高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程精品精练

2.4.2圆的一般方程同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若圆被直线l：平分，则的值为   

A. 6 B. 2 C. 8 D. 4

2. 已知为圆上任意一点，则的最大值为 

A. 2 B.  C.  D. 0

3. 点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于       

A.  B.  C. 3 D. 1

4. 已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是

A. 或
B.
C. 或
D.

5. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 已知点和圆C：，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是

A.  B. 8 C.  D. 10

7. 若方程表示圆，则实数k的取值范围是   

A.  B.  C.  D. R

8. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，面积的最大值是   

A.  B.  C.  D.

9. 过点作直线l交圆C：于M，N两点，设，则实数的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

10. 若直线与圆交于两点，关于直线对称，则实数m的值为   

A. 1 B.  C.  D. 3

11. 下列关于圆的说法中，一定正确的是   

A. 的圆心是
B. 的半径是
C. 的圆心是
D. 且的半径是

12. 过三点的圆交y轴于两点，则   

A. 8 B. 10 C.  D.

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为          ．
14. 已知点，，平面内的动点P满足，则点P的轨迹形成的图形面积是          ．
15. 动圆恒过定点，写出这个定点的坐标           ．
16. 以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数的动点M的轨迹．若已知，，动点M满足，此时阿波罗尼斯圆的方程为          ．
17. 已知直四棱柱的棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为          ．
18. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是          

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 求经过三点，，的圆的方程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，，．

求点A到直线BC的距离；

求的外接圆的方程．






 

21. 已知方程表示一个圆．
    求实数m的取值范围；
    求半径R的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知圆C的方程为．
    求圆心C的轨迹方程；
    当OC最小时，求圆C的一般方程为坐标原点．
    
    
    
    
    
    
     
23. 一束光线l自发出，射到直线m：上，被直线m反射到圆上的点B．

当反射光线通过圆心C时，求反射光线的方程；
求光线由A到达B的最短路径的长．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的对称性，属于基础题．
求出圆的圆心坐标，代入直线方程，化简即可得答案．

【解答】

解：因为圆被直线l：平分，

所以直线l：经过圆心，

因为圆圆心坐标为，代入直线方程得，

故选：C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，属于中档题．
根据题意，求出圆心与半径，表示点与连线的斜率，结合图形，转化为点到直线的距离，即可求出结果．

【解答】

解：依题意，圆C：的标准方程是，
圆心是，半径，
是圆C上任意一点，表示点与连线的斜率，
如图所示：

数形结合可得，当过点A的直线在图中的位置与圆相切时，取得最大值，
设此时直线的斜率是k，
则直线方程是，即，
此时圆心到直线的距离等于半径，
，解得：或，
显然，
的最大值是．
故选B．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径即可．

【解答】

解：的圆心坐标，
因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线l：对称，
所以直线l：经过圆心，所以，解得，
所以圆的方程为：，
即，
所以圆的半径为3．
故选C．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查圆与圆相切时所满足的条件，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．
由圆A的方程找出圆心坐标和半径R，又已知动圆的半径r，分两种情况考虑，当动圆与圆A内切时，圆心的运动轨迹是以A为圆心，半径为的圆；当动圆与圆A外切时，圆心的轨迹是以A为圆心，半径为的圆，分别根据圆心坐标和求出的圆的半径写出圆的标准方程即可．

【解答】

解：由圆A：，得到圆心A的坐标为，半径，且动圆的半径，
根据图象可知：

当动圆与圆A内切时，圆心的轨迹是以A为圆心，半径等于的圆，
则动圆的方程为：；
当动圆与圆A外切时，圆心的轨迹是以A为圆心，半径等于的圆，
则动圆的方程为：．
综上，动圆圆心的轨迹方程为：或．
故选C．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是基础题．
结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可．

【解答】

解：如图所示：
，
半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离最小时，
连接OB，A在OB上且，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：A．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查光线的反射定律的应用，以及圆的标准方程、两点间的距离公式的应用．
点关于x轴的对称点在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为．

【解答】

解：由反射定律得点关于x轴的对称点在反射光线上，当反射光线过圆心时，

 最短距离为，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为8．
故选B．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于基础题．
二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出k的取值范围．

【解答】

解：二元二次方程表示圆的充要条件是，
所以．
故选A．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查轨迹方程求解、圆有关的最值问题，属于中档题．
设，，，结合题意可得，当点P到轴距离最大时，面积的最大值．

【解答】

解：设，，，
则，化简得，

当点P到轴距离最大时，面积的最大值，
面积的最大值是．
故选A．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆中的最值的求法，属于中档题．
可先判断A与圆的位置关系，进而判断的符号，再转化为的范围求解即可．

【解答】

解：因为，
所以点A在圆C：内，则反向，
所以，由得，
因为圆C：方程为，其半径为，
当直线过点A与圆心时，与分别取最大值与最小值，
所以，即，
所以，
故选A．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的对称性的应用，属于基础题．
根据题意得到直线过圆的圆心，列出式子解出即可得到结果．

【解答】

解：由题意，得直线是线段AB的中垂线，
所以直线过圆的圆心，
圆的圆心为，
，解得．
故选：A．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的一般方程化标准方程，利用配方分式是解决本题的关键，属于中档题．
利用配方法即可得到圆的标准方程，进而求出圆的圆心和半径．

【解答】

解：由，得，圆心为，故A错误；
B.由，得，
圆心为，半径为，故B正确；
C.由，得，圆心为，故C错误
D.由，得，
圆心为，半径为，故D错误．
故选B．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查圆的一般方程，考查两点间的距离，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键，属于中档题．
设圆的方程为，代入点的坐标，求出D，E，F，则圆的方程可得，令，即可得出结论．

【解答】

解：设圆的方程为，
则，解得
圆的方程为，
令，得，
，
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的方程的求法，是中档题．
方法一：根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．
方法二：设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．

【解答】

解：方法一：根据题意画出图形如图所示，

结合图形知经过三点，，的圆，
其圆心为，半径为1，
则该圆的方程为．
方法二：设该圆的方程为，
则，
解得，；
所求圆的方程为，
即．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查轨迹方程的求法，是基础题．
由题意，直接求出点P的轨迹方程，面积则可求．

【解答】

解：设动点P的坐标为，
则，
化简得．
则，
则点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
则其面积为．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
本题考查动圆经过的定点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．

【解答】

解：，
，
，
解得，，
定点的坐标是．
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了动点轨迹方程的求法，考查了学生的分析能力和对知识的运用能力，属于中档题．
先设，再根据动点M满足，然后运用两点间的距离公式带入动点M满足的等式，整理出x、y满足的关系即可．

【解答】

解：设，
满足，且，，
，整理得：，
故答案为．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，属于难题．
画出直观图，建立如图所示的坐标系，设出P的坐标，通过求出P的轨迹方程，然后求解以为球心，为半径的球面与侧面的交线长．

【解答】

解：由题意直四棱柱的棱长均为2，可知：，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则．
由题意可知．
可得：．
即，
所以P在侧面的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆弧．

以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为：．
故答案为：．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了与圆相关的轨迹问题，属于基础题．
设圆上任一点为，PQ的中点为，用x，y表示出，，代入圆的方程从而求解．

【解答】
解：设圆上任一点为，PQ的中点为，

则，解得
点Q在圆上，
，
即，
即．
故答案为．

19.【答案】解：设圆的方程为，
因为圆经过，，
所以
解得
所以所求圆的方程为．
 

【解析】本题考查待定系数法求圆的方程，圆的一般方程，属基础题．
设圆的方程为，代入已知点即可求解．
 

20.【答案】解：因为，

由得直线BC的方程为 

所以点A到直线BC的距离．

设外接圆的方程为，

由题意，得

解得 ．

即的外接圆的方程为．

【解析】本题主要考查的是点到直线的距离及圆的方程的求法．
先求出直线BC的方程，再求点A到直线BC的距离；
利用待定系数法可先设外接圆的方程为，再将A，B，C点坐标代入求出系数D，E，F，即可得解．
 

21.【答案】解：根据题意，，
即，
若方程表示一个圆，
则有，解得，
即实数m的取值范围是；
根据题意，由的结论，
圆的半径
，
当且仅当时，半径R取得最大值．
 

【解析】本题考查圆的一般方程，涉及二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
根据题意，将圆的一般方程化为标准方程可得，分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
根据题意，由圆的半径，结合二次函数的性质分析可得答案．
 

22.【答案】解：设圆心，则
消去m，得．

圆心C的轨迹方程为．

当OC最小时，直线OC与直线垂直，
直线OC的方程为．

由得，
即OC最小时，圆心C的坐标为，
．
圆C的方程为，
故圆C一般方程为．

【解析】本题考查圆的一般方程，属于基础题．
消去参数m可得圆心C的轨迹方程为；
当OC与直线垂直时，OC最小，求出C的坐标得到m的值，即可化为圆的一般方程．
 

23.【答案】解：圆的标准方程为：，

所以圆心为，半径，

设A关于直线m：的对称点，
则，

解得，
可得，

即有过C，的方程：，

即反射光线方程为；

由可得，

则连接，交圆于B，即为最短路程，
．
故光线由A到达B的最短路径的长为4．

【解析】本题考查点关于直线的对称，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．
由题意，利用物理的光学知识可知入射光线上的任意一点关于直线m对称的点必在其反射线上，设A关于直线m的对称点为，求出对称点，由于反射线过圆心，然后由反射光线上已知两点写出所求的直线方程； 
由得A关于直线m的对称点为，由对称性可知，所求光线传播到圆的路径长，要使得其最小，则过圆心C时，满足条件，根据两点间的距离公式可求．