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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案及答案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案及答案，文件包含双曲线教师版docx、双曲线学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
双曲线
学习目标
1．掌握双曲线的定义和双曲线的标准方程并会求解相关基本量．
2．掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题．
3．掌握双曲线焦点三角形面积的计算方式及运用．
4．掌握双曲线的焦半径公式的使用方法．
【备注】1．本节重点是掌握双曲线的定义及标准方程（特别是
之间的关系），会将双曲线的一
般方程转化为标准方程，掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题（特别是离心率相关问题），掌握双曲线中有关焦点三角形与焦半径的求解技巧；难点是双曲线的性质、焦点三角形与焦半径在解题过程中一些技巧的应用．
2．关联知识：椭圆、抛物线、直线与圆.
一、 双曲线及其方程
1. 双曲线的定义
双曲线的定义
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹（或集
合） 叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
双曲线定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）定义中“小于”这个条件不能去掉，因为：
①若“”，则点的轨迹是 射线 或 ；
②若“”，则点的轨迹 不存在 ；
③若“”,则点的轨迹就是 线段 的垂直平分线 .
经典例题
1. 已知平面中的两点，，则满足的点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆B. 双曲线C. 一条线段D. 两条射线
1
【备注】本题考查双曲线的定义，注意与比较
【答案】B
【解析】根据双曲线定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线 .
故选 ．
【标注】
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知两定点，，动点 满足，则当和 时， 点的轨迹是（
）．
A. 双曲线和一条直线B. 双曲线和一条射线
C. 双曲线的一支和一条射线D. 双曲线的一支和一条直线
【备注】本题考查双曲线的定义及定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）若“”，则点的轨迹是射线 或 .
【答案】C
【解析】当时，，根据双曲线的定义，它表示双曲线的右支；
当时，， 、 、 三点共线，它表示以 为端点的射线．
【标注】【知识点】求点的轨迹
巩固练习
1. 平面内，一个动点 ，两个定点 ， ，若为大于零的常数，则动点 的轨迹为（ ）．
A. 双曲线B. 射线
C. 双曲线的一支或射线D. 线段
【答案】C
【解析】根据双曲线定义，为，当即时，点 为双曲线上的点
又因为
【标注】
所以点 为双曲线上一支的动点，当
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
时， 为一条射线．
2. 两定点、的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是．
【答案】双曲线
【标注】【素养】直观想象；逻辑推理；数学运算
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点
，右焦点
，如图1．
图1图2
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点
，下焦点
，如图2．
之间满足的关系式为．
判断双曲线焦点位置的方法
①焦点在 轴上，则 项的系数为正；②焦点在 轴上，则 项的系数为正.
经典例题
1. 双曲线上一点 到一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查双曲线的定义及基本量；首先根据双曲线的标准方程找到 的值，再根据双曲线的
定义得到关系式，求解即可；
这里注意求带绝对值的方程将两边平方求解
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，两焦点 与 到点 的距离之差的绝对值为 ，
即，
又因为，
故，
即，
故或（舍），
故选 ．
【标注】
【知识点】双曲线的定义
2. 若曲线表示双曲线，则 的取值范围是．
【备注】根据双曲线的标准方程， 与 的系数异号，列不等式可求解.【答案】
【解析】∵曲线表示双曲线，
∴，
∴ 的取值范围是．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
3. 已知 ， 是双曲线的两个焦点，点 是双曲线上任意一点，若点 是的重心，
则点 的轨迹方程为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】本题设出点 、点 的坐标，根据重心坐标公式，用点 的坐标表示点 ，再根据点 在双
曲线上，代入方程整理即可
【答案】C
【解析】依题意有点,，设点，
则，设点，根据重心坐标公式有，即，
代入双曲线方程并简化得．
故选 ．
【标注】
【知识点】求曲线方程的问题
4.表示的曲线方程为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】本题根据给的式子，表示动点到与的距离之差的值等于 ,并且两个定点的距
离大于 ,可判断其为双曲线，又因为整体没有加绝对值，所以是双曲线的一支
【答案】C
【解析】根据几何意义，表示动点到与的距离之差等于 （且两个定点的距离大于
）的集合，根据双曲线定义可知，，，所以，由焦点在 轴上，所以
，且到点的距离比较大，所以，即曲线方程为．
故选 ．
【标注】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
5. 若点在双曲线上，则的最小值是．
【备注】本题根据双曲线方程将所求式子转化为关于 的函数，再根据二次函数的图象与性质求解最
小值即可
【答案】
【解析】点在双曲线上，故，
进而得到：，
二次函数对称轴为，
结合二次函数图像及性质可知最小值为
时对应的值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
6. 设 为坐标原点，直线与双曲线 ：的两条渐近线分别交于 ， 两点，
若的面积为 ，则双曲线 的焦距的最小值是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】根据双曲线渐近线公式可求得 、 两点的坐标，表示出三角形面积，再根据 、 、 的关
系，利用均值不等式求最值即可
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线为，
∴，，
∵面积为 ，
∴，即，
∵，
∴．
注：当且仅当时，等号成立，即双曲线焦距最小值为 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题；双曲线的标准方程
7. 已知 是双曲线的左焦点，定点， 是双曲线右支上的动点，则的最小
值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】设双曲线的右焦点为 ,首先根据双曲线的定义将转化为,再根据
三点共线时取得最小值求解即可
【答案】D
【解析】∵ 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为，
∴由双曲线定义可得，，
而，
两式相加得，
当且仅当 、 、 三点共线时等号成立．
则的最小值为 ．
故选 ．
【标注】
【知识点】利用双曲线定义求线段最值
巩固练习
1. “”是“方程表示双曲线”的（ ）．
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示双曲线，
则，解得或，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选 ．
【标注】
【知识点】充要条件与解析几何结合；双曲线的标准方程
2.
平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
A.B.
C.或D.或
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知，，；，，注意坐标轴的不同建立．
【标注】【知识点】双曲线的定义；求曲线方程的问题
3.
设双曲线
的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则
的最小值等于．
【答案】
【解析】
根据双曲线
，得：
，
，
由双曲线的定义可得：①，
②，
① ②可得：，
∵过双曲线的左焦点 的直线交栓曲线的左支与 ， 两点，
∴，
当 是双曲线的通径时 最小，∴
，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
4.
已知双曲线．
（ 2 ） 为双曲线 右支上一动点， 点 的坐标是
，求 的最小值 ．
【答案】（ 1 ）双曲线的标准方程为（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）由题可设所求双曲线的方程为
或
，
．
①当时， 方程为，
令得，
即双曲线方程为，
②当时， 方程为，
令得，
即双曲线方程为，
（ 2 ）
双曲线的标准方程为
设，满足
或
，
．
则
，
当
时， 有最小值 为
．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题；双曲线共渐近线问题
5. 已知双曲线的左焦点为 ，点 为其右支上任意一点，点 的坐标为，则周长
的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】y
x
O
设双曲线右焦点为 ，
周长
．
∵在双曲线中，
，
∴，
∴周长为，
∵，．
∴，
∴周长最小，即最小，
易知两点之间线段最短，
即
，
∴周长最小为．
故选 ．
【标注】
【知识点】利用双曲线定义求线段最值
6. 已知双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则的最小值为
．
【答案】
【解析】
根据题意，设
，
易得，，
故，
又，故，
于是，
当时，取到最小值 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
3. 双曲线的一般方程
双曲线的一般方程
当时，方程可以变形为，由此可以看出方程表示双
曲线的充要条件是且 异号 .
此时为双曲线的一般方程.
双曲线一般方程的应用
当题目中给定的条件为双曲线上的两点坐标，但不确定双曲线的焦点位置的，求双曲线方程时，可以设
，将其化为标准方程，即为.
因此，当时，表示焦点在 轴上的双曲线；当时，表示焦点在 轴上的双曲线.
经典例题
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（ 1 ）过点，且焦点在坐标轴上．
【备注】已知双曲线上两点求解标准方程，可以设双曲线的方程为，再代入两
点列方程组求解.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【解析】（ 1 ）设双曲线方程为
．
∵ 、 两点在双曲线上，
∴，解得．
∴所求双曲线方程为．
（ 2 ）∵焦点在 轴上，，
∴设所求双曲线方程为：（其中），
∵双曲线经过点，∴，
∴或（舍去），
∴所求双曲线方程是．
（ 3 ）方法 ：的焦点为，又点在双曲线上，
故
，
∴，，，
又焦点在 轴上，
故所求的双曲线方程为
．
方法 ：设所求双曲线方程为，
∵双曲线过点，
∴，
∴或（舍去），
∴所求双曲线方程为．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题；双曲线的定义；双曲线的标准方程
2. 双曲线的一个焦点为，则 的值为．
【备注】本题考查双曲线的一般方程与标准方程的转化；
方程可化为，再根据的关系求得 ，即可得到焦点坐标（要注意焦点所在的
轴）.
【答案】
【解析】
【标注】
由题意知焦点在 轴上，则
【知识点】双曲线的标准方程
，所以
，解得
．
巩固练习
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（ 3 ）过点，且焦点在坐标轴上．
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【解析】（ 1 ）当焦点在 轴上时，设所求双曲线的标准方程为
，
把代入，得，不符合题意；
当焦点在 轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把代入，得．
∴所求双曲线的标准方程为．
（ 2 ）方法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为，
∴，即，①
∵双曲线经过点，
∴．②
由①②，解得
，
，
∴双曲线的标准方程为．
方法二：设所求双曲线的方程为，
∵双曲线经过点，
∴，解得或（舍去），
∴双曲线的标准方程为．
（ 3 ）设双曲线的方程为，
∵点 ， 在双曲线上，∴
解得
∴双曲线的标准方程为
．
【标注】【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；求曲线方程的问题
2. 双曲线的一个焦点是，那么．
【答案】
【解析】
由题意可知焦点在 轴上，且
，根据
可求 ．
由双曲线方程，得，∴，．
所以，解得．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
4. 知识总结
（一）双曲线的定义
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于
且不等于零）的点的轨迹（或集
合） 叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
（二）双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点，右焦点
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点
，下焦点
，如图2．
之间满足的关系式为．
（三）双曲线的一般方程
当时，为双曲线的一般方程.
二、 双曲线的性质
1. 基本性质
（1）范围
由方程可知，双曲线 上任意一点的坐标都适合不等式
，即，解得或．
因此双曲线 位于两条直线和所夹平面区域的外侧，如下图：
【备注】这里以焦点在 轴的标准方程为例讲解.
如果焦点在 轴上，则图象位于和外侧，.
（2）对称性
双曲线 是 以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形 ．这个对称中心叫做双曲线的中心．
（3）顶点
如下图，双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
双曲线 的顶点是和，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段叫做双曲
线的 实轴 ，它的长度等于 ．在 轴上作点，，线段叫做双曲线的 虚轴 ，它的
长度等于 .
相应地， 和 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
【备注】标准方程中，
令，可知双曲线 与 轴有两个交点，分别是和．
令，得，这个方程没有实数根，说明双曲线 与 轴没有公共点．
（4）渐近线
焦点在 轴上的双曲线
的渐近线方程是
；
焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程是．
①共渐近线的双曲线方程的统一表示
与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为，代
入条件求出 即可．
②由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为
，则可以设双曲线方程为
，再利用已知条件求出
参数 即可．
【备注】下面研究双曲线与一对相交直线
的位置关系．
由于双曲线与都是关于原点呈中心对称的，因此我们把注意力集中在第一象限即
可．
此时双曲线方程可等价变形为，
，这说明在第一象限内，双曲线 上的任意一点
总是位
于直线的下方．
由此可见，此双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线
下方，且与直线
越来越接近，但不会相交（根据对称性，其它三个象限也有同样的状况），我们称
这种微妙的关系为“渐近”．
焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程是；
焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程是．
（5）离心率
双曲线的焦距与实轴的比
，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由可得；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 开阔 ．
【备注】（1）对于给定的双曲线来说，已有若干个关系式，则四个参数中知道两个可求解另
外两个．
（2）关于求解离心率范围的问题，其实可以转化为确定 与 的比例问题，进而转化为研究
三个参数中任意二者的比例问题．
（3）由关系式．因此 越大， 也越大，
即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭变得开阔．最终结论
就是：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
【双曲线性质对比】在讲解完性质后，可为学生总结
标准方程
F2
B2A2
图形
F1
A1
O
B1
A2
F2
B1
O
A1
B2
F1
范围
对称性
对称轴： 轴、 轴；对称中心：原点
顶点
轴
线段
是双曲线的实轴，线段
实轴长，虚轴长
是双曲线的虚轴．
渐近线直线直线
离心率
经典例题
1. 双曲线，当 变化时，以下说法正确的是（ ）．
A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变
【备注】本题将方程转化为双曲线的标准方程，分别求解选项的内容，谁是定值谁就不变【答案】C
【解析】双曲线，
当时，双曲线焦点在 轴上，标准方程为：，则
，，，
焦点坐标为：，顶点坐标为：
，渐近线方程为：
，
离心率为： ；
当时，双曲线焦点在 轴上，标准方程
为：，则
，，，
焦点坐标为：，顶点坐标为：
，渐近线方程为：
，离心率为： ，
则当 变化时只有渐近线方程不变，
综上所述．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的顶点与轴；求双曲线的离心率；求双曲线的渐
近线
2. 在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的
标准方程为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题求解应用方法一，利用由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再利用已
知条件求出参数 即可．
【答案】B
【解析】方法一：由题意，得，
∴，，
设双曲线的方程为，
将代入，得，
∴双曲线方程为．
方法二：当焦点在 轴上时，
则：渐近线，
∴，
设：，
代入，
得：，，
∴．
方法三：当焦点在 轴时，则：渐近线
，
∴，
∴设：，
代入，
得：，
∴
综上故选 ．
【标注】【知识点】已知双曲线的渐近线求其他参数；双曲线的标准方程
【素养】数学运算【思想】方程思想
3. 双曲线 过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线 的方程为．
【备注】本题考查与双曲线
具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为
，代入点的坐标求出 即可．
【答案】
【解析】
因为双曲线 与双曲线
有相同的渐近线，
所以设双曲线 的方程为，
又因为双曲线 过点，
所以，
解得，
所以，
所以双曲线 的方程为
．
【标注】【知识点】双曲线共渐近线问题；双曲线的标准方程
4. 设 为坐标原点， ， 是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点 ，满足
，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题根据双曲线的定义及余弦定理求解即可；
注：在双曲线上有时给角的度数，与余弦定理综合应用还是比较常见的，所以在此条件下
可思考是否可以应用余弦定理求解
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
①，
②，
①+②得，
即，即，所以，，故渐近线方程为．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线
5. 设双曲线的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 ， 两
点，过 ， 分别作 ， 的垂线交于点 ．若 到直线 的距离小于，则该双曲线的
渐近线斜率的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】本题采用数形结合的思想，画出草图，根据与相似，可得到
【答案】A
【解析】方法一： ， 的坐标分别为，由图像的对称性知， 点在 轴上，则根据几何关
系有
，故，
，即，，故渐近线斜率．
故选A．
方法二：如图所示，
由题意知 为双曲线的通径，所以
，则
．
又，因为，，所以点 在 轴上．
由，得，即，
所以，则由题意知，即，
所以，即，即，
所以，解得，而双曲线的渐近线斜率为 ，
所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是，
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的渐近线
6. 在平面直角坐标系 中，若双曲线（，）的右焦点到一条渐近线的距离
为，则其离心率的值是．
【备注】本题属于常考类型，求焦点到渐近线的距离，或者通过焦点到渐近线的距离求解其他问
题，本题考查求解离心率：找到双曲线的一条渐近线和双曲线的一个焦点再利用点到直线
的距离公式，写出表达式，根据的关系以及离心率的求解方法，即可求得
结论：双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于 （做小题可直接应用）
【答案】
【解析】
双曲线的一条渐近线方程为
，
则到这条渐近线的距离为，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
【标注】
．
【知识点】求双曲线的离心率
7. 已知椭圆，与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点 到双曲线的两
条渐近线的距离之和为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题可直接应用双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于 求解【答案】A
【解析】∵椭圆与双曲线有共同的焦点，
∴，
∴双曲线的焦点坐标为
，
，
设，
其渐近线方程为
，
∵焦点 到双曲线的两条渐近线的距离之和为 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率
8. 过点的直线 与双曲线 ：（,）的一条斜率为正值的渐近线平行,若双曲线
的右支上的点到直线 的距离恒大于 ,则双曲线 的离心率的最大值是．
【备注】本题比较简单，应用点斜式表示出直线方程，再利用点到直线距离公式建立关系式，再利
用双曲线中 、 、 的关系代换、变形求解即可
【答案】
【解析】由双曲线 ：（,）的渐近线方程,
可得直线 的方程为,即,
由双曲线 的右支上的点到直线 的距离恒大于 ,
可得直线 与的距离恒大于等于 ,
即有,
化简可得,
,
即,即有,
可得离心率．
则离心率的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
9. 双曲线 的焦点是 ， ，若双曲线 上存在点 ，使是有一个内角为 的等腰三角形，则
的离心率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题同样画出草图，根据所给特殊角度，求得点 的坐标，再根据点 在双曲线上，代入方
程，根据双曲线中 、 、 的关系，代换变形求解即可
【答案】C
【解析】由题双曲线 的两焦点分别为 ， ，若在双曲线 上存在点 ，使为顶角为
的等腰三角形，
∴可设等腰三角形的底为 ，等腰三角形的腰
，
经过 的直线与双曲线的交点为 ，直线的斜率为 ，
∴，代入双曲线方程可得，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率；双曲线的标准方程
10.、 为双曲线的左、右焦点，过 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点，
，则 的离心率为（ ）．
A.B.C.D. 2
【备注】法一：在中应用余弦定理求解；
法二：答案版，在直角中，表示出角 的余弦值，再利用余弦的二倍角公式求解即
可
【答案】B【解析】
由题意可知：，
．
，
可得：，
可得：，
解得或（舍去）．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率
11. 已知双曲线的离心率为，右顶点为 ，以 为圆心 为半径作圆 ，
圆 与双曲线 的一条渐近线交于 、 两点，则有（ ）．
A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为
C.D.
【备注】本题比较难，是圆与双曲线的综合；（老师可根据学生的程度选择性讲解）
本题主要思路，利用离心率，表示出 、 ；再利用 、 、 的关系，求出 ，进而表示出渐近线方程；再根据圆中弦长求解方法求解即可
【答案】BC
【解析】由题意可得，可设，， ，
则，，
圆 的圆心为，半径 为 ，
双曲线的渐近线方程为，即，
圆心 到渐近线的距离为，
弦长，
可得三角形为等边三角形，
即有，
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线；直线和双曲线的位置关系；弦长求解问题
巩固练习
1. 已知双曲线的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为
，交另一条渐近线于 ，若，则双曲线的渐近线方程为．
【答案】
【解析】
不妨设点 在第一象限，
则直线 的方程为，直线 的方程为，
又，
所以．
如图，过点 、 分别向 轴作垂线交 轴于点 、 ，
则．
由题易知，点到直线 的距离为，
则，
因为，
所以．
直线 的方程为
，即
，
与直线 的方程联立，得，
解得，，
所以，
得，，
化简得，即，
所以，
故双曲线的渐近线方程为
【标注】【知识点】双曲线的渐近线
．
2. 已知双曲线的左焦点为 ，离心率为 ，若经过 和两点的直线平行
于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点，离心率，，
则双曲线为等轴双曲线，即，
双曲线的渐近线方程为，
则经过 和两点的直线的斜率，
则，，则，
双曲线的标准方程为．
故选B．
【标注】
【知识点】已知双曲线的渐近线求其他参数；双曲线的标准方程
3. 已知 ， 分别是双曲线的左、右焦点，过 的直线与圆相切且
分别交双曲线的左、右两支于 、 两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】根据双曲线定义得，
在三角形中，
，
又 与圆
相切，
所以，
因此，
∴，
∴，
∴，（舍负），
因为双曲线的渐近线方程为
，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的渐近线
4.
设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，则，，
直线与渐近线垂直，
所以，即，得，
即，解得或(舍去)．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
5. 点到双曲线渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】不妨取一条渐近线，一般式为，点到渐近线的距离
，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率
6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的取值范围为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由点 在双曲线的右支上和双曲线的定义得，
又∵，
∴，，
在中，由（三点共线可取等号），
∴，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率范围
7. 在平面直角坐标系中，以双曲线右焦点为圆心，以实半轴 为半径的圆与其
渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是．
【答案】
【解析】
由题意圆与渐近线相交，即圆心到渐近线距离小于半径．
焦点 到渐近线距离
，即，
又由．
故双曲线离心率范围为．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】求双曲线的离心率范围
2. 双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形面积公式
双曲线的左、右焦点分别为 ， ，点 为双曲线上任意一点，，则
双曲线的焦点三角形的面积为．
【备注】推导过程
对于焦点,设
则
在
中，由余弦定理：
（
即：
①
又由于
②
所以．
焦点三角形中，常用的关系式有
①；
②；
③；
④．
经典例题
1. 已知 、 为双曲线的左、右焦点，点 在 上，，则的面积为（
）．
A.B.C.D.
【备注】本题有两种解法
方法一：求出 ，利用
求解
方法二：求出，利用求解
【答案】A
【解析】由双曲线方程可得，
，，，
∴，，
设，，
由双曲线定义可知，①，
在
中，由余弦定理可知，
②，
由①②得，，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】双曲线的焦点三角形问题（小题）
2. 设 ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线右支上且满足
，双曲线的渐近线方程为，则．
【备注】本题利用了的变形求解相关角的余弦值
1.利用题干的条件，将用 表示
2.在利用余弦定理即可得到结果
【答案】
【解析】
由双曲线的定义可知：
，
又，
∴，
由双曲线的渐近线方程得，
，
，
∴，，
由余弦定理，
．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的焦点三角形问题（小题）；已知双曲线的渐近
线求其他参数
巩固练习
1. 设经过点的等轴双曲线的焦点为 ， ，此双曲线上一点 满足，则的面积
为．
【答案】
【解析】
由题意，设双曲线的方程为
，代入点
，可得
，
∴双曲线的方程为，
即，
设，，由双曲线的定义可得①，
由 满足，可得，可得②，
∴② ① 可得，
∴的面积为．
故答案为： ．
【标注】【知识点】面积问题；双曲线的焦点三角形问题（小题）
2. 已知 、 为双曲线 ：的左、右焦点，点 在 上，，则（
）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
由题可知，，
所以，，
由余弦定理可知
【标注】【知识点】双曲线的焦点三角形问题（小题）
3. 双曲线的焦半径
．
双曲线的焦半径公式：(,)
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
【备注】焦半径公式的推导过程：
双曲线
的左右焦点分别为
，
设双曲线右支上任一点
则
因为，则
则
同理可推导．
，
同理在左支上一点的焦半径也可推导.
经典例题
已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线右支上的一点，且
．若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．
【备注】本题老师使用焦半径公式给学生求解：
1.由题意设点，则；
2.根据题意且为等腰三角形，可列式
①或②
3.消去 可求解离心率，由于离心率的范围，情况②要舍去.
【答案】
【解析】 为双曲线右支上一点，
则由双曲线的定义可得，
，
由，则，，
由为等腰三角形，则或，
即有或（舍去），即有．
故答案为 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
巩固练习
已知双曲线
的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的最大值为．
【答案】
【解析】
方法一：设
，由焦半径得
，
，
∴，化简得，
∵ 在双曲线的右支上，
∴，所以，即 的最大值是 ．
故答案为： ．
方法二：由定义知
，又已知
，解得
，
，
，从而只要，就能得到 点存在，解得，
等号可以取到，即 的最大值为 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
4. 知识总结
双曲线的性质
若双曲线方程
（一）范围：或
（二）对称性：双曲线 是 以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图
形
（三）顶点:
双曲线 的顶点是和，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段叫做双曲
线的 实轴 ，它的长度等于 ．在 轴上作点，，线段叫做双曲线的 虚轴 ，它的
长度等于 .
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
（四）渐近线
焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程是；
焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程是．
（五）离心率
双曲线的焦距与实轴的比
，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由可得；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 开阔 ．
（六）双曲线的焦半径
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
（七）双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形的面积为
．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
1. 已知，，，当和 时，点 轨迹分别为（ ）．
A. 双曲线和一条直线B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线一支和一条直线D. 双曲线一支和一条射线
【答案】B
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知双曲线的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上，是边长为 的等
边三角形（ 为原点），则双曲线的方程为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】双曲线（，）的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上，是边
长为 的等边三角形（ 为原点），
可得，，即
，，
解得，，双曲线的焦点坐标在 轴，所得双曲线方程为：．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的定义
3. 若双曲线（，）的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点，且，
则该双曲线离心率 的取值范围是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设 ， 分别是左右焦点，则点 为右支上一点，如图．依
据双曲线定义知，则，则
，所以．∴，又，则．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率范围
4. 已知 是双曲线的左焦点， 是该双曲线的右顶点，过点 且垂直于 轴的直
线与双曲线交于 ， 两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围为．
【答案】
【解析】
根据双曲线的对称性，得
中，，
是锐角三角形，即
为锐角，
y
Ox
由此可得中，，
得，
∵，，
∴，即，
两边都除以 ，得，解之得，
∵双曲线的离心率，
∴该双曲线的离心率 的取值范围是
．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
36
双曲线
学习目标
1．掌握双曲线的定义和双曲线的标准方程并会求解相关基本量．
2．掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题．
3．掌握双曲线焦点三角形面积的计算方式及运用．
4．掌握双曲线的焦半径公式的使用方法．
【备注】1．本节重点是掌握双曲线的定义及标准方程（特别是
之间的关系），会将双曲线的一
般方程转化为标准方程，掌握双曲线的性质并会解决相关数学问题（特别是离心率相关问题），掌握双曲线中有关焦点三角形与焦半径的求解技巧；难点是双曲线的性质、焦点三角形与焦半径在解题过程中一些技巧的应用．
2．关联知识：椭圆、抛物线、直线与圆.
一、 双曲线及其方程
1. 双曲线的定义
双曲线的定义
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹（或集
合） 叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
双曲线定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）定义中“小于”这个条件不能去掉，因为：
①若“”，则点的轨迹是 射线 或 ；
②若“”，则点的轨迹 不存在 ；
③若“”,则点的轨迹就是 线段 的垂直平分线 .
经典例题
1. 已知平面中的两点，，则满足的点 的轨迹是（ ）．
A. 椭圆B. 双曲线C. 一条线段D. 两条射线
1
【备注】本题考查双曲线的定义，注意与比较
【答案】B
【解析】根据双曲线定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线 .
故选 ．
【标注】
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知两定点，，动点 满足，则当和 时， 点的轨迹是（
）．
A. 双曲线和一条直线B. 双曲线和一条射线
C. 双曲线的一支和一条射线D. 双曲线的一支和一条直线
【备注】本题考查双曲线的定义及定义的重要解读
（1）定义中的绝对值不能去掉，否则动点的轨迹为双曲线的一支；
（2）若“”，则点的轨迹是射线 或 .
【答案】C
【解析】当时，，根据双曲线的定义，它表示双曲线的右支；
当时，， 、 、 三点共线，它表示以 为端点的射线．
【标注】【知识点】求点的轨迹
巩固练习
1. 平面内，一个动点 ，两个定点 ， ，若为大于零的常数，则动点 的轨迹为（ ）．
A. 双曲线B. 射线
C. 双曲线的一支或射线D. 线段
【答案】C
【解析】根据双曲线定义，为，当即时，点 为双曲线上的点
又因为
【标注】
所以点 为双曲线上一支的动点，当
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
时， 为一条射线．
2. 两定点、的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是．
【答案】双曲线
【标注】【素养】直观想象；逻辑推理；数学运算
【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点
，右焦点
，如图1．
图1图2
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点
，下焦点
，如图2．
之间满足的关系式为．
判断双曲线焦点位置的方法
①焦点在 轴上，则 项的系数为正；②焦点在 轴上，则 项的系数为正.
经典例题
1. 双曲线上一点 到一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦点的距离为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查双曲线的定义及基本量；首先根据双曲线的标准方程找到 的值，再根据双曲线的
定义得到关系式，求解即可；
这里注意求带绝对值的方程将两边平方求解
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，两焦点 与 到点 的距离之差的绝对值为 ，
即，
又因为，
故，
即，
故或（舍），
故选 ．
【标注】
【知识点】双曲线的定义
2. 若曲线表示双曲线，则 的取值范围是．
【备注】根据双曲线的标准方程， 与 的系数异号，列不等式可求解.【答案】
【解析】∵曲线表示双曲线，
∴，
∴ 的取值范围是．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
3. 已知 ， 是双曲线的两个焦点，点 是双曲线上任意一点，若点 是的重心，
则点 的轨迹方程为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】本题设出点 、点 的坐标，根据重心坐标公式，用点 的坐标表示点 ，再根据点 在双
曲线上，代入方程整理即可
【答案】C
【解析】依题意有点,，设点，
则，设点，根据重心坐标公式有，即，
代入双曲线方程并简化得．
故选 ．
【标注】
【知识点】求曲线方程的问题
4.表示的曲线方程为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】本题根据给的式子，表示动点到与的距离之差的值等于 ,并且两个定点的距
离大于 ,可判断其为双曲线，又因为整体没有加绝对值，所以是双曲线的一支
【答案】C
【解析】根据几何意义，表示动点到与的距离之差等于 （且两个定点的距离大于
）的集合，根据双曲线定义可知，，，所以，由焦点在 轴上，所以
，且到点的距离比较大，所以，即曲线方程为．
故选 ．
【标注】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
5. 若点在双曲线上，则的最小值是．
【备注】本题根据双曲线方程将所求式子转化为关于 的函数，再根据二次函数的图象与性质求解最
小值即可
【答案】
【解析】点在双曲线上，故，
进而得到：，
二次函数对称轴为，
结合二次函数图像及性质可知最小值为
时对应的值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
6. 设 为坐标原点，直线与双曲线 ：的两条渐近线分别交于 ， 两点，
若的面积为 ，则双曲线 的焦距的最小值是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】根据双曲线渐近线公式可求得 、 两点的坐标，表示出三角形面积，再根据 、 、 的关
系，利用均值不等式求最值即可
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线为，
∴，，
∵面积为 ，
∴，即，
∵，
∴．
注：当且仅当时，等号成立，即双曲线焦距最小值为 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题；双曲线的标准方程
7. 已知 是双曲线的左焦点，定点， 是双曲线右支上的动点，则的最小
值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】设双曲线的右焦点为 ,首先根据双曲线的定义将转化为,再根据
三点共线时取得最小值求解即可
【答案】D
【解析】∵ 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为，
∴由双曲线定义可得，，
而，
两式相加得，
当且仅当 、 、 三点共线时等号成立．
则的最小值为 ．
故选 ．
【标注】
【知识点】利用双曲线定义求线段最值
巩固练习
1. “”是“方程表示双曲线”的（ ）．
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示双曲线，
则，解得或，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选 ．
【标注】
【知识点】充要条件与解析几何结合；双曲线的标准方程
2.
平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
A.B.
C.或D.或
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知，，；，，注意坐标轴的不同建立．
【标注】【知识点】双曲线的定义；求曲线方程的问题
3.
设双曲线
的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线左支于 ， 两点，则
的最小值等于．
【答案】
【解析】
根据双曲线
，得：
，
，
由双曲线的定义可得：①，
②，
① ②可得：，
∵过双曲线的左焦点 的直线交栓曲线的左支与 ， 两点，
∴，
当 是双曲线的通径时 最小，∴
，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
4.
已知双曲线．
（ 2 ） 为双曲线 右支上一动点， 点 的坐标是
，求 的最小值 ．
【答案】（ 1 ）双曲线的标准方程为（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）由题可设所求双曲线的方程为
或
，
．
①当时， 方程为，
令得，
即双曲线方程为，
②当时， 方程为，
令得，
即双曲线方程为，
（ 2 ）
双曲线的标准方程为
设，满足
或
，
．
则
，
当
时， 有最小值 为
．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题；双曲线共渐近线问题
5. 已知双曲线的左焦点为 ，点 为其右支上任意一点，点 的坐标为，则周长
的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】y
x
O
设双曲线右焦点为 ，
周长
．
∵在双曲线中，
，
∴，
∴周长为，
∵，．
∴，
∴周长最小，即最小，
易知两点之间线段最短，
即
，
∴周长最小为．
故选 ．
【标注】
【知识点】利用双曲线定义求线段最值
6. 已知双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则的最小值为
．
【答案】
【解析】
根据题意，设
，
易得，，
故，
又，故，
于是，
当时，取到最小值 ．
【标注】【知识点】双曲线中其他最值问题
3. 双曲线的一般方程
双曲线的一般方程
当时，方程可以变形为，由此可以看出方程表示双
曲线的充要条件是且 异号 .
此时为双曲线的一般方程.
双曲线一般方程的应用
当题目中给定的条件为双曲线上的两点坐标，但不确定双曲线的焦点位置的，求双曲线方程时，可以设
，将其化为标准方程，即为.
因此，当时，表示焦点在 轴上的双曲线；当时，表示焦点在 轴上的双曲线.
经典例题
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（ 1 ）过点，且焦点在坐标轴上．
【备注】已知双曲线上两点求解标准方程，可以设双曲线的方程为，再代入两
点列方程组求解.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【解析】（ 1 ）设双曲线方程为
．
∵ 、 两点在双曲线上，
∴，解得．
∴所求双曲线方程为．
（ 2 ）∵焦点在 轴上，，
∴设所求双曲线方程为：（其中），
∵双曲线经过点，∴，
∴或（舍去），
∴所求双曲线方程是．
（ 3 ）方法 ：的焦点为，又点在双曲线上，
故
，
∴，，，
又焦点在 轴上，
故所求的双曲线方程为
．
方法 ：设所求双曲线方程为，
∵双曲线过点，
∴，
∴或（舍去），
∴所求双曲线方程为．
【标注】【知识点】求曲线方程的问题；双曲线的定义；双曲线的标准方程
2. 双曲线的一个焦点为，则 的值为．
【备注】本题考查双曲线的一般方程与标准方程的转化；
方程可化为，再根据的关系求得 ，即可得到焦点坐标（要注意焦点所在的
轴）.
【答案】
【解析】
【标注】
由题意知焦点在 轴上，则
【知识点】双曲线的标准方程
，所以
，解得
．
巩固练习
1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（ 3 ）过点，且焦点在坐标轴上．
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【解析】（ 1 ）当焦点在 轴上时，设所求双曲线的标准方程为
，
把代入，得，不符合题意；
当焦点在 轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把代入，得．
∴所求双曲线的标准方程为．
（ 2 ）方法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为，
∴，即，①
∵双曲线经过点，
∴．②
由①②，解得
，
，
∴双曲线的标准方程为．
方法二：设所求双曲线的方程为，
∵双曲线经过点，
∴，解得或（舍去），
∴双曲线的标准方程为．
（ 3 ）设双曲线的方程为，
∵点 ， 在双曲线上，∴
解得
∴双曲线的标准方程为
．
【标注】【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；求曲线方程的问题
2. 双曲线的一个焦点是，那么．
【答案】
【解析】
由题意可知焦点在 轴上，且
，根据
可求 ．
由双曲线方程，得，∴，．
所以，解得．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程
4. 知识总结
（一）双曲线的定义
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于
且不等于零）的点的轨迹（或集
合） 叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点的距离叫做双曲线的 焦距 ．
（二）双曲线的标准方程
①当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中左焦点，右焦点
②当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程为：
，其中上焦点
，下焦点
，如图2．
之间满足的关系式为．
（三）双曲线的一般方程
当时，为双曲线的一般方程.
二、 双曲线的性质
1. 基本性质
（1）范围
由方程可知，双曲线 上任意一点的坐标都适合不等式
，即，解得或．
因此双曲线 位于两条直线和所夹平面区域的外侧，如下图：
【备注】这里以焦点在 轴的标准方程为例讲解.
如果焦点在 轴上，则图象位于和外侧，.
（2）对称性
双曲线 是 以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图形 ．这个对称中心叫做双曲线的中心．
（3）顶点
如下图，双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
双曲线 的顶点是和，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段叫做双曲
线的 实轴 ，它的长度等于 ．在 轴上作点，，线段叫做双曲线的 虚轴 ，它的
长度等于 .
相应地， 和 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长．
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
【备注】标准方程中，
令，可知双曲线 与 轴有两个交点，分别是和．
令，得，这个方程没有实数根，说明双曲线 与 轴没有公共点．
（4）渐近线
焦点在 轴上的双曲线
的渐近线方程是
；
焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程是．
①共渐近线的双曲线方程的统一表示
与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为，代
入条件求出 即可．
②由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为
，则可以设双曲线方程为
，再利用已知条件求出
参数 即可．
【备注】下面研究双曲线与一对相交直线
的位置关系．
由于双曲线与都是关于原点呈中心对称的，因此我们把注意力集中在第一象限即
可．
此时双曲线方程可等价变形为，
，这说明在第一象限内，双曲线 上的任意一点
总是位
于直线的下方．
由此可见，此双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线
下方，且与直线
越来越接近，但不会相交（根据对称性，其它三个象限也有同样的状况），我们称
这种微妙的关系为“渐近”．
焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程是；
焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程是．
（5）离心率
双曲线的焦距与实轴的比
，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由可得；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 开阔 ．
【备注】（1）对于给定的双曲线来说，已有若干个关系式，则四个参数中知道两个可求解另
外两个．
（2）关于求解离心率范围的问题，其实可以转化为确定 与 的比例问题，进而转化为研究
三个参数中任意二者的比例问题．
（3）由关系式．因此 越大， 也越大，
即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭变得开阔．最终结论
就是：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
【双曲线性质对比】在讲解完性质后，可为学生总结
标准方程
F2
B2A2
图形
F1
A1
O
B1
A2
F2
B1
O
A1
B2
F1
范围
对称性
对称轴： 轴、 轴；对称中心：原点
顶点
轴
线段
是双曲线的实轴，线段
实轴长，虚轴长
是双曲线的虚轴．
渐近线直线直线
离心率
经典例题
1. 双曲线，当 变化时，以下说法正确的是（ ）．
A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变
【备注】本题将方程转化为双曲线的标准方程，分别求解选项的内容，谁是定值谁就不变【答案】C
【解析】双曲线，
当时，双曲线焦点在 轴上，标准方程为：，则
，，，
焦点坐标为：，顶点坐标为：
，渐近线方程为：
，
离心率为： ；
当时，双曲线焦点在 轴上，标准方程
为：，则
，，，
焦点坐标为：，顶点坐标为：
，渐近线方程为：
，离心率为： ，
则当 变化时只有渐近线方程不变，
综上所述．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的顶点与轴；求双曲线的离心率；求双曲线的渐
近线
2. 在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的
标准方程为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题求解应用方法一，利用由渐近线设双曲线方程的技巧
若双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再利用已
知条件求出参数 即可．
【答案】B
【解析】方法一：由题意，得，
∴，，
设双曲线的方程为，
将代入，得，
∴双曲线方程为．
方法二：当焦点在 轴上时，
则：渐近线，
∴，
设：，
代入，
得：，，
∴．
方法三：当焦点在 轴时，则：渐近线
，
∴，
∴设：，
代入，
得：，
∴
综上故选 ．
【标注】【知识点】已知双曲线的渐近线求其他参数；双曲线的标准方程
【素养】数学运算【思想】方程思想
3. 双曲线 过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线 的方程为．
【备注】本题考查与双曲线
具有相同渐近线的双曲线方程，可以统一设为
，代入点的坐标求出 即可．
【答案】
【解析】
因为双曲线 与双曲线
有相同的渐近线，
所以设双曲线 的方程为，
又因为双曲线 过点，
所以，
解得，
所以，
所以双曲线 的方程为
．
【标注】【知识点】双曲线共渐近线问题；双曲线的标准方程
4. 设 为坐标原点， ， 是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点 ，满足
，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题根据双曲线的定义及余弦定理求解即可；
注：在双曲线上有时给角的度数，与余弦定理综合应用还是比较常见的，所以在此条件下
可思考是否可以应用余弦定理求解
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
①，
②，
①+②得，
即，即，所以，，故渐近线方程为．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线
5. 设双曲线的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂线与双曲线交于 ， 两
点，过 ， 分别作 ， 的垂线交于点 ．若 到直线 的距离小于，则该双曲线的
渐近线斜率的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】本题采用数形结合的思想，画出草图，根据与相似，可得到
【答案】A
【解析】方法一： ， 的坐标分别为，由图像的对称性知， 点在 轴上，则根据几何关
系有
，故，
，即，，故渐近线斜率．
故选A．
方法二：如图所示，
由题意知 为双曲线的通径，所以
，则
．
又，因为，，所以点 在 轴上．
由，得，即，
所以，则由题意知，即，
所以，即，即，
所以，解得，而双曲线的渐近线斜率为 ，
所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是，
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的渐近线
6. 在平面直角坐标系 中，若双曲线（，）的右焦点到一条渐近线的距离
为，则其离心率的值是．
【备注】本题属于常考类型，求焦点到渐近线的距离，或者通过焦点到渐近线的距离求解其他问
题，本题考查求解离心率：找到双曲线的一条渐近线和双曲线的一个焦点再利用点到直线
的距离公式，写出表达式，根据的关系以及离心率的求解方法，即可求得
结论：双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于 （做小题可直接应用）
【答案】
【解析】
双曲线的一条渐近线方程为
，
则到这条渐近线的距离为，
∴，
∴，
又，
∴，
∴
【标注】
．
【知识点】求双曲线的离心率
7. 已知椭圆，与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点 到双曲线的两
条渐近线的距离之和为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题可直接应用双曲线的一个焦点到渐近线的距离等于 求解【答案】A
【解析】∵椭圆与双曲线有共同的焦点，
∴，
∴双曲线的焦点坐标为
，
，
设，
其渐近线方程为
，
∵焦点 到双曲线的两条渐近线的距离之和为 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率
8. 过点的直线 与双曲线 ：（,）的一条斜率为正值的渐近线平行,若双曲线
的右支上的点到直线 的距离恒大于 ,则双曲线 的离心率的最大值是．
【备注】本题比较简单，应用点斜式表示出直线方程，再利用点到直线距离公式建立关系式，再利
用双曲线中 、 、 的关系代换、变形求解即可
【答案】
【解析】由双曲线 ：（,）的渐近线方程,
可得直线 的方程为,即,
由双曲线 的右支上的点到直线 的距离恒大于 ,
可得直线 与的距离恒大于等于 ,
即有,
化简可得,
,
即,即有,
可得离心率．
则离心率的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
9. 双曲线 的焦点是 ， ，若双曲线 上存在点 ，使是有一个内角为 的等腰三角形，则
的离心率是（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题同样画出草图，根据所给特殊角度，求得点 的坐标，再根据点 在双曲线上，代入方
程，根据双曲线中 、 、 的关系，代换变形求解即可
【答案】C
【解析】由题双曲线 的两焦点分别为 ， ，若在双曲线 上存在点 ，使为顶角为
的等腰三角形，
∴可设等腰三角形的底为 ，等腰三角形的腰
，
经过 的直线与双曲线的交点为 ，直线的斜率为 ，
∴，代入双曲线方程可得，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率；双曲线的标准方程
10.、 为双曲线的左、右焦点，过 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点，
，则 的离心率为（ ）．
A.B.C.D. 2
【备注】法一：在中应用余弦定理求解；
法二：答案版，在直角中，表示出角 的余弦值，再利用余弦的二倍角公式求解即
可
【答案】B【解析】
由题意可知：，
．
，
可得：，
可得：，
解得或（舍去）．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率
11. 已知双曲线的离心率为，右顶点为 ，以 为圆心 为半径作圆 ，
圆 与双曲线 的一条渐近线交于 、 两点，则有（ ）．
A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为
C.D.
【备注】本题比较难，是圆与双曲线的综合；（老师可根据学生的程度选择性讲解）
本题主要思路，利用离心率，表示出 、 ；再利用 、 、 的关系，求出 ，进而表示出渐近线方程；再根据圆中弦长求解方法求解即可
【答案】BC
【解析】由题意可得，可设，， ，
则，，
圆 的圆心为，半径 为 ，
双曲线的渐近线方程为，即，
圆心 到渐近线的距离为，
弦长，
可得三角形为等边三角形，
即有，
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的渐近线；直线和双曲线的位置关系；弦长求解问题
巩固练习
1. 已知双曲线的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为
，交另一条渐近线于 ，若，则双曲线的渐近线方程为．
【答案】
【解析】
不妨设点 在第一象限，
则直线 的方程为，直线 的方程为，
又，
所以．
如图，过点 、 分别向 轴作垂线交 轴于点 、 ，
则．
由题易知，点到直线 的距离为，
则，
因为，
所以．
直线 的方程为
，即
，
与直线 的方程联立，得，
解得，，
所以，
得，，
化简得，即，
所以，
故双曲线的渐近线方程为
【标注】【知识点】双曲线的渐近线
．
2. 已知双曲线的左焦点为 ，离心率为 ，若经过 和两点的直线平行
于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点，离心率，，
则双曲线为等轴双曲线，即，
双曲线的渐近线方程为，
则经过 和两点的直线的斜率，
则，，则，
双曲线的标准方程为．
故选B．
【标注】
【知识点】已知双曲线的渐近线求其他参数；双曲线的标准方程
3. 已知 ， 分别是双曲线的左、右焦点，过 的直线与圆相切且
分别交双曲线的左、右两支于 、 两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】根据双曲线定义得，
在三角形中，
，
又 与圆
相切，
所以，
因此，
∴，
∴，
∴，（舍负），
因为双曲线的渐近线方程为
，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的渐近线
4.
设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，则，，
直线与渐近线垂直，
所以，即，得，
即，解得或(舍去)．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
5. 点到双曲线渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】不妨取一条渐近线，一般式为，点到渐近线的距离
，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率
6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的取值范围为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由点 在双曲线的右支上和双曲线的定义得，
又∵，
∴，，
在中，由（三点共线可取等号），
∴，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率范围
7. 在平面直角坐标系中，以双曲线右焦点为圆心，以实半轴 为半径的圆与其
渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是．
【答案】
【解析】
由题意圆与渐近线相交，即圆心到渐近线距离小于半径．
焦点 到渐近线距离
，即，
又由．
故双曲线离心率范围为．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】求双曲线的离心率范围
2. 双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形面积公式
双曲线的左、右焦点分别为 ， ，点 为双曲线上任意一点，，则
双曲线的焦点三角形的面积为．
【备注】推导过程
对于焦点,设
则
在
中，由余弦定理：
（
即：
①
又由于
②
所以．
焦点三角形中，常用的关系式有
①；
②；
③；
④．
经典例题
1. 已知 、 为双曲线的左、右焦点，点 在 上，，则的面积为（
）．
A.B.C.D.
【备注】本题有两种解法
方法一：求出 ，利用
求解
方法二：求出，利用求解
【答案】A
【解析】由双曲线方程可得，
，，，
∴，，
设，，
由双曲线定义可知，①，
在
中，由余弦定理可知，
②，
由①②得，，
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】双曲线的焦点三角形问题（小题）
2. 设 ， 分别是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线右支上且满足
，双曲线的渐近线方程为，则．
【备注】本题利用了的变形求解相关角的余弦值
1.利用题干的条件，将用 表示
2.在利用余弦定理即可得到结果
【答案】
【解析】
由双曲线的定义可知：
，
又，
∴，
由双曲线的渐近线方程得，
，
，
∴，，
由余弦定理，
．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的焦点三角形问题（小题）；已知双曲线的渐近
线求其他参数
巩固练习
1. 设经过点的等轴双曲线的焦点为 ， ，此双曲线上一点 满足，则的面积
为．
【答案】
【解析】
由题意，设双曲线的方程为
，代入点
，可得
，
∴双曲线的方程为，
即，
设，，由双曲线的定义可得①，
由 满足，可得，可得②，
∴② ① 可得，
∴的面积为．
故答案为： ．
【标注】【知识点】面积问题；双曲线的焦点三角形问题（小题）
2. 已知 、 为双曲线 ：的左、右焦点，点 在 上，，则（
）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
由题可知，，
所以，，
由余弦定理可知
【标注】【知识点】双曲线的焦点三角形问题（小题）
3. 双曲线的焦半径
．
双曲线的焦半径公式：(,)
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
【备注】焦半径公式的推导过程：
双曲线
的左右焦点分别为
，
设双曲线右支上任一点
则
因为，则
则
同理可推导．
，
同理在左支上一点的焦半径也可推导.
经典例题
已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线右支上的一点，且
．若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．
【备注】本题老师使用焦半径公式给学生求解：
1.由题意设点，则；
2.根据题意且为等腰三角形，可列式
①或②
3.消去 可求解离心率，由于离心率的范围，情况②要舍去.
【答案】
【解析】 为双曲线右支上一点，
则由双曲线的定义可得，
，
由，则，，
由为等腰三角形，则或，
即有或（舍去），即有．
故答案为 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
巩固练习
已知双曲线
的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率 的最大值为．
【答案】
【解析】
方法一：设
，由焦半径得
，
，
∴，化简得，
∵ 在双曲线的右支上，
∴，所以，即 的最大值是 ．
故答案为： ．
方法二：由定义知
，又已知
，解得
，
，
，从而只要，就能得到 点存在，解得，
等号可以取到，即 的最大值为 ．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率
4. 知识总结
双曲线的性质
若双曲线方程
（一）范围：或
（二）对称性：双曲线 是 以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中心的中心对称图
形
（三）顶点:
双曲线 的顶点是和，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点．线段叫做双曲
线的 实轴 ，它的长度等于 ．在 轴上作点，，线段叫做双曲线的 虚轴 ，它的
长度等于 .
特别的，实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线 ．
（四）渐近线
焦点在 轴上的双曲线的渐近线方程是；
焦点在 轴上的双曲线的渐近线的方程是．
（五）离心率
双曲线的焦距与实轴的比
，叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率有如下的性质：
①由可得；
②双曲线的离心率越大，它的开口就越 开阔 ．
（六）双曲线的焦半径
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
（七）双曲线的焦点三角形
双曲线的焦点三角形的面积为
．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
1. 已知，，，当和 时，点 轨迹分别为（ ）．
A. 双曲线和一条直线B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线一支和一条直线D. 双曲线一支和一条射线
【答案】B
【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义
2. 已知双曲线的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上，是边长为 的等
边三角形（ 为原点），则双曲线的方程为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】双曲线（，）的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上，是边
长为 的等边三角形（ 为原点），
可得，，即
，，
解得，，双曲线的焦点坐标在 轴，所得双曲线方程为：．
故选 ．
【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的定义
3. 若双曲线（，）的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点，且，
则该双曲线离心率 的取值范围是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设 ， 分别是左右焦点，则点 为右支上一点，如图．依
据双曲线定义知，则，则
，所以．∴，又，则．
故选 ．
【标注】
【知识点】求双曲线的离心率范围
4. 已知 是双曲线的左焦点， 是该双曲线的右顶点，过点 且垂直于 轴的直
线与双曲线交于 ， 两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围为．
【答案】
【解析】
根据双曲线的对称性，得
中，，
是锐角三角形，即
为锐角，
y
Ox
由此可得中，，
得，
∵，，
∴，即，
两边都除以 ，得，解之得，
∵双曲线的离心率，
∴该双曲线的离心率 的取值范围是
．
【标注】【知识点】求双曲线的离心率范围
36
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