资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩36页未读，
继续阅读
所属成套资源：全国通用人教A版（2019）高中数学选择性必修一全册讲义
成套系列资料，整套一键下载
数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案
展开
这是一份数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，文件包含直线的方程教师版docx、直线的方程学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。
直线的方程
一、 直线的倾斜角与斜率
1. 直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定 与 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．倾斜角一般用 表示，且
倾斜角的定义含有三个条件
①直线向上的方向；
② 轴的正方向；
③小于平角的非负角．
（2）直线的斜率的概念
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 表示，即
注意：
每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 的直线没有斜率．
（3）直线的斜率公式
直线 经过两点，且倾斜角为 ，则直线的斜率公式是：
注意：
如果
，则直线与 轴平行或重合，
；
如果，则直线与 轴垂直，倾斜角等于 ， 不存在．
2. 直线的方向向量
直线的方向向量
一般地，如果表示非零向量 的有向线段所在的直线与直线 平行或重合，则称向量 为直线 的一个方
向向量，记作．可以看出：
①如果 为直线 的一个方向向量，那么对于任意的实数
，向量 都是 的一个方向向量，而且直
线 的任意两个方向向量一定共线；
1
②如果是直线 上两个不同的点，则是直线 的一个方向向量．
一般地，如果已知为直线 的一个方向向量，则
①当时，显然直线 的斜率不存在，倾斜角为 ；
②当时，直线 的斜率是存在的，而且此时与都是直线 的一个方向向量，从而
，因此可知倾斜角满足．
3. 直线的倾斜角与斜率的应用
（1）求直线倾斜角的取值范围①直线斜率与倾斜角的关系
倾斜角
斜率
倾斜角与斜率的变化关系或关于
直线的说明
零角等于
锐角大于
直角不存在
钝角小于
②直线倾斜角的取值范围
已知直线斜率 的取值范围，求倾斜角 的取值范围时，若 的取值范围有正有负，则可把取值范围分为大于或等于 和小于 两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角的取值范围．
（2）求直线斜率的取值范围
①数型结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．
②利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角的取值范围求斜率的取值范围，反之亦可．
（3）三点共线问题①证明三点共线
两直线 ， 的斜率相等三点共线；
三点共线，则直线 ， 的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
②由三点共线求参数的值
根据三点共线，利用任意两点斜率相等求参数的值．
经典例题
1. 过两点，的直线的倾斜角为 ，则 （ ）．
A.B.C.D.
2. 已知直线 的一个方向向量为，则直线 的斜率为．
3. 已知，，若过点的直线 与线段 相交，则 斜率的取值范围是．
4. 已知直线 的斜率的取值范围是，则 的倾斜角的取值范围是．
5. 已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
6. 求证：、、三点共线．
7. 若，，三点共线，则．
巩固练习
1. 若直线 的斜率，则直线倾斜角 的范围是（ ）．
A.B.C.D.
2. 已知直线 的倾斜角为 ，且，则直线 的斜率的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
3. 设点，，直线 过点且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是（ ）．
A.或B.C.D. 以上都不对
4. 若，，三点共线，则实数 的值为.
4. 知识总结
（1）倾斜角的定义含有三个条件：①直线向上的方向；② 轴的正方向；③小于平角的非负角．
（2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 的直线没有斜率．
二、 直线方程
1. 直线方程的五种形式
直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个
方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
直线方程的五种形式的区别和联系
名称方程的形式常数的几何意义适用范围
点斜式
是直线上一定
点， 是斜率
不垂直于 轴
斜截式
是斜率， 是直线在 轴
上的截距
不垂直于 轴
两点式两定点是直线上 不垂直于 轴和 轴
截距式
是直线在 轴上的非零截距， 是直线在 轴上的非零截距
不垂直于 轴和 轴，且不过原点
一般式为系数任意位置的直线
经典例题
1. 直线 经过点
，其倾斜角是直线
的倾斜角的 倍，则直线 的方程为
．
2. 已知三角形的顶点坐标为、、， 是 边上的中点．
（ 1 ）求 边所在的直线方程．
3. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程为．
4. 求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 的直线 的方程．
巩固练习
1. 一条直线经过点
，并且它的倾斜角等于直线
的倾斜角的 倍．则这条直线的方程
是．
2. 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）．
A.或B.，
C.，或D.，或，或
3. 直线 经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求直线 的方程．
2. 直线与坐标轴围成的图形的面积或周长问题
解决此类问题需先求出直线与两坐标轴交点的坐标，再求出这两个交点到原点的距离，然后利用直角三
角形的面积或周长公式求解．
经典例题
1. 已知直线 的斜率为 ，且和两坐标轴围成三角形的面积为 ，求 的方程．
2. 若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于 ，则实数 的取值范围为．
巩固练习
1. 求与两坐标轴围成面积是 ，且斜率为 的直线方程．
2. 已知直线 在 轴上的截距为 ，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直线 的一般方程．
3. 恒过定点问题
解决过定点问题常用的方法：
（1）特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值,可得关于 的两个方程，从中解出的 的值即为所求定点的坐标．
（2）点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式，则直线必过定点．
（3）分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程即
的形式，则该方程表示的直线必过直线
或
的交点，而此交点就是定点．
比较这三种方法可知，方法一计算较繁琐；方法二变形较困难；方法三最简便也最常用．
经典例题
求直线经过的定点．
（ 1 ）无论 为何实数，直线恒过定点．
（ 2 ）无论 为何实数，直线恒过定点．
（ 3 ）无论 为何实数，直线恒过定点．
（ 4 ）无论 ， 为何实数，直线恒过定点．
巩固练习
1. 直线
，当 变动时，所有直线都经过点
．
2. 设直线 的方程为，则直线 过定点．
3. 不论 取何值，直线恒过定点．
4. 知识总结
（一）直线方程的五种形式的区别和联系
名称方程的形式常数的几何意义适用范围
点斜式
是直线上一定
点， 是斜率
不垂直于 轴
斜截式
是斜率， 是直线在 轴
上的截距
不垂直于 轴
两点式两定点是直线上 不垂直于 轴和 轴
截距式
是直线在 轴上的非零截距， 是直线在 轴上的非零截距
不垂直于 轴和 轴，且不过原点
一般式为系数任意位置的直线
（二）直线方程的应用
（1） 直线与坐标轴围成的图形的面积或周长问题
（2） 恒过定点问题
①特殊值法
②点斜式法
③分离参数法
三、 直线的交点坐标与距离公式
1. 两条直线的位置关系
（1）两条直线相交、平行与重合的条件
斜截式
一般式
相交或
平行
重合
且
且
或
或
或
（1）当用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等时，要注意斜率不存在的情况．
（2）与直线平行的直线方程可设为．
（2）两条直线垂直的条件① 当直线 与 垂直时，
（斜截式），
（一般式）．
② 与直线垂直的直线方程可设为
2. 两条直线的交点坐标
已知直线：，
相交的条件为：或．
联立两条直线的方程，解二元一次方程组即可得到两条直线的交点坐标．
两条直线的位置关系与相应直线方程组成的二元一次方程组的解的联系
两条直线 的公共点
个数
一个
无数个
零个
方程组
的一组无数组无解
实数解
直线 的位置关系相交重合平行
3. 距离公式
（1）两点间距离公式与中点坐标公式
设，为线段 中点，则
① 两点之间的距离公式：
②中点 的坐标公式：
，所以
坐标法的概念
实际上是通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
（2）点到直线的距离公式
点到直线的距离
注意：
（1）在运用点到直线距离公式求解时，应先将方程化为一般式；
（2）若点 在直线上，则点 到直线的距离为 ，距离公式仍然成立.
（3）两条平行线间的距离公式两条平行直线 ：
， ：
之间的距离为 ，则
在使用两条平行线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且 的系数分别相同，而不是对应成比例.当两条平行直线不满足以上条件时，应将方程变形.
经典例题
1. 若直线 ：与 ：平行，则 的值是（ ）．
A. 或B. 或C. 或D. 或
2. 直线与互相垂直，则 的值为()
A.B.C.D.
3. 若直线 ：与直线的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（
）．
A.B.C.D.
4. 已知点（ 1 ）（ 2 ）
，
，
的形状．
的面积．
．
5. 已知直线 的方程为．
（ 2 ）求与 平行，且到点的距离为 的直线的方程．
6. 直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）．
A.B.C.D.
7. 已知直线 与两直线和的距离相等，则 的方程为．
巩固练习
1. 直线
与直线
的交点在第二象限内，则 的取值范围是
．
2. 直线与直线互相垂直，则 的值为（ ）．
A.B.C.或D.或
3. 已知点和到直线的距离相等，则实数 的值是（ ）．
A. 或B.或C.或D. 或
4. 到直线的距离为 的直线方程是（ ）．
A.B.或
C.D.或
4. 知识总结
（一）两条直线的位置关系
斜截式一般式
相交平行重合
且
且
或
特别地，当直线 与 垂直时，．
（二）相关公式
① 两点间距离公式：② 中点坐标
③ 点到直线距离公式：④ 平行线间距离公式：
四、 对称问题
1. 点关于点的对称
（1）点关于点的对称
关于点的对称点为
经典例题
1. 点关于点的对称点 的坐标是（ ）．
A.B.C.D.
2. 已知点关于点的对称点是，则点到原点 的距离是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
点关于点的对称点坐标是．
2. 点关于直线的对称
设，，设 关于 的对称点的坐标，则 是 的垂直平分
线，即且 的中点在 上，解方程组可得 点坐标．
经典例题
1. 点关于直线 ：对称的点 的坐标是（ ）．
A.B.C.D.
2. 如果关于直线 的对称点为，则直线 的方程是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 点关于直线的对称点的坐标为．
2. 已知点与点关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）．
A.B.C.D.
3. 直线关于点的对称
（3）直线关于点的对称
方法一：求一条直线关于点
的对称直线方程时可在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点 的
对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；
方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为
，再求它关于
的对称点坐标，而它
的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于 的方程，即为所求的直线方程．
经典例题
1. 与直线关于对称的直线方程为（ ）．
A.B.C.D.
2. 直线与直线 关于点对称，则直线 恒过定点（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 若直线与直线 关于点对称，则直线 恒过定点()
A.B.C.D.
2. 与直线关于点对称的直线方程是（ ）．
A.B.C.D.
4. 直线关于直线的对称
（4）直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，
①若已知直线 与对称轴 相交，则交点必在与 对称的直线 上，然后再求出 上任一个已知点 关于对称轴 对称的点 ，那么经过交点及点 的直线就是 ；
②若已知直线 与对称轴 平行，则与 对称的直线 和 到直线 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 的对称直线 ．
经典例题
直线关于对称的直线方程是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
若直线 与直线
关于直线
对称，则 的方程是
．
5. 知识总结
对称问题种类
（1）点关于点对称
（2）点关于直线对称
（3）直线关于点对称
（4）直线关于直线对称
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
1. 已知点，直线，求：
（ 1 ）（ 2 ）
过点 且与 平行的直线的方程．
过点 且与 垂直的直线的方程．
2. 求与直线平行，且在两坐标轴上截距之和为 的直线 的方程．
3. 求纵截距为 ，与两坐标轴围成三角形的面积为 的直线的一般式方程．
4. 已知点与直线 ：，则点 关于直线 的对称点坐标为（ ）．
A.B.C.D.
16
直线的方程
一、 直线的倾斜角与斜率
1. 直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定 与 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．倾斜角一般用 表示，且
倾斜角的定义含有三个条件
①直线向上的方向；
② 轴的正方向；
③小于平角的非负角．
（2）直线的斜率的概念
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 表示，即
注意：
每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 的直线没有斜率．
（3）直线的斜率公式
直线 经过两点，且倾斜角为 ，则直线的斜率公式是：
注意：
如果
，则直线与 轴平行或重合，
；
如果，则直线与 轴垂直，倾斜角等于 ， 不存在．
2. 直线的方向向量
直线的方向向量
一般地，如果表示非零向量 的有向线段所在的直线与直线 平行或重合，则称向量 为直线 的一个方
向向量，记作．可以看出：
①如果 为直线 的一个方向向量，那么对于任意的实数
，向量 都是 的一个方向向量，而且直
线 的任意两个方向向量一定共线；
1
②如果是直线 上两个不同的点，则是直线 的一个方向向量．
一般地，如果已知为直线 的一个方向向量，则
①当时，显然直线 的斜率不存在，倾斜角为 ；
②当时，直线 的斜率是存在的，而且此时与都是直线 的一个方向向量，从而
，因此可知倾斜角满足．
3. 直线的倾斜角与斜率的应用
（1）求直线倾斜角的取值范围①直线斜率与倾斜角的关系
倾斜角
斜率
倾斜角与斜率的变化关系或关于
直线的说明
零角等于
锐角大于
直角不存在
钝角小于
②直线倾斜角的取值范围
已知直线斜率 的取值范围，求倾斜角 的取值范围时，若 的取值范围有正有负，则可把取值范围分为大于或等于 和小于 两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角的取值范围．
（2）求直线斜率的取值范围
①数型结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．
②利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角的取值范围求斜率的取值范围，反之亦可．
（3）三点共线问题①证明三点共线
两直线 ， 的斜率相等三点共线；
三点共线，则直线 ， 的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
②由三点共线求参数的值
根据三点共线，利用任意两点斜率相等求参数的值．
经典例题
1. 过两点，的直线的倾斜角为 ，则 （ ）．
A.B.C.D.
2. 已知直线 的一个方向向量为，则直线 的斜率为．
3. 已知，，若过点的直线 与线段 相交，则 斜率的取值范围是．
4. 已知直线 的斜率的取值范围是，则 的倾斜角的取值范围是．
5. 已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
6. 求证：、、三点共线．
7. 若，，三点共线，则．
巩固练习
1. 若直线 的斜率，则直线倾斜角 的范围是（ ）．
A.B.C.D.
2. 已知直线 的倾斜角为 ，且，则直线 的斜率的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
3. 设点，，直线 过点且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是（ ）．
A.或B.C.D. 以上都不对
4. 若，，三点共线，则实数 的值为.
4. 知识总结
（1）倾斜角的定义含有三个条件：①直线向上的方向；② 轴的正方向；③小于平角的非负角．
（2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 的直线没有斜率．
二、 直线方程
1. 直线方程的五种形式
直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个
方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
直线方程的五种形式的区别和联系
名称方程的形式常数的几何意义适用范围
点斜式
是直线上一定
点， 是斜率
不垂直于 轴
斜截式
是斜率， 是直线在 轴
上的截距
不垂直于 轴
两点式两定点是直线上 不垂直于 轴和 轴
截距式
是直线在 轴上的非零截距， 是直线在 轴上的非零截距
不垂直于 轴和 轴，且不过原点
一般式为系数任意位置的直线
经典例题
1. 直线 经过点
，其倾斜角是直线
的倾斜角的 倍，则直线 的方程为
．
2. 已知三角形的顶点坐标为、、， 是 边上的中点．
（ 1 ）求 边所在的直线方程．
3. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程为．
4. 求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 的直线 的方程．
巩固练习
1. 一条直线经过点
，并且它的倾斜角等于直线
的倾斜角的 倍．则这条直线的方程
是．
2. 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）．
A.或B.，
C.，或D.，或，或
3. 直线 经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求直线 的方程．
2. 直线与坐标轴围成的图形的面积或周长问题
解决此类问题需先求出直线与两坐标轴交点的坐标，再求出这两个交点到原点的距离，然后利用直角三
角形的面积或周长公式求解．
经典例题
1. 已知直线 的斜率为 ，且和两坐标轴围成三角形的面积为 ，求 的方程．
2. 若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于 ，则实数 的取值范围为．
巩固练习
1. 求与两坐标轴围成面积是 ，且斜率为 的直线方程．
2. 已知直线 在 轴上的截距为 ，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求直线 的一般方程．
3. 恒过定点问题
解决过定点问题常用的方法：
（1）特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值,可得关于 的两个方程，从中解出的 的值即为所求定点的坐标．
（2）点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式，则直线必过定点．
（3）分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程即
的形式，则该方程表示的直线必过直线
或
的交点，而此交点就是定点．
比较这三种方法可知，方法一计算较繁琐；方法二变形较困难；方法三最简便也最常用．
经典例题
求直线经过的定点．
（ 1 ）无论 为何实数，直线恒过定点．
（ 2 ）无论 为何实数，直线恒过定点．
（ 3 ）无论 为何实数，直线恒过定点．
（ 4 ）无论 ， 为何实数，直线恒过定点．
巩固练习
1. 直线
，当 变动时，所有直线都经过点
．
2. 设直线 的方程为，则直线 过定点．
3. 不论 取何值，直线恒过定点．
4. 知识总结
（一）直线方程的五种形式的区别和联系
名称方程的形式常数的几何意义适用范围
点斜式
是直线上一定
点， 是斜率
不垂直于 轴
斜截式
是斜率， 是直线在 轴
上的截距
不垂直于 轴
两点式两定点是直线上 不垂直于 轴和 轴
截距式
是直线在 轴上的非零截距， 是直线在 轴上的非零截距
不垂直于 轴和 轴，且不过原点
一般式为系数任意位置的直线
（二）直线方程的应用
（1） 直线与坐标轴围成的图形的面积或周长问题
（2） 恒过定点问题
①特殊值法
②点斜式法
③分离参数法
三、 直线的交点坐标与距离公式
1. 两条直线的位置关系
（1）两条直线相交、平行与重合的条件
斜截式
一般式
相交或
平行
重合
且
且
或
或
或
（1）当用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等时，要注意斜率不存在的情况．
（2）与直线平行的直线方程可设为．
（2）两条直线垂直的条件① 当直线 与 垂直时，
（斜截式），
（一般式）．
② 与直线垂直的直线方程可设为
2. 两条直线的交点坐标
已知直线：，
相交的条件为：或．
联立两条直线的方程，解二元一次方程组即可得到两条直线的交点坐标．
两条直线的位置关系与相应直线方程组成的二元一次方程组的解的联系
两条直线 的公共点
个数
一个
无数个
零个
方程组
的一组无数组无解
实数解
直线 的位置关系相交重合平行
3. 距离公式
（1）两点间距离公式与中点坐标公式
设，为线段 中点，则
① 两点之间的距离公式：
②中点 的坐标公式：
，所以
坐标法的概念
实际上是通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题.这种解决问题的方法称为坐标法.
（2）点到直线的距离公式
点到直线的距离
注意：
（1）在运用点到直线距离公式求解时，应先将方程化为一般式；
（2）若点 在直线上，则点 到直线的距离为 ，距离公式仍然成立.
（3）两条平行线间的距离公式两条平行直线 ：
， ：
之间的距离为 ，则
在使用两条平行线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且 的系数分别相同，而不是对应成比例.当两条平行直线不满足以上条件时，应将方程变形.
经典例题
1. 若直线 ：与 ：平行，则 的值是（ ）．
A. 或B. 或C. 或D. 或
2. 直线与互相垂直，则 的值为()
A.B.C.D.
3. 若直线 ：与直线的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（
）．
A.B.C.D.
4. 已知点（ 1 ）（ 2 ）
，
，
的形状．
的面积．
．
5. 已知直线 的方程为．
（ 2 ）求与 平行，且到点的距离为 的直线的方程．
6. 直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）．
A.B.C.D.
7. 已知直线 与两直线和的距离相等，则 的方程为．
巩固练习
1. 直线
与直线
的交点在第二象限内，则 的取值范围是
．
2. 直线与直线互相垂直，则 的值为（ ）．
A.B.C.或D.或
3. 已知点和到直线的距离相等，则实数 的值是（ ）．
A. 或B.或C.或D. 或
4. 到直线的距离为 的直线方程是（ ）．
A.B.或
C.D.或
4. 知识总结
（一）两条直线的位置关系
斜截式一般式
相交平行重合
且
且
或
特别地，当直线 与 垂直时，．
（二）相关公式
① 两点间距离公式：② 中点坐标
③ 点到直线距离公式：④ 平行线间距离公式：
四、 对称问题
1. 点关于点的对称
（1）点关于点的对称
关于点的对称点为
经典例题
1. 点关于点的对称点 的坐标是（ ）．
A.B.C.D.
2. 已知点关于点的对称点是，则点到原点 的距离是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
点关于点的对称点坐标是．
2. 点关于直线的对称
设，，设 关于 的对称点的坐标，则 是 的垂直平分
线，即且 的中点在 上，解方程组可得 点坐标．
经典例题
1. 点关于直线 ：对称的点 的坐标是（ ）．
A.B.C.D.
2. 如果关于直线 的对称点为，则直线 的方程是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 点关于直线的对称点的坐标为．
2. 已知点与点关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）．
A.B.C.D.
3. 直线关于点的对称
（3）直线关于点的对称
方法一：求一条直线关于点
的对称直线方程时可在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点 的
对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；
方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为
，再求它关于
的对称点坐标，而它
的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于 的方程，即为所求的直线方程．
经典例题
1. 与直线关于对称的直线方程为（ ）．
A.B.C.D.
2. 直线与直线 关于点对称，则直线 恒过定点（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 若直线与直线 关于点对称，则直线 恒过定点()
A.B.C.D.
2. 与直线关于点对称的直线方程是（ ）．
A.B.C.D.
4. 直线关于直线的对称
（4）直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，
①若已知直线 与对称轴 相交，则交点必在与 对称的直线 上，然后再求出 上任一个已知点 关于对称轴 对称的点 ，那么经过交点及点 的直线就是 ；
②若已知直线 与对称轴 平行，则与 对称的直线 和 到直线 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 的对称直线 ．
经典例题
直线关于对称的直线方程是（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
若直线 与直线
关于直线
对称，则 的方程是
．
5. 知识总结
对称问题种类
（1）点关于点对称
（2）点关于直线对称
（3）直线关于点对称
（4）直线关于直线对称
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
出门测
1. 已知点，直线，求：
（ 1 ）（ 2 ）
过点 且与 平行的直线的方程．
过点 且与 垂直的直线的方程．
2. 求与直线平行，且在两坐标轴上截距之和为 的直线 的方程．
3. 求纵截距为 ，与两坐标轴围成三角形的面积为 的直线的一般式方程．
4. 已知点与直线 ：，则点 关于直线 的对称点坐标为（ ）．
A.B.C.D.
16
相关学案
数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案： 这是一份数学选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000330_t4/?tag_id=42" target="_blank">2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案</a>，文件包含直线与圆-讲义教师版docx、直线与圆-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
高中数学1.4 空间向量的应用导学案： 这是一份高中数学<a href="/sx/tb_c4000323_t4/?tag_id=42" target="_blank">1.4 空间向量的应用导学案</a>，文件包含空间向量的应用教师版docx、空间向量的应用学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共76页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案设计： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000320_t4/?tag_id=42" target="_blank">1.1 空间向量及其运算学案设计</a>，文件包含空间向量运算教师版docx、空间向量运算学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
