准方程为：，圆心，半径，
圆化为标准方程为：，圆心，半径，
因为，，
所以，所以圆和圆的位置关系是外切.
故选：D．
9.已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（ ）
A．B．2C．或2D．1或
【答案】C
【分析】由圆心距等于两圆半径之差的绝对值可得结论．
【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，解得或．
故选：C．
10.．若圆与圆相切，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】分类讨论: 当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.
①当两圆外切时，有，此时.
②当两圆内切时，有，此时.
综上，当时两圆外切；当时两圆内切.
故选：C
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.
11.圆与圆的位置关系是．
A．相交B．相离C．相切D．内含
【答案】C
【分析】根据圆心之间的距离与半径的和与差的关系判断即可
【详解】将圆的方程标准化可得，可得，圆的方程标准化可得，所以，所以，所以圆外切．
故选：C．
12.已知圆圆那么这两个圆的位置关系是
A．内含B．外离C．外切D．相交
【答案】C
【分析】分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＝R+r得到两圆的位置关系为外切．
【详解】解：由圆圆
得到圆心C1（0，﹣1），圆心C2（2，﹣1），且R＝1，r，
∴两圆心间的距离d2，
故d=R+r，
∴圆C1和圆C2的位置关系是外切．
故选C．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d＝R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d＝R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．
题型3两圆相交的有关问题
13.已知圆和圆交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案．
【详解】AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，
圆的圆心为，
圆的圆心为，
则两圆圆心所在直线的方程为，即，
即AB的垂直平分线方程是.
故选：D．
14.已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意设圆方程为:，代点即可求出，进而求出圆方程，两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程，再利用垂径定理去求弦长.
【详解】设圆的圆心为，则其标准方程为:,
将点代入方程，解得,
故方程为:,
两圆,方程作差求得两圆公共弦所在直线方程为:，
圆心到该直线的距离为,
因此公共弦长为,
故选：A.
【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆，圆与圆位置关系，直线与圆相交求弦长时，常利用垂径定理，考查学生的转化与运算能力，属于中档题..
15.已知圆与圆关于轴对称，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由已知圆的方程，得到已知圆的圆心坐标与半径，再由已知圆与所求圆的对称关系，得到所求圆的圆心与半径，即可得出结果.
【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为，
又圆与圆关于轴对称,
所以圆的圆心坐标为，半径为；
因此圆的方程为：.
故选：B
【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记即圆与圆位置关系即可，属于基础题型.
【能力提升】
单选题
1.已知圆与圆，则两圆（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【答案】C
【分析】求出两圆的圆心与半径，根据圆心距与半径和的大小关系可得答案.
【详解】圆，圆心，半径
圆，圆心，半径，
所以
所以两圆外切.
故选：C
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，同时考查了由圆的标准方程求圆心与半径，属于基础题.
2.圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．内切D．外离
【答案】A
【分析】根据两圆的圆心距离以及半径之和和半径之差的关系，即可判断.
【详解】的圆心记为，半径，
将化成标准式为：，故得圆心，半径，
则两圆的圆心的距离,
由于 ，故两圆相交，
故选：A
3.已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．内切D．外切
【答案】D
【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案．
【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为2；
圆的圆心坐标，半径为3．
由，
所以两圆的位置关系是外切．
故选：D．
【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，是基础题．
4.已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于
A．14B．34C．14或45D．34或14
【答案】D
【分析】先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.
【详解】设圆､圆的半径分别为､.圆的方程可化为，
圆的方程可化为.
由两圆相切得，或，
∵，
∴或或或(舍去).
因此， 解得a=34
或 解得
故选:D.
【点睛】本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.
5.圆：与圆：的公切线有（ ）
A．条B．条C．条D．条
【答案】D
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
【详解】两圆的圆心分别是，，半径分别是，；
两圆圆心距离：，说明两圆相离，
因而公切线有四条．
故选：．
6.两圆和的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
【答案】C
【分析】计算出两圆圆心距，再将圆心距与两圆半径差的绝对值和两圆半径和进行大小比较，可得出两圆的位置关系.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，两圆圆心距为，，
因此，两圆和相交.
故选C.
【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，一般利用圆心距与两圆半径差与和的绝对值进行大小比较，利用几何法来进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7.已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【分析】根据题意设出动圆圆心坐标,分外切和内切两种情况讨论,列出符合题意的方程化简即可.
【详解】解:由题不妨设动圆圆心为,
若动圆与已知圆外切,
则,
,
若动圆与已知圆内切,
则,
.
故选：D
8.若圆与圆相切，则实数a的值为（ ）．
A．或0B．0C．D．或
【答案】D
【分析】根据给定条件求出两圆圆心距，再借助两圆相切的充要条件列式计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
而，即点不可能在圆内，则两圆必外切，
于是得，即，解得，
所以实数a的值为或.
故选：D
多选题
9.若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（ ）
A．7B．C．－2D．1
【答案】AD
【分析】首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．
因为两圆没有公共点，所以两圆相离或内含，所以或，
所以或，解得或或0＜a＜2．
故选：AD
10.已知圆直线则（ ）
A．圆的圆心坐标为，半径为5
B．直线过定点
C．直线被圆所截得的弦长最小值为
D．圆与圆外切
【答案】BD
【分析】根据圆心的标准方程直线判断圆心和半径，即可判断A；分离参数，求两直线的交点，即可求定点坐标，即可判断B；首先判断定点与圆的位置关系，利用弦长公式，即可判断C；求圆心距，利用判断两圆位置关系的公式，即可判断D.
【详解】A.由圆的标准方程可知，圆心坐标为，半径为5，故A错误；
B．直线，
联立，解得：，所以不管为何值时，点都满足直线的方程，即直线过定点，故B正确；
C.因为直线过定点，且定点在圆内，所以当点是弦的中点时，此时弦长最小，并且设，此时是圆心到直线的距离，，
所以弦长的最小值为，故C错误；
D.已知圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，故D正确.
故选：BD
11.以下四个命题表述正确的是（ ）
A．与圆关于直线对称的方程为
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】CD
【分析】由圆心是否关于直线对称可确定选项的正误，由两圆相交求得的范围可确定B的正误，求得圆心到直线的距离可确定满足C选项的点的个数，由直线与圆的性质可讨论D中线段的最小值，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由于点与点的中点不在直线上，
故圆心不关于直线对称，两个圆不关于直线对称，故选项A不正确；
对于B：由：可得，圆心，半径，由：可得，所以，圆心，半径，若两圆恰有四条公切线，则可得：，所以，故选项B不正确；
对于C：圆心到直线的距离，故圆上存在三点到直线的距离是，故选项C正确；
对于D：由题意可得，所以即，当最小时，最小，最小值为到直线的距离，即，故的最小值为，故选项D正确，
故选：CD.
12.已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ）
A．两圆有两条公切线B．直线的方程为
C．线段的长为D．圆上点，圆上点，的最大值为
【答案】AD
【解析】由圆与圆相交可判断A；两圆方程作差可判断B；利用垂径定理可判断C；转化为圆心间的距离可判断D.
【详解】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆，圆，
两圆作差得即，
所以直线的方程为，故B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
对于D，圆的圆心，半径为1，
所以，故D正确.
故选：AD.
填空题
13.写出以原点为圆心且与圆C：相切的一个圆的标准方程为________．
【答案】或
【分析】根据两圆内切与外切的条件求解即可.
【详解】圆C：的圆心为，半径为1．
因为两圆圆心距为，
故若两圆外切，则所求圆的半径为，其标准方程为；
若两圆内切，则所求圆的半径为，其标准方程为．
故答案为：或
14.圆与圆的公切线方程为__________．
【答案】
【分析】由题意可判断两圆内切，求出切点即可得切线方程．
【详解】解：圆，即，
得,
所以
故两圆内切，公切线只有一条，与两圆圆心的连线即x轴垂直，
由得
所以切点为，
故公切线方程为．
故答案为：．
15.圆与圆的公共弦长为___________.
【答案】6
【分析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到此直线的距离，然后可得答案.
【详解】因为圆与圆
所以两式相减得
圆到直线的距离为1
所以公共弦长为
故答案为：6
16.过原点作圆的两条切线，设切点分别为,则直线的方程是 ______．
【答案】
【分析】直线可看作已知圆与以为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可．
【详解】解：圆可化为
圆心，半径为，
过原点作的切线，切点分别为，，
直线可看作已知圆与以为直径的圆的交线，
以为直径的圆的方程为，
即，
两式相减得，
即直线的方程为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键．
解答题
17.已知圆，
（1）若直线过定点，且与圆C相切，求的方程.
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】（1）将的斜率分成存在和不存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径，求得的方程.
（2）设出圆的圆心，利用两圆外切的条件列方程，由此求得圆心的坐标，进而求得圆的方程.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为.当直线斜率不存在时，即直线，此时直线与圆相切.当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，由于与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即，即，解得，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
（2）由于圆圆心在直线上，设圆心，圆的半径，由于圆与圆外切，所以，即，即，解得或.所以圆心或.所以圆的方程为或.
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查直线方程和圆的方程的求法，属于基础题.
18.已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线.
（1）求的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点，
（ⅰ）证明：直线过定点，并求该定点坐标；
（ⅱ）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）以为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点；（ⅱ）存在，.
【分析】（1）设，用坐标表示距离比，化简后可得，由方程可得曲线形状．
（2）（ⅰ）由、、、四点共圆（以为直径），、在以为直径的圆上，两圆方程相关可得直线方程，由方程得定点坐标；
（ⅱ）由得点在以为直径的圆周上，这样易得的面积最大值，求得点坐标后可得点坐标．
【详解】（1）设，由，得.
化简得，即.
故曲线是以为圆心，半径为2的圆.
（2）（ⅰ）证明：
由题意知，、与圆相切，、为切点，
则，，
则、、、四点共圆，、在以为直径的圆上（如图）.
设，又，
则的中点为，.
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，①
（也可用圆的直径式方程化简得.）
又、在上， ②
由两圆方程作差即②①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标原点.
（ⅱ），
因为，所以点在以为直径的圆周上，
故，即，此时，
又由点，，三点共线，所以，，
所以，即.
19.已知两圆和.
（1） 判断两圆的位置关系；
（2） 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
【答案】（1）两圆相交；（2）公共弦所在的直线方程为,公共弦长为.
【解析】（1）先求出的大小，再比较它们的关系即得解；
（2）两圆作差得公共弦所在的直线方程，再求出公共弦长.
【详解】（1）由题意可知：圆心，半径；圆心，半径
两圆心距离
且满足.
所以，两圆相交.
（2）两圆作差得公共弦所在的直线方程为.
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为.
【点睛】本题主要考查两圆位置关系的判定，考查两圆公共弦所在直线方程的求法和公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20.已知圆与圆.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程；
(3)在平面上找一点，过点引两圆的切线并使它们的长都等于.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）计算两圆圆心间的距离，根据半径的和与差证明两圆位置关系；
（2）对应相减两圆的方程，即可得公共弦方程；
（3）利用切线长公式列方程，解方程即可.
【详解】（1）圆，即，圆心，半径；
圆，即，圆心，半径，
所以两圆圆心间距离，
又，
所以两圆相交；
（2）由（1）结论，联立两圆方程，得，
所以公共弦方程为：.
（3）设点，
则引圆的切线，其切线长为，
引圆的切线，其切线长为，
解得：或，
所以点或.
3